有向圖的斜能量研究.pdf

1、圖譜理論研究的是圖的矩陣（主要是圖的鄰接矩陣、Laplace矩陣等）或圖的算子的譜，通過建立圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（特別是圖的各種不變量）和圖的特征值（或特征值的組合形式）及特征向量之間的聯(lián)系，應(yīng)用代數(shù)理論（主要為矩陣論，群論）來研究圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)性質(zhì)，或者反過來應(yīng)用圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)來研究代數(shù)和幾何中的譜性質(zhì)。
　　 圖的能量研究是圖譜理論的一個(gè)重要研究領(lǐng)域。有關(guān)圖的能量的研究，可以追朔到1970年的I.Gutman對(duì)無向圖鄰接矩陣的能量的研究

2、，其在理論化學(xué)中較強(qiáng)的應(yīng)用:通過對(duì)有機(jī)分子建立圖模型，應(yīng)用圖的特征值定量分析其能量級(jí)和穩(wěn)定性。因此，受到人們的普遍關(guān)注。像Gutman刻畫了無圈圖的最大和最小能量樹及存在完美匹配的樹的能量問題。Hou等人構(gòu)造了極大與極小能量單圈圖（雙圈圖）。Li和Zhou則討論了含有某個(gè)參數(shù)的能量問題。近年來，人們開始關(guān)注圖的其它矩陣表示的能量研究，如:有向圖的斜鄰接矩陣，圖的Laplace矩陣和無符號(hào)的Laplace矩陣等。
　　 本文我們將

3、討論有向圖的斜能量。2010年，C.Adiga等人介紹并研究了有向圖斜能量，給出了有向圈和有向樹的斜能量計(jì)算公式，證明了有向樹的斜能量和它的基礎(chǔ)圖的能量相同。此外，他還得出對(duì)于任意一個(gè)有向圖，它的斜能量都滿足εs(Gσ)≤n√△，這里εs(Gσ)表示有向圖Gσ的斜能量，△表示有向圖Gσ的最大度，n表示有向圖Gσ的階。而如果εs(Gσ)=n√Δ成立，則Gσ一定是△-正則有向圖。但是他沒有刻畫出滿足此條件的有向圖的具體結(jié)構(gòu)。在這之后，單圈有

4、向圖的斜能量，雙圈有向圖的斜能量，刻畫其最大或最小斜能量有向圖等問題開始被研究者們逐步解決。當(dāng)然，還是有很多問題等待我們?nèi)ソ鉀Q，如對(duì)于給定某個(gè)參數(shù)的斜能量問題，仍然有著很好的研究背景。
　　 本文主要解決的問題有:(1)分別刻畫3-正則最優(yōu)斜能量有向圖和4-正則最優(yōu)斜能量有向圖。(2)刻畫給定直徑的最小斜能量單圈有向圖。
　　 整篇文章的結(jié)構(gòu)安排如下:第一章介紹圖論的基本知識(shí)和圖的能量的發(fā)展背景及進(jìn)展。第二章主要討論三正