二維三維彈性問題混合元.pdf

1、本文主要討論線彈性方程,在Hellinger-Reissner變分形式的基礎(chǔ)上,系統(tǒng)的構(gòu)造了二維空間下的矩形和三角形單元,三維空間下的立方體和四面體單元等一系列簡單穩(wěn)定的單元.對單元的適定性,收斂性,誤差估計,以及二維三維矩形和立方體單元的各向異性特征進(jìn)行了深入的分析和系統(tǒng)的研究.并對二維協(xié)調(diào)的矩形單元和非協(xié)調(diào)的三角形單元進(jìn)行了相應(yīng)的數(shù)值實驗。首先構(gòu)造了具有最少自由度的協(xié)調(diào)的二維矩形單元R8?2和三維立方體單元C18?3.即矩形單元的應(yīng)

2、力和位移空間分別為8個和2個自由度.立方體單元的應(yīng)力和位移空間中分別為18和3個自由度.由于所構(gòu)造單元不滿足關(guān)于散度的投影性質(zhì),因此我們采用了構(gòu)造的方法證明了離散BB條件,即離散混合問題的唯一可解性條件.在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析,發(fā)現(xiàn)了單元的各向異性特征,并由此得到了單元的誤差估計.據(jù)我們所知這是首次構(gòu)造的各向異性彈性問題混合元。其次,在構(gòu)造最簡單矩形單元的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步構(gòu)造了一系列矩形高階單元,當(dāng)次數(shù)大于等于4時滿足散度的投影性質(zhì),據(jù)此得

3、到單元的適定性和離散問題的唯一可解性及誤差估計,并得到相應(yīng)的彈性復(fù)形。再次,在構(gòu)造矩形類單元的基礎(chǔ)上,又對三維四面體單元構(gòu)造過程中的空間?k(K)進(jìn)行了研究和討論,因為在Hellinger-Reissner變分形式下,應(yīng)力是屬于H(div,Ω;S)空間,協(xié)調(diào)元構(gòu)造要求應(yīng)力的法向分量跨過單元邊界連續(xù),在協(xié)調(diào)元構(gòu)造中計算空間此處為公式的維數(shù)是個難點問題.在本部分中給出了任意階空間維數(shù)計算的一般方法,并且此方法能夠很方便的求出相應(yīng)的顯式基,同

4、時證明了k=3時,集合?k(K)的維數(shù)為0,并且給出k=4時空間的一組基。最后,構(gòu)造了關(guān)于線彈性問題的一系列新的從低階到高階的三角形和四面體非協(xié)調(diào)單元及相應(yīng)剛體運(yùn)動下的簡化單元,這里構(gòu)造的二維三維單元區(qū)別于之前文獻(xiàn)中構(gòu)造的單元,構(gòu)造簡單,自由度少.這些單元定義在參考單元上,形函數(shù)空間顯式給出,我們嚴(yán)格證明了這類單元的仿射等價性,易于進(jìn)行數(shù)值實驗當(dāng)k=1時簡化的三角形單元的應(yīng)力空間和位移空間具有12+3個自由度,簡化的四面體單元的應(yīng)力空間