cauchy不等式的等價形式及其應(yīng)用【文獻(xiàn)綜述】

1、<p><b>　　畢業(yè)論文文獻(xiàn)綜述</b></p><p><b>　　數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)</b></p><p>　　Cauchy不等式的等價形式及其應(yīng)用 </p><p>　　前言部分（說明寫作的目的，介紹有關(guān)概念、綜述范圍，扼要說明有關(guān)主題爭論焦點）</p><p>　　柯西不等式在不

2、同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域有不同的形式和應(yīng)用。特別是在應(yīng)用柯西不等式解決某些問題時能起到簡便直觀的作用。</p><p>　　對任意兩組實數(shù)；；有當(dāng)且僅當(dāng)與對應(yīng)成比例，即時等號成立。（的意義如下：在不全為零時，若，則對應(yīng)的；在時，可取任意實數(shù)。）這個不等式稱柯西（Cauchy）不等式。</p><p>　　柯西不等式（Cauchy Inequality）定理：設(shè)和是任意實數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)（為常數(shù)，）時取

3、等號。由于所設(shè)條件是一切實數(shù)，沒有其他條件限制，運用范圍較廣。</p><p>　　柯西不等式在不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域的形式和內(nèi)容不同，但卻具有內(nèi)在的聯(lián)系。在初等數(shù)學(xué)中的柯西不等式就稱為柯西不等式；在微積分中的柯西不等式稱為柯西—許瓦茲不等式，它是以積分的形式給出的；在概率論中的柯西不等式也稱為柯西—許瓦茲不等式，它是以隨機(jī)變量的數(shù)字特征形式給出的；在線性代數(shù)中的柯西不等式稱為柯西—布涅雅柯斯基不等式，它是用內(nèi)積形式給出

4、的。</p><p>　　Cauchy不等式的形式</p><p>　　在初等數(shù)學(xué)中，任意有當(dāng)且僅當(dāng)存在不全為零的常數(shù)使時，等式成立。</p><p><b>　　在積分學(xué)中，任意</b></p><p>　　有。當(dāng)且僅當(dāng)存在不全為零的常數(shù)使時，等式成立。</p><p>　　在高等代數(shù)的n維歐式

5、空間中，任意向量當(dāng)且僅當(dāng)存在不全為零的常數(shù)使時，等式成立。</p><p>　　在概率論中，任意，若存在，則有當(dāng)且僅當(dāng)存在不全為零的常數(shù)使時，等式成立。</p><p>　　二、主題部分（闡明有關(guān)主題的歷史背景、現(xiàn)狀和發(fā)展方向，以及對這些問題的評述）</p><p>　　柯西（Cauchy, Augustin-Louis, 1789－1857)，法國數(shù)學(xué)家，8月21

6、日生于巴黎，他的父親路易·弗朗索瓦·柯西是法國波旁王朝的官員，在法國動蕩的政治漩渦中一直擔(dān)任公職。由于家庭的原因，柯西本人屬于擁護(hù)波旁王朝的正統(tǒng)派，是一位虔誠的天主教徒。 </p><p>　　他在純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的功底是相當(dāng)深厚的，很多數(shù)學(xué)的定理、公式都以他的名字來稱呼，如柯西不等式、柯西積分公式。在數(shù)學(xué)寫作上，他被認(rèn)為在數(shù)量上僅次于歐拉的人，他一生一共著作了789篇論文和幾本書，以《分析教

7、程》（1821年）和《關(guān)于定積分理論的報告》（1827年）最為著名。不過并不是他所有的創(chuàng)作質(zhì)量都很高，因此他還曾被人批評“高產(chǎn)而輕率”，這點倒是與數(shù)學(xué)王子相反。據(jù)說，法國科學(xué)院《會刊》創(chuàng)刊的時候，由于柯西的作品實在太多，以致于科學(xué)院要負(fù)擔(dān)很大的印刷費用，超出科學(xué)院的預(yù)算，因此，科學(xué)院后來規(guī)定論文最長的只能夠到四頁?？挛鬏^長的論文因而只得投稿到其它地方。</p><p>　　柯西在幼年時，他的父親常帶領(lǐng)他到法國參議

