分塊矩陣廣義逆的表達式.pdf

1、我們都知道，如果M是一個非奇異方陣，那么存在一個矩陣G，使得MG=GM=I，G被稱為矩陣M的逆矩陣，記作M-1。如果矩陣M是一個奇異矩陣或者是長方陣，逆矩陣G就不存在了。E.H.Moore和R.Penrose擴展了逆矩陣的符號，并提出了廣義逆矩陣的概念。 一個矩陣有多種形式的廣義逆，在所有的Moore-Penrose廣義逆里面，除了M+外，其余均不唯一。另外，幾種重要的廣義逆，包括M-P逆M+，加權M-P逆M+X,Y，群逆Mg和

2、Drain逆Md分別是某種具有相應的指定值域和零空間的M的{2}逆M(2)T，S,他們在線性方程組、微分方程、差分方程、最優(yōu)控制等方面有著廣泛的應用. 本文研究各種廣義逆的表達式，為了使問題簡化，我們把矩陣M進行分塊，通過研究它的子塊來研究M的廣義逆。對于任意矩陣M∈Cm×nr，通過行置換和列置換，可以將其中的r階非奇異陣移到左上角，即存在置換矩陣P和Q，使得M=P(ACBC)Q，A∈Gr×rr，由于上式右端具有特殊的形式，能夠

3、得到任意矩陣M的各種廣義逆的表達式。也可以只通過行置換或者列置換，得到M=P(AB)或M=(A B)Q的形式，這里的A分別是秩為r的行滿秩陣和列滿秩陣，從而可以得到與四分塊相應的結果。 本文的第一章介紹了后面幾章用到的一些符號和幾種廣義逆的定義。在第二章和第三章，通過置換分別將M分成四塊和兩塊，討論了M-P逆、M(2)T,S和它幾種特殊形式的廣義逆的表達式，并給出了幾個數值例子來驗證前面的定理。通過例子可以看到，我們的結果是有效