Gage不等式的加強和分析形式及幾何Cauchy-Schwarz不等式的穩(wěn)定性.pdf

1、本文由兩部分組成，第一部分將Gage不等式加強成更加等周的形式。第二部分研究幾何Cauchy-Schwarz不等式的穩(wěn)定性。　　第一部分，將Gage不等式加強成更加等周的形式。早在1983年前后，為了研究平面閉凸曲線的縮短流問題，Gage[3]證明了如下不等式：對平面閉凸曲線γ，如果L，A分別是γ的長度和γ所圍區(qū)域的面積，k是其曲率函數(shù)，則∫rk2ds≥πL/A.Gage稱之為等周不等式。但他沒有證明其中等號成立當且僅當γ為圓周，而作

2、為等周型的不等式是應(yīng)該證明這種結(jié)果的。本文利用單位速率外法向量流，通過努力證明了這種結(jié)果，從而把Gage不等式加強成更加等周的形式。利用Minkowski支撐函數(shù)將Gage不等式敘述成一個積分不等式，這可以視為Gage不等式的分析形式。 第二部分，首先敘述幾何不等式穩(wěn)定性的概念，然后研究平面閉曲線的幾何Cauchy-Schwarz不等式的穩(wěn)定性。對于平面簡單閉曲線γ，其全曲率等于±2π，從而利用Cauchy-Schwarz不等式