8、院內(nèi)的辦公室，并且在那里指導(dǎo)他進(jìn)行學(xué)習(xí)，因此他有機(jī)會遇到參議員拉普拉斯和拉格朗日兩位大數(shù)學(xué)家。他們對他的才能十分常識；拉格朗日認(rèn)為他將來必定會成為大數(shù)學(xué)家，但建議他的父親在他學(xué)好文科前不要學(xué)數(shù)學(xué)。</p><p>　　柯西于1802年入中學(xué)。在中學(xué)時，他的拉丁文和希臘文取得優(yōu)異成績，多次參加競賽獲獎；數(shù)學(xué)成績也深受老師贊揚(yáng)。他于1805年考入綜合工科學(xué)校，在那里主要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和力學(xué)；1807年考入橋梁公路學(xué)校，18

9、10年以優(yōu)異成績畢業(yè)，前往瑟堡參加海港建設(shè)工程。</p><p>　　柯西去瑟堡時攜帶了拉格朗日的解析函數(shù)論和拉普拉斯的天體力學(xué)，后來還陸續(xù)收到從巴黎寄出或從當(dāng)?shù)亟璧玫囊恍?shù)學(xué)書。他在業(yè)余時間悉心攻讀有關(guān)數(shù)學(xué)各分支方面的書籍，從數(shù)論直到天文學(xué)方面。根據(jù)拉格朗日的建議，他進(jìn)行了多面體的研究，并于1811及1812年向科學(xué)院提交了兩篇論文，其中主要成果是：</p><p>　　(1)證明了凸正

10、多面體只有五種(面數(shù)分別是4，6，8，12，20)，星形正多面體只有四種(面數(shù)是12的三種，面數(shù)是20的一種)。</p><p>　　(2)得到了歐拉關(guān)于多面體的頂點、面和棱的個數(shù)關(guān)系式的另一證明并加以推廣。</p><p>　　(3)證明了各面固定的多面體必然是固定的，從此可導(dǎo)出從未證明過的歐幾里得的一個定理。</p><p>　　這兩篇論文在數(shù)學(xué)界造成了極大的影

11、響。柯西在瑟堡由于工作勞累生病，于1812年回到巴黎他的父母家中休養(yǎng)。</p><p>　　柯西于1813年在巴黎被任命為運河工程的工程師，他在巴黎休養(yǎng)和擔(dān)任工程師期間，繼續(xù)潛心研究數(shù)學(xué)并且參加學(xué)術(shù)活動。這一時期他的主要貢獻(xiàn)是：</p><p>　　(1)研究代換理論，發(fā)表了代換理論和群論在歷史上的基本論文。</p><p>　　(2)證明了費馬關(guān)于多角形數(shù)的猜測，

12、即任何正整數(shù)是個角形數(shù)的和。這一猜測當(dāng)時已提出了一百多年，經(jīng)過許多數(shù)學(xué)家研究，都沒有能夠解決。以上兩項研究是柯西在瑟堡時開始進(jìn)行的。</p><p>　　(3)用復(fù)變函數(shù)的積分計算實積分，這是復(fù)變函數(shù)論中柯西積分定理的出發(fā)點。</p><p>　　(4)研究液體表面波的傳播問題，得到流體力學(xué)中的一些經(jīng)典結(jié)果，于1815年得法國科學(xué)院數(shù)學(xué)大獎。</p><p>　　以

13、上突出成果的發(fā)表給柯西帶來了很高的聲譽(yù)，他成為當(dāng)時一位國際上著名的青年數(shù)學(xué)家。</p><p>　　1815年法國拿破侖失敗，波旁王朝復(fù)辟，路易十八當(dāng)上了法王?？挛饔?816年先后被任命為法國科學(xué)院院士和綜合工科學(xué)校教授。1821年又被任命為巴黎大學(xué)力學(xué)教授，還曾在法蘭西學(xué)院授課。這一時期他的主要貢獻(xiàn)是：</p><p>　　(1)在綜合工科學(xué)校講授分析課程，建立了微積分的基礎(chǔ)極限理論，還

14、闡明了極限理論。在此以前，微積分和級數(shù)的概念是模糊不清的。由于柯西的講法與傳統(tǒng)方式不同，當(dāng)時學(xué)校師生對他提出了許多非議。</p><p>　　柯西在這一時期出版的著作有《代數(shù)分析教程》、《無窮小分析教程概要》和《微積分在幾何中應(yīng)用教程》。這些工作為微積分奠定了基礎(chǔ)，促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，成為數(shù)學(xué)教程的典范。</p><p>　　(2)柯西在擔(dān)任巴黎大學(xué)力學(xué)教授后，重新研究連續(xù)介質(zhì)力學(xué)。在182

