二維彈性問題快速多極虛邊界元法研究及其若干應(yīng)用.pdf

1、物理、力學(xué)以及工程實(shí)際問題大多可以從數(shù)學(xué)上擬定為數(shù)學(xué)物理方程的邊、初值問題。一般而言，一些極簡單的少數(shù)問題可直接采用解析的方法求解，而對于大多數(shù)復(fù)雜的問題通常只能采用數(shù)值的方法求解。相對于有限元法，邊界元法可以降低數(shù)值求解的維數(shù)，因其只需在求解域的邊界上進(jìn)行網(wǎng)格剖分或離散化；另外，尤其適宜于分析無限域問題，應(yīng)力集中、裂紋擴(kuò)展及具有復(fù)雜界面形狀的復(fù)合材料結(jié)構(gòu)問題，……。 虛邊界元法具有邊界元直接法在工程應(yīng)用中所體現(xiàn)的優(yōu)勢，此外，還

2、具有避免奇異積分和不存在邊界層效應(yīng)等優(yōu)點(diǎn)，其思想簡單應(yīng)用方便，且應(yīng)用范圍已涉及到位勢、熱傳導(dǎo)、壓電材料及固體力學(xué)中的諸多問題等。然而，與邊界元直接法一樣，對大規(guī)模復(fù)雜問題按傳統(tǒng)手段求解虛邊界元法所形成的線性方程組，不但計(jì)算耗時(shí)多且儲(chǔ)存量大。近年來隨著快速多極算法的進(jìn)一步深入研究，其為虛邊界元法實(shí)現(xiàn)提高計(jì)算效率和減少存儲(chǔ)空間提供了可行的路徑。 本文首先針對二維彈性力學(xué)問題的快速多極虛邊界元-等額配點(diǎn)法展開了研究，并提出了相應(yīng)的快速

3、多極展開格式，其使得虛邊界元法求解方程的計(jì)算耗時(shí)量和儲(chǔ)存量均降至O(N)量級，這不但極大地提高了計(jì)算效率且使得計(jì)算自由度達(dá)百萬以上的問題能夠在普通個(gè)人微機(jī)上得以實(shí)現(xiàn)。換言之，與傳統(tǒng)求解技術(shù)相比較，快速多極虛邊界元-等額配點(diǎn)法在保證求解精度的前提下，能夠在計(jì)算速度上有量級的提高，同時(shí)在儲(chǔ)存量上有量級的降低。 在上述研究工作的基礎(chǔ)上，本文又針對二維彈性力學(xué)問題的快速多極虛邊界元-最小二乘法展開了研究，并提出了一種具有“O(N)量級”

4、的快速多極虛邊界元-最小二乘法的數(shù)值計(jì)算格式。由于該算法引入了最小二乘的思想，可以較易實(shí)現(xiàn)“過額配點(diǎn)思想”，即實(shí)、虛邊界的單元剖分?jǐn)?shù)或配點(diǎn)數(shù)無需相等，且可根據(jù)求解問題的計(jì)算精度要求來靈活劃分虛、實(shí)邊界上的單元或直接配點(diǎn)，以獲得更高的計(jì)算效率(相對等額配點(diǎn)而言)。 作為快速多極虛邊界元法的上述兩種數(shù)值計(jì)算格式的應(yīng)用研究，文中重點(diǎn)模擬分析了二維含大規(guī)模圓孔和圓形夾雜的復(fù)合材料問題，算例中所涉及到的最大計(jì)算自由度數(shù)達(dá)到了百萬以上；具體

5、研究了復(fù)合材料中基體和夾雜相應(yīng)細(xì)觀結(jié)構(gòu)參數(shù)對宏觀有效性能的影響，并將所得到的數(shù)值計(jì)算結(jié)果與經(jīng)典細(xì)觀力學(xué)的近似方法作了相應(yīng)對比，且分析了復(fù)合材料內(nèi)部界面上的應(yīng)力分布。通過應(yīng)用研究，獲得了一些有重要參考價(jià)值的結(jié)論；所得表征復(fù)合材料宏觀物理性能的相關(guān)數(shù)據(jù)可以作為復(fù)合材料的參數(shù)預(yù)報(bào)?？傊?，快速多極算法的引入有效地提高了虛邊界元法的計(jì)算效率和求解大規(guī)模復(fù)雜問題的能力，使得虛邊界元法有了更好的發(fā)展空間。 “數(shù)值計(jì)算的理論、方法還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有完善