各向異性有限元和混合元分析.pdf

1、本文主要研究各向異性CN-1-連續(xù)的Hermite型有限元和混合元問題的非協(xié)調(diào)有限元分析。傳統(tǒng)的有限元方法誤差估計(jì)需要滿足正則性條件或非退化條件,即:單元的直徑和單元的最大內(nèi)切圓直徑的比值是一致有界的。這個(gè)條件限制了有限元的應(yīng)用。這是因?yàn)?許多實(shí)際問題的解可能會(huì)在邊界層或者區(qū)域的拐角處呈現(xiàn)各向異性特征,即真解沿某一個(gè)方向變化劇烈,此時(shí),標(biāo)準(zhǔn)的有限元方法精度降低。另外,在一些問題中,例如復(fù)合材料問題,如果采用正則網(wǎng)格剖分,計(jì)算量非常大。因

2、此,采用各向異性有限元(即不滿足正則性條件)是很有必要的。目前各向異性有限元已經(jīng)成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者關(guān)注的熱點(diǎn)之一。
　　第二章中,我們構(gòu)造了兩類Hermite型有限元,在不需要滿足正則性條件下,運(yùn)用Hermite插值的Newton公式、重合節(jié)點(diǎn)的均差和各向異性插值理論統(tǒng)一地證明了CN-1-連續(xù)各向異性矩形元的誤差估計(jì),并將矩形元推廣到三維長(zhǎng)方體元。最后給出了數(shù)值算例驗(yàn)證了理論分析的結(jié)果。Darcy-Stokes問題是模擬多孔介質(zhì)流和液

3、體流動(dòng)的耦合問題。在某些子區(qū)域上,方程表現(xiàn)為Darcy方程;在某些子區(qū)域上,方程表現(xiàn)為Stokes方程。在一個(gè)區(qū)域上,當(dāng)v(x)=ε2、α(x)=1時(shí),Darcy-Stokes方程變?yōu)槠娈悢z動(dòng)方程。由于帶有不連續(xù)系數(shù)v(x),α(x),很多對(duì)Stokes問題或?qū)arcy問題收斂的有限元對(duì)Darcy-Stokes問題是不穩(wěn)定的或收斂性降低。
　　在第三章中,首先我們構(gòu)造了兩個(gè)新的非協(xié)調(diào)矩形單元,分析了單元對(duì)Darcy-Stokes

4、問題的穩(wěn)定性,給出了有限元誤差分析結(jié)果;并且證明了對(duì)一個(gè)區(qū)域上的奇異攝動(dòng)Darcy-Stokes問題,所構(gòu)造的單元關(guān)于奇異攝動(dòng)系數(shù)是一致收斂的。然后將矩形元推廣到三維長(zhǎng)方體單元,分析了三維單元對(duì)Darcy-Stokes問題和奇異攝動(dòng)問題的穩(wěn)定性和一致收斂性。
　　最后給出了數(shù)值實(shí)驗(yàn),與理論分析是吻合的。Stokes問題是流體力學(xué)中的一種重要問題,速度與壓力同時(shí)計(jì)算,是標(biāo)準(zhǔn)的混合問題。分析的難點(diǎn)在于有限元空間必須滿足離散的inf-s