15、2年的一篇論文中，他建立了彈性理論的基礎(chǔ)。</p><p>　　(3)繼續(xù)研究復(fù)平面上的積分及留數(shù)計算，并應(yīng)用有關(guān)結(jié)果研究數(shù)學(xué)物理中的偏微分方程等。</p><p>　　他的大量論文分別在法國科學(xué)院論文集和他自己編寫的期刊“數(shù)學(xué)習(xí)題”上發(fā)表。</p><p>　　1830年法國爆發(fā)了推翻波旁王朝的革命，法王查理第十倉皇逃走，奧爾良公爵路易·菲力浦繼任法王。

16、當(dāng)時規(guī)定在法國擔(dān)任公職必須宣誓對新法王效忠，由于柯西屬于擁護(hù)波旁王朝的正統(tǒng)派，他拒絕宣誓效忠，并自行離開法國。他先到瑞士，后于1832～1833年任意大利都靈大學(xué)數(shù)學(xué)物理教授，并參加當(dāng)?shù)乜茖W(xué)院的學(xué)術(shù)活動。那時他研究了復(fù)變函數(shù)的級數(shù)展開和微分方程(強(qiáng)級數(shù)法)，并為此作出重要貢獻(xiàn)。</p><p>　　1833～1838年柯西先在布拉格、后在戈爾茲擔(dān)任波旁王朝“王儲”波爾多公爵的教師，最后被授予“男爵”封號。在此期間

17、，他的研究工作進(jìn)行得較少。</p><p>　　1838年柯西回到巴黎。由于他沒有宣誓對法王效忠，只能參加科學(xué)院的學(xué)術(shù)活動，不能擔(dān)任教學(xué)工作。他在創(chuàng)辦不久的法國科學(xué)院報告“和他自己編寫的期刊分析及數(shù)學(xué)物理習(xí)題”上發(fā)表了關(guān)于復(fù)變函數(shù)、天體力學(xué)、彈性力學(xué)等方面的大批重要論文。</p><p>　　1848年法國又爆發(fā)了革命，路易·菲力浦倒臺，重新建立了共和國，廢除了公職人員對法王效忠

18、的宣誓?？挛饔?848年擔(dān)任了巴黎大學(xué)數(shù)理天文學(xué)教授，重新進(jìn)行他在法國高等學(xué)校中斷了18年的教學(xué)工作。</p><p>　　1852年拿破侖第三發(fā)動政變，法國從共和國變成了帝國，恢復(fù)了公職人員對新政權(quán)的效忠宣誓，柯西立即向巴黎大學(xué)辭職。后來拿破侖第三特準(zhǔn)免除他和 物理學(xué)家阿拉果的忠誠宣誓。于是柯西得以繼續(xù)進(jìn)行所擔(dān)任的教學(xué)工作，直到 1857年他在巴黎近郊逝世時為止。柯西直到逝世前

19、仍不斷參加學(xué)術(shù)活動，不斷發(fā)表科學(xué)論文。</p><p>　　1857年5月23日他突然去世，享年68歲，他因為熱病去世，臨終前，他還與巴黎大主教在說話，他說的最後一句話是：''人總是要死的，但是，他們的功績永存''</p><p>　　柯西不等式是由大數(shù)學(xué)家柯西(Cauchy)在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時得到的。但從歷史的角度講，該不等式應(yīng)當(dāng)稱為Cauc

20、hy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因為，正是后兩位數(shù)學(xué)家彼此獨立地在積分學(xué)中推而廣之，才將這一不等式應(yīng)用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，靈活巧妙地應(yīng)用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解。 柯西不等式在證明不等式、解三角形、求函數(shù)最值、解方程等問題的方面得到應(yīng)用。</p><p>　　柯西不等式是一個非常重要的不等式，靈活巧妙的應(yīng)用運用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解，這個不等式結(jié)構(gòu)

21、和諧，應(yīng)用靈活廣泛，利用柯西不等式可處理以下問題：</p><p><b>　?、偾笞畲笾?lt;/b></p><p>　　例 設(shè)實數(shù)滿足，求的最大值。</p><p>　　分析：構(gòu)造兩組數(shù)：用這兩組數(shù)代入柯西不等式</p><p><b>　　解：</b></p><p>　　

22、因為其中等號當(dāng)且僅當(dāng)且時成立，</p><p>　　解得時， 取最大值。</p><p><b>　?、谧C明相關(guān)命題</b></p><p>　　例 用柯西不等式推導(dǎo)點到直線的距離公式。</p><p><b>　　已知點及直線</b></p><p>　　設(shè)點是直線上

23、的任意一點， 則</p><p><b>　　(1)</b></p><p><b>　　(2)</b></p><p>　　點兩點間的距離就是點到直線的距離，求（2）式有最小值，有</p><p><b>　　由（1）（2）得：</b></p><p>

