雙曲守恒律方程組光滑解的整體存在性和奇性分析.pdf

1、本文主要針對(duì)一維和高維雙曲守恒律方程組柯西問(wèn)題光滑解的整體存在性和破裂現(xiàn)象進(jìn)行了研究。
　　第一章主要介紹問(wèn)題的研究背景、意義以及研究現(xiàn)狀。在此基礎(chǔ)上給出了本文所得到的主要結(jié)果。
　　在第二章，我們主要研究由P.D.Lax引入的一類(lèi)復(fù)的守恒律。該復(fù)守恒律本質(zhì)上是一類(lèi)二維（含有兩個(gè)空間變量）擬線性雙曲系統(tǒng)。通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)牧骱瘮?shù)，該方程組是線性退化的，在這種情況下，得到了該系統(tǒng)小初值柯西問(wèn)題光滑解的整體存在性和生命跨度下界的估計(jì)

2、。對(duì)一大類(lèi)流函數(shù)，該系統(tǒng)在某個(gè)方向上是真正非線性的，在這種情況下，得到該系統(tǒng)小初值柯西問(wèn)題光滑解一定在有限的時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生奇性，并且我們對(duì)解的生命跨度給出了一個(gè)精確的估計(jì)。
　　在第三章，我們針對(duì)一維線性退化雙曲系統(tǒng)（Chaplygin gas方程）柯西問(wèn)題解的奇性形成和傳播進(jìn)行了研究。根據(jù)初值的合理選擇，我們得到了一類(lèi)新的奇性（Delta-奇性），包括“點(diǎn)奇性”、“線奇性”和“尖點(diǎn)奇性”。通過(guò)特征線方法，我們發(fā)現(xiàn)這類(lèi)奇性與激波的形成

3、有很大的不同，Delta-奇性的形成機(jī)制是不同族的特征線在奇點(diǎn)處相切（嚴(yán)格雙曲性失去）。除此之外，我們對(duì)解在奇點(diǎn)附近的破裂行為進(jìn)行了分析。更進(jìn)一步，根據(jù)解在奇點(diǎn)附近的破裂行為，在奇性產(chǎn)生后，我們構(gòu)造了一類(lèi)弱解（δ波），并且證明了它的存在唯一性。
　　在第四章，我們主要研究數(shù)學(xué)物理中的一類(lèi)重要的方程，de-Sitter時(shí)空類(lèi)時(shí)極值曲面方程的柯西問(wèn)題。利用廣義能量方法，我們得到小初值條件下，光滑解生命跨度下界的估計(jì)。
　　最后，