圖的虧格等式不等式.pdf

1、本論文主要研究的是圖在曲面上的嵌入.分為兩大部分,第一部分(包括第二章,第三章和第四章),在第二章的基礎(chǔ)上,第三和第四章深入分析Stiebitz等人于[Journal of Combinatorial Theory,Series B96(2006)20-37]提出的猜想:設(shè)K是完全圖,H是任意圖.G是K和H邊不交的并,H’是從G通過收縮V(K)成一個頂點(diǎn)所得到的圖.那么,
　　 γ(K)+γ(H')≤γ(G).把圖嵌入曲面上,得

2、到圖的最小虧格嵌入曲面,然后利用嵌入曲面的組合表示及多邊形表示,對其相應(yīng)的性質(zhì)進(jìn)行研究,獲得了具有某些性質(zhì)的圖的等式和不等式.
　　 第二部分(包括第五章,第六章和第七章),討論了圖在曲面上嵌入的分類,即確定圖在同一曲面上(不等價的)嵌入的數(shù)目.這一問題是拓?fù)鋱D論中關(guān)于圖的嵌入的研究中的重要問題.
　　 文中所討論的圖均為連通圖,曲面為無邊緣的緊2-維流形.圖G在曲面S上的一個嵌入是指存在一個1—1連續(xù)映射h:G→S,使

3、得S-h(G)的每個連通分支均為一個2-胞腔.此種嵌入也被稱為胞腔嵌入.每一個連通圖G的最小虧格嵌入一定是胞腔嵌入.
　　 圖G在可定向曲面S上的兩個嵌入h:G→S和g:G→S被稱為是等價的是指存在一個保定向同胚 f:S→S使得foh=g.對這一問題的研究可追溯到Gross和Furst在上世紀(jì)八十年代對圖的嵌入的不變量的研究,之后很多學(xué)者便圍繞這一問題進(jìn)行了研究及拓展.
　　 第一章首先對圖論發(fā)展作了-簡要的回顧,然后對

4、拓?fù)鋱D論的發(fā)展起了重大作用的Heawood問題作了簡要介紹.隨后,對曲面嵌入的相關(guān)概念及研究背景,曲面的多邊形表示及嵌入的聯(lián)樹模型做了詳細(xì)介紹.最后,對文章結(jié)構(gòu)及各章內(nèi)容進(jìn)行了簡介.
　　 第二章以聯(lián)樹模型及曲面的多邊形表示作為基礎(chǔ),研究了圖的最小虧格嵌入曲面的多邊形表示及其相互關(guān)系,證明了兩個著名的與圖的虧格有關(guān)的定理.
　　 第三章對猜想進(jìn)行了研究,應(yīng)用組合的方法把圖嵌入到曲面上,構(gòu)造性地證明了定理3.1,然后利用邊

5、不交的兩圖并與頂點(diǎn)不交的兩圖并的關(guān)系,從而獲得了定理3.2:設(shè)K是n階的Hamilton圖,H是m階的任意圖,G是圖K和圖H的邊不交的并圖.H'是圖G通過收縮V(K)成一個單個頂點(diǎn)而獲得的圖.那么,
　　 γ(H')+γ(K)≤γ(G).因?yàn)橥耆珗D是Hamilton圖,從而由定理3.2我們可以推出猜想成立.
　　 第四章繼續(xù)對猜想進(jìn)行深入的研究,以聯(lián)樹模型及曲面的多邊形表示作為基礎(chǔ),用曲面的多邊形代數(shù)表示的方法,證明了定

6、理4.1,然后利用邊不交的兩圖并與頂點(diǎn)不交的兩圖并的關(guān)系,從而獲得了定理4.2:設(shè)K是一個具有階n的連通圖,H是一個具有階m的任意圖,G是圖K和圖H的邊不交的并圖.H'是圖G通過收縮V(K)成一個單個頂點(diǎn)而獲得的圖.那么,
　　 γ(H')+γ(K)≤γ(G).因?yàn)橥耆珗D是連通圖,從而由定理4.2我們可以推出猜想成立.
　　 第五章以梯形圖已有的結(jié)果為基礎(chǔ),把相應(yīng)的關(guān)聯(lián)曲面分為11類,用曲面分類的方法研究了珍珠梯圖的虧格