24、;<b>　　即</b></p><p><b>　　(3)</b></p><p><b>　　當(dāng)且僅當(dāng) </b></p><p>　　式取等號 即點到直線的距離公式</p><p><b>　　即</b></p><p>　　

25、③在不等式方面的應(yīng)用。</p><p>　　例：已知正數(shù)滿足，求證</p><p>　　證明：由柯西不等式，可得，</p><p><b>　　由于，所以</b></p><p>　　又由于都是正數(shù)，且，所以</p><p>　?、茉诘仁椒矫娴膽?yīng)用。</p><p><

26、;b>　　例：已知且證明</b></p><p>　　證明： 由已知條件有 （2）</p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。即 （3）</p><p>　　由（2）和（3）式解得所以</p><p>　　⑤解三角形的相關(guān)問題。</p><p>　　例：

27、設(shè)是內(nèi)的一點，是到三邊的距離，是外接圓的半徑，證明</p><p>　　證明：由柯西不等式得，</p><p><b>　　記為的面積，則</b></p><p><b>　　故不等式成立。</b></p><p>　?、抻每挛鞑坏仁浇忉寴颖揪€性相關(guān)系數(shù)。</p><p>　

28、　在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》〉一書中，在線性回歸中，有樣本相關(guān)系數(shù)，并指出且越接近于1，相關(guān)程度越大，越接近于0，則相關(guān)程度越小?，F(xiàn)在可用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)。</p><p>　　現(xiàn)記，，則，，由柯西不等式有，，當(dāng)時，，此時，。</p><p><b>　　點 均在直線上，</b></p><p><b>　　當(dāng)時，，即，&l

29、t;/b></p><p><b>　　而，</b></p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　此時，。</b></p><p>　　點均在直線附近，所以越接近于1，相關(guān)程度越大</p><p>　　當(dāng)時，不具備上述特征，

30、從而，找不到合適的常數(shù)，使得點都在直線附近。所以，越接近于0，則相關(guān)程度越小。</p><p>　　三、總結(jié)部分（將全文主題進(jìn)行扼要總結(jié)，提出自己的見解并對進(jìn)一步的發(fā)展方向做出預(yù)測）</p><p>　　本課題討論柯西不等式之間的一些等價形式及其在數(shù)學(xué)中不同形式的推證. 目的是通過此課題的研究對柯西不等式的各種形式有一個全面的認(rèn)識并加以應(yīng)用</p><p>　　1）

31、柯西不等式的學(xué)習(xí)，能夠增強(qiáng)學(xué)生自主探究數(shù)學(xué)問題的能力，掌握研究數(shù)學(xué)問題的立足點和基本思想方法。如掌握研究數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題的方法是：發(fā)現(xiàn)問題——猜測結(jié)論——分析論證——推廣結(jié)論——應(yīng)用結(jié)果。又如利用類比歸納的方法掌握對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行多層次全方位的推廣研究，向高維的推廣、向縱深的推廣、類比橫向的推廣、反向的推廣以及這幾種推用的廣方法的聯(lián)合使再推廣。</p><p>　　2）對任何數(shù)學(xué)問題的探究，從幾何直觀的角度進(jìn)行思

32、考是最為順理成章的和自然的，感受到數(shù)學(xué)家是如何看問題、想問題和解決問題的，進(jìn)而使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動成為數(shù)學(xué)再創(chuàng)造 、再發(fā)現(xiàn)的過程，并體悟到數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的過程之艱辛，但又能醒悟到做出來的數(shù)學(xué)竟是如此美妙，從而源自于本能的深深地愛上數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動過程特別是數(shù)學(xué)思維習(xí)慣成為他們終生學(xué)習(xí)和生活的實踐者。</p><p>　　3）數(shù)學(xué)教學(xué)過程理應(yīng)注重分析數(shù)學(xué)問題的來龍去脈，明晰各知識點間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律，

33、以其內(nèi)在的自然審美觀給出既簡潔又相對繁瑣、既常規(guī)的通性通法又帶有相對自我創(chuàng)造性的構(gòu)造性方法，全面發(fā)展和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、深刻性、敏捷性、批判性和廣闊性。</p><p>　　4）數(shù)學(xué)問題的探究，理應(yīng)強(qiáng)化應(yīng)用意識和掌握如何應(yīng)用結(jié)論的基本方法。如柯西不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵在于如何比照性的構(gòu)造出兩組數(shù)：積和數(shù)組、平方和數(shù)組以及題設(shè)條件的定值等方面，也就是說，使學(xué)生在應(yīng)用方面抓住問題解決的本質(zhì)

