關于圖的能量和斜能量的若干極值問題.pdf

1、對一個簡單無向圖G，它的能量(ε)(G)定義為對應鄰接矩陣的所有特征值的絕對值之和。圖能量和化學有著非常密切的關系，特別是圖的特征值和共軛碳氫化合物中π-電子的分子軌道能量之間存在著緊密對應。自1977年Gutman提出圖能量的概念后，就引起了很多理論化學家和數學家的關注。尤其是2000年以后，圖能量更是得到了長足發(fā)展，大量論文發(fā)表在各類數學化學期刊上。
　　除了圖能量，一些其他類型的能量也在數學上被提出，其中非常重要的一個就是有

2、向圖的斜能量，它定義為有向圖斜鄰接矩陣的特征值的模之和。
　　在圖能量和斜能量的研究中，我們遇到的一個基本問題，就是在給定的圖類中確定哪些圖具有極大或極小能量。本文完全解決了關于給定最大頂點度的樹的兩個極大能量問題，對有向圖的極值問題，也給出了非常好的結果。
　　第一章是引言，我們首先給出了文中涉及的基本概念和相關知識，然后介紹了圖能量和斜能量的相關背景，最后列出了這篇論文的主要結果。
　　第二章給出了本文涉及到的一些

3、預備知識，包括:特征多項式，Coulson積分公式以及關于無符號匹配多項式的主要引理。
　　在接下來的兩章中，我們研究一類非常重要的圖，樹。2009年，李學良等人證明了在所有n個頂點并且其中兩個頂點具有最大度△的樹中，Ta(△，t)或者Tb(△，t)具有極大能量。其中Ta(△，t)（簡寫為Ta）表示在路Pt的兩個端點處各連接△-1個P2后得到的樹，Tb(△，t)（簡寫為Tb）表示在路Pt+2的一個端點處連接△-1個P2，在這個端點

4、的鄰點處連接△-2個P2后得到的樹，此處△≥3，t=n+4-4△≥3。但是他們不能確定到底是Ta還是Tb更大一些，因為之前常用的擬序比較方法在這里失效了。
　　在第三章中，我們創(chuàng)造性地將無符號匹配多項式引入圖能量的Coulson積分公式，結合分析和代數方法，成功地解決了這一問題。我們證明對所有△≥7，t≥3的情況，極大能量樹是Tb，對△=3，t≥3的情況，極大能量樹是Ta。此外，如果△=4，除了t=4時極大能量樹為Tb，其他情況下

5、都為Ta。對△=5，在t為3到89之間的奇數時，極大能量樹為Ta，其他情況下為Tb?！?6時，只有t=3，5，7這三種情況下極大能量樹為Ta，其余情況均為Tb。很明顯可以看出，對大部分情況，Tb是我們要找的極大能量樹，△=5是一個轉折點，△=3，4是特殊情況。這也就意味著，對所有的化學樹（最大度至多為4的樹），除了Ta(4，4)之外，Ta都是極大能量樹。
　　在第四章中，我們類似地定義具有一個最大度頂點一個次最大度頂點的樹。令Tf

6、(d1，d2，t)（簡寫為Tf）表示在路Pt的一個端點處連接d1-1個P2，另一個端點處連接d2-1個P2后得到的樹，Tg(d1，d2，t)（簡寫為Tg）表示在路Pt+2的一個端點處連接d1-1個P2，在這個端點的鄰點處連接d2-1個P2后得到的樹，其中d1＞d2≥3，t≥3。姚祥妹在2010年證明了對所有n個頂點，其中兩個頂點分別具有最大度d1和次最大度d2的樹，Tf或者Tg具有極大能量。但是確定到底是Tf還是Tg更大一些仍是一個難題

7、。
　　上述問題涉及更多變量，因此其證明更加困難。我們巧妙地利用兩個變量的差簡化計算，配合使用分析和代數方法，完全解決了這個問題。我們證明了對d1≥7，d2≥3或者d1=6，d2=3的情況，Tg是極大能量樹。如果d1=4且d2=3，當t=4時Tg具有極大能量，其余情況Tf具有極大能量。對于剩下的情況，當(i) d1=5，d2=4，t是3到45之間的奇數;(ii) d1=5，d2=3，t是3到29之間的奇數;(iii) d1=6，d

8、2=5，t=3，5，7;(iv) d1=6，d2=4，t=5的時候，極大能量樹為Tf，其余情況為Tg。
　　最后一章給出了關于有向圖的斜能量的一些研究結果。令(→6)n表示具有n個頂點，不包含偶圈的有向圖，(→6)n，m表示(→6)n中邊數為m的圖類，我們確定了(→6)n和(→6)n，m(n-1≤m≤3/2(n-1))這兩類圖中的極小斜能量有向圖，并且得到了(→6)n，n以及(→6)n,n+1（n為偶數）中的極大斜能量有向圖。