數學外文翻譯---數學分析原理第四章連續(xù)性第一節(jié)函數的連續(xù)性

1、<p>　　外文翻譯： </p><p>　　數學分析原理第四章連續(xù)性第一節(jié)函數的連續(xù)性</p><p>　　原文來源：“Principles of Mathematical Analysis.”from Walter Rudin</p><p><b>　　譯文正文：</b></p>&l

2、t;p>　　在定義2.1和2.2中引進了函數概念和一些與它有關的術語.雖然我們（在后面各章里）主要感興趣的是實函數和復函數（即值是實數或復數的函數），但是我們也要討論向量值函數（即在Rk中取值的函數）和在任意度量空間中取值的函數.我們在這個更一般的基礎上將要討論的定理，并不會因為我們限制在（例如）實函數而顯得更容易些，放棄不必要的假定和用適當普遍的措辭來敘述和證明定理，反而會使得情景確實簡潔了.</p><p&

3、gt;　　我們的函數的定義域也是度量空間，遇有不同的要求，便加以適當的說明.</p><p><b>　　函數的極限</b></p><p>　　4.1定義 令Ｘ和Ｙ是度量空間，假設，ｆ將Ｅ映入Ｙ內．且ｐ是Ｅ的極限點．凡是我們寫當時，或</p><p><b>　?。ǎ保?lt;/b></p><p>

4、　　的時候，就是存在一個點具有以下的性質：對于每個ε＞０，存在著δ＞０，使得</p><p><b>　?。ǎ玻?lt;/b></p><p><b>　　對于滿足</b></p><p><b>　?。ǎ常?lt;/b></p><p><b>　　的一切點成立．</b&

5、gt;</p><p>　　記號分別表示Ｘ和Ｙ中的距離．</p><p>　　如果Ｘ和（或）Ｙ換成實直線，復平面或某一歐式空間，那么距離自然該換成絕對值或相應的范數（見第２．１６段）．</p><p>　　應當注意，但是上面的定義中，并不一定要求ｐ是Ｅ的點．此外，即使，也完全可能．</p><p>　　我們還可以將這個定義用序列的極限改述為：

6、</p><p>　　4.2 定理 令Ｘ，Ｙ，Ｅ，ｆ和ｐ是定義4.1說的那些，那么</p><p><b>　　（４）</b></p><p><b>　　當且僅當</b></p><p><b>　?。ǎ担?lt;/b></p><p><b>

7、;　　對于Ｅ中合于</b></p><p>　　，　　　　　　　　　?。ǎ叮?lt;/p><p><b>　　的每個序列成立．</b></p><p>　　證　　假定（４）成立，?。胖袧M足（６）的．給定了ε＞０，那么就有δ＞０，使得當且時，．同樣又有Ｎ使得當ｎ＞Ｎ時，．這樣，對于ｎ＞Ｎ，我們有．這就證明了（５）成立．</p>

8、<p>　　反過來，假定（４）不成立．這時便有某一個ε＞０，使得對于每個δ＞０，都有點（依賴于δ），對于這來說，但．取我們就在Ｅ中找到一個滿足（６），但使（５）式不成立的序列．</p><p>　　推論　　如果ｆ在ｐ有極限，那么這極限是惟一的．</p><p>　　這可以由定理3.2（ｂ）及定理4.2推出來．</p><p>　　4.3　定義　　設有定

9、義在Ｅ上的兩個復函數和，我們用表示一個函數，它給Ｅ的每個點配置的數是．我們用類似的方法定義兩個函數的差，積及商，約定商只定義在Ｅ的那些使如果給Ｅ的每個點配置同一個數ｃ，那么就叫做一個常數函數，或簡單地叫做一個常數，并記作．設和都是實函數，如果對于每個來說，那么有時為了簡便，就記作．</p><p>　　類似地，如果和把Ｅ映入內，便用</p><p>　　來定義及；再若是是實數，便定義．&l

10、t;/p><p>　　4.4 定理 如果，Ｘ是度量空間，ｐ是Ｅ的極限點，與是Ｅ上的復函數，而且</p><p><b>　　那么</b></p><p><b>　?。ǎ幔?lt;/b></p><p><b>　?。ǎ猓?lt;/b></p><p><

11、b>　　（ｃ）</b></p><p>　　證　　依照定義４.３，這些論斷可以從序列的類似性質（定理３.３）直接退出來．</p><p>　　評注　如果與將Ｅ映入內，那么（ａ）仍然成立，而（ｂ）就要變?yōu)椋ǎ?lt;/p><p><b>　?。▍⒖炊ɡ恚?４）</b></p><p><b>　　連

12、續(xù)函數</b></p><p>　?。?５　定義　　設Ｘ與Ｙ是度量空間，并且將Ｅ映入Ｙ內，如果對于每一個總存在對于一切滿足的點來說，就說在連續(xù)．</p><p>　　如果在Ｅ的每一點都連續(xù)，就說在Ｅ上連續(xù)．</p><p>　　應該注意，要使在點連續(xù)，必須在點有定義．（這一點請與定義４.１后面的說明對比一下）．</p><p>　