34、——構(gòu)造應(yīng)用結(jié)論的形式或轉(zhuǎn)化變形形式。</p><p>　　5)通過柯西不等式的學(xué)習(xí)，促使學(xué)生在提出問題、分析問題、解決問題以及交流和反思等方面獲得發(fā)展。本質(zhì)上是：使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，有一個充滿親身經(jīng)歷觀察、實驗分析、歸納、類比、猜測、論證、概括、推廣、應(yīng)用、反思等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)知過程，形成質(zhì)疑問題、 勤于探究思考，真正讓學(xué)生感受和體驗數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生過程、發(fā)現(xiàn)過程和應(yīng)用過程，養(yǎng)成敢于發(fā)表自己的獨到見解，使發(fā)現(xiàn)問

35、題和提出問題成為數(shù)學(xué)探究活動的主旋律。</p><p>　　6）數(shù)學(xué)教育理應(yīng)成為崇尚自然、返樸歸真、倡導(dǎo)學(xué)習(xí)純潔真樸的自然之道。面對這種精神的向往，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教育教學(xué)過程的自然性，把數(shù)學(xué)課堂教學(xué)演繹成每集故事情節(jié)相對獨立而具有完整性的一部優(yōu)秀電視連續(xù)劇，使學(xué)生學(xué)起來既輕松、愉悅、自然，又充滿興趣、渴望、好奇心。</p><p>　　7）數(shù)學(xué)教育理應(yīng)體現(xiàn)在時代性，應(yīng)喚起人們以出世心態(tài)做入世之

36、事業(yè)，找回本態(tài)自我，把淡泊寧靜、誠實質(zhì)樸、超然物外作為數(shù)學(xué)教師職業(yè)的追求；也能從“苦其心志，勞其筋骨”進(jìn)入到“智者樂水，仁者樂山”的崇高境界，定會成為數(shù)學(xué)教育工作們的最心愛的精神憩園和最愜意的棲身之地。中國數(shù)學(xué)教育之路定會成為創(chuàng)新型人才的搖籃。</p><p>　　四、參考文獻(xiàn)（根據(jù)文中參閱和引用的先后次序按序編排）</p><p>　　[1]楊渭清.柯西（Cauchy）不等式及其應(yīng)用[J

37、].榆林學(xué)院學(xué)報.2004,14(3):33-34</p><p>　　[2]費傳寶.柯西不等式在統(tǒng)計教學(xué)中的應(yīng)用[J].鎮(zhèn)海高專學(xué)報.2009,22(4):109-111</p><p>　　[3]張景麗.柯西不等式的多種形式及應(yīng)用[J].高校理科研究.2007,(7): 93-94</p><p>　　[4]鐘梅.幾種柯西不等式之間的一些推證[J].玉林師范學(xué)院

38、學(xué)報.2006,27(3):5-6.</p><p>　　[5]蔡海歐.柯西不等式含義詮釋初探[J].數(shù)學(xué)通報. 2001,(6):45-46.</p><p>　　[6]張千祥.柯西不等式的教學(xué)價值[J].大學(xué)數(shù)學(xué).2004,20(2):116-118.</p><p>　　[7]M.I.Shirokov. Cauchy Inequality and Uncert

39、ainty Relations for Mixed States[J].International Journal of Theoretical Physics.2006,45(1):147-157.</p><p>　　[8]百度百科. 柯西不等式[EB/OL]. http://baike.baidu.com/view/7618.htm,2010-12-28</p><p>　　[9]

40、楊世海.淺析構(gòu)造法及其教學(xué)價值[J].中學(xué)數(shù)學(xué)參考,2004,7:29-31</p><p>　　[10]鞠建恩.柯西不等式在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].南平師專學(xué)報，2002,21(2):35-38.</p><p>　　[11]趙朋軍.柯西不等式的多種證法推廣及其應(yīng)用.商洛師范?？茖W(xué)校學(xué)報，2004,18(1):73-75</p><p>　　[12]呂宏宇.Cau

41、chy不等式的證明和在解題中的應(yīng)用[J].大慶師范學(xué)院學(xué)報.2007,27(5):56-58</p><p>　　[13]竺歡樂.用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)[J].數(shù)學(xué)通訊.2004,(7):11-12．</p><p>　　[14] Jay L.Devore.Probability and Statistics [M].Fifty Edition.Beijing：Higher Ed