13、　如果是Ｅ的一個孤立點，那么由我們的定義推知，每一個以Ｅ為定義域的函數都在點連續(xù)．因為，不管取的哪個總可以選一個使得滿足的點只有；于是</p><p>　?。?６定理　在定義４.５里所假定的情況下，再假定是Ｅ的極限點．那么，在點連續(xù)當且僅當</p><p>　　證　只要將定義４.１和４.５對比一下就清楚了．</p><p>　　現在我們轉到函數的復合．下面定理的一種

14、簡述是：連續(xù)函數的連續(xù)函數是連續(xù)的．</p><p>　　４.７　定理　設Ｘ,Ｙ,Ｚ是度量空間，，將Ｅ映入Ｙ內，將的值域映入Ｚ內，而是由　　．定義的Ｅ到Ｚ的映射．如果，并且在點連續(xù)，那么在點連續(xù)．</p><p>　　這個函數叫做和的復合函數或者和合成．記號　在本書中經常用．</p><p>　　證　設已經給定．因為在連續(xù)，便有使得當和有．又因為在點連續(xù)，那么存在著

15、，使得當和有．由此知道：當和有．所以在點連續(xù)．</p><p>　　４.８定理　將度量空間Ｘ映入度量空間Ｙ內的映射在Ｘ上連續(xù)，當且僅當對于Ｙ的每一個開集Ｖ來說，是Ｘ中的開集．</p><p>　?。嫦竦亩x已見于定義２.２）這是連續(xù)性的一個極有用的一個特征．</p><p>　　證　設在Ｘ上連續(xù)而Ｖ是Ｙ中開集．我們必須證明，的每個點都是的內點．設，且．由于Ｖ是開集

16、，必定存在著,使得當有，而由于在點連續(xù)，就又存在，使當有.所以，只要就保證了.</p><p>　　反之，設對于Ｙ中的每個開集Ｖ來說，是Ｘ中的開集．固定了與，令Ｖ滿足的一切所成的集，那么Ｖ是開集，因而是開集，因而存在著使得當有．然而一旦，便將要，所以．這就完成了定理的證明．</p><p>　　推論　將度量空間Ｘ映入度量空間Ｙ內的映射是連續(xù)的，當且僅當對于Ｙ中的每個閉集Ｃ， 是閉集．<

17、;/p><p>　　這由本定理即可推知．因為一個集是閉集，當且僅當它的余集是開集．然而對每個，．現在我們轉到復值和向量值函數，以及定義在的子集上的函數．</p><p>　?。矗埂《ɡ怼≡O與是度量空間Ｘ上的復連續(xù)函數，那么，與在Ｘ上連續(xù)．</p><p>　　在最后的情形中，當然必須假定對于一切</p><p>　　證　在Ｘ的孤立點無需證明．在

18、極限點，論斷是定理４．４與定理４．６的直接結果．</p><p><b>　?。矗保啊《ɡ?lt;/b></p><p>　?。ǎ幔┰O是度量空間Ｘ上的實函數，并且ｆ是由</p><p>　?。妗　　　　　　。ǎ罚?lt;/p><p>　　定義而將Ｘ映入內的映射．那么，ｆ連續(xù)當且僅當都連續(xù)．</p><p>

19、;　?。ǎ猓┤绻媾cｇ是將Ｘ映入內的連續(xù)映射，那么ｆ＋ｇ與ｆ·ｇ都在Ｘ上連續(xù)．</p><p>　　函數叫做ｆ的分量．注意，ｆ＋ｇ是把Ｘ映入內的映射，而ｆ·ｇ則是Ｘ上的實函數．</p><p>　　證　部分（ａ）能由不等式</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　推出來的，其中．部

20、分（ｂ）是（ａ）與定理４．９的直接結果．</p><p>　?。矗保薄±∪绻屈c的坐標．由</p><p><b>　　（８）</b></p><p>　　定義的函數必然在上連續(xù)，這因為不等式</p><p>　　表示，我們可以在定義４．５中?。@些函數有時稱為坐標函數．</p><p>　　

21、重復應用定理４．９可以證明每個單項式　　　　?。ǎ梗?lt;/p><p>　　在上連續(xù)，其中是非負的整數．因為常數顯然是連續(xù)的，所以（９）式用常數乘后還連續(xù)．由此推知，每個由</p><p><b>　　（１０）</b></p><p>　　給出的多項式Ｐ在上連續(xù)．這里系數是復數，是非負的整數，并且（１０）中的和只有有限多項．</p>

22、<p>　　更進一步，的每個有理函數，即形式如（１０）的兩個多項式的商，只要它的分母不為零，便在上連續(xù)．</p><p>　　從三角形不等式容易看出</p><p><b>　?。?1）</b></p><p>　　所以，映射是上的連續(xù)函數.</p><p>　　現在，如果f是一個由度量空間X映入內的連續(xù)映射

23、，并且在X上由定義，那么，用定理4.7可以推知，是X上的連續(xù)實函數.</p><p>　　4.12 評注 我們定義了一個度量空間X的某個子集E上定義的函數的連續(xù)概念.然而，E在X中的余集在這個定義中不起任何作用（注意，這情況同函數的極限有些不同）．因此，去掉 的定義域的余集我們毫不介意.這就是說，我們可以只談度量空間映入另一度量空間內的連續(xù)映射，而不談子集的映射.這樣可以簡化某些定理的敘述和證明.我們已經在定理4