直線一級倒立擺控制器設計課程設計

1、<p>　　課程設計說明書（論文）</p><p>　　課程名稱： 控制系統(tǒng)設計課程設計 </p><p>　　設計題目：直線一級倒立擺控制器設計</p><p>　　院 系： </p><p>　　班 級： </p&g

2、t;<p>　　設 計 者： </p><p>　　學 號： </p><p>　　指導教師： </p><p>　　設計時間： </p><p

3、><b>　　課程設計任務書</b></p><p>　　*注：此任務書由課程設計指導教師填寫。</p><p>　　直線一級倒立擺的數(shù)學模型</p><p>　　1.1 實驗設備簡介</p><p>　　一級倒立擺系統(tǒng)的結構示意圖如圖1-1所示。</p><p>　　圖1-1 一階倒立擺結

4、構示意圖</p><p>　　系統(tǒng)組成框圖如圖1-2所示。</p><p>　　圖1-2 一級倒立擺系統(tǒng)組成框圖</p><p>　　系統(tǒng)是由計算機、運動控制卡、伺服機構、倒立擺本體和光電碼盤幾大部分組成的閉環(huán)系統(tǒng)。光電碼盤1將小車的位移、速度信號反饋給伺服驅動器和運動控制卡，擺桿的角度、角速度信號由光電碼盤2反饋給運動控制卡。計算機從運動控制卡中讀取實時數(shù)據(jù)，確定

5、控制決策（小車運動方向、移動速度、加速度等），并由運動控制卡來實現(xiàn)該控制決策，產生相應的控制量，使電機轉動，通過皮帶，帶動小車運動，保持擺桿平衡。</p><p>　　1.2 直線一級倒立擺數(shù)學模型的推導</p><p>　　系統(tǒng)建?？梢苑譃閮煞N：機理建模和實驗建模。實驗建模就是通過在研究對象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號，激勵研究對象并通過傳感器檢測其可觀測的輸出，應用數(shù)學手段建

6、立起系統(tǒng)的輸入－輸出關系。這里面包括輸入信號的設計選取，輸出信號的精確檢測，數(shù)學算法的研究等等內容。機理建模就是在了解研究對象的運動規(guī)律基礎上，通過物理、化學的知識和數(shù)學手段建立起系統(tǒng)內部的輸入－狀態(tài)關系。 </p><p>　　對于倒立擺系統(tǒng)，由于其本身是自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實驗建模存在一定的困難。但是經過小心的假設忽略掉一些次要的因素后，倒立擺系統(tǒng)就是一個典型的運動的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標系內應用經典力學理論建

7、立系統(tǒng)的動力學方程。下面我們采用其中的牛頓－歐拉方法建立直線型一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型。 </p><p>　　在忽略了空氣阻力，各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質桿組成的系統(tǒng). 如圖1-3所示。下圖是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。</p><p>　　本系統(tǒng)內部各相關參數(shù)定義如下： </p><p>　　:小車質量 :擺

8、桿質量 </p><p>　　:小車摩擦系數(shù) :擺桿轉動軸心到桿質心的長度 </p><p>　　:擺桿慣量 :加在小車上的力 </p><p>　　:小車位置 :擺桿與垂直向上方向的夾角 </p><p>　　:擺桿與

9、垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）</p><p>　　圖1-3 直線一級倒立擺模型 圖1-4 小車及擺桿受力分析</p><p>　　圖1-4是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中，N和P為小車與擺桿水平和垂直方向的分量。注意：在實際倒立擺系統(tǒng)中檢測和執(zhí)行裝置的正負方向已經完全確定,因而矢量方向定義如圖所示，圖示方向為矢量正方向。</p><p

10、>　　應用Newton方法來建立系統(tǒng)的動力學方程過程如下：</p><p>　　分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程：</p><p>　　由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式：</p><p><b>　　即：</b></p><p>　　把這個等式代入上式中，就得到系統(tǒng)的第一個運動方程：<

11、;/p><p>　　為了推出系統(tǒng)的第二個運動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進行分析，可以得到下面方程： </p><p><b>　　即：　　</b></p><p><b>　　力矩平衡方程如下：</b></p><p>　　注意：此方程中力矩的方向，由于故等式前面有負號。</p>&

12、lt;p>　　合并這兩個方程，約去P和N ，得到第二個運動方程：</p><p><b>　　微分方程模型</b></p><p>　　設，當擺桿與垂直向上方向之間的夾角與1（單位是弧度）相比很小,即時，則可以進行近似處理： ，， 。為了與控制理論的表達習慣相統(tǒng)一，用u來代表被控對象的輸入力F，線性化后得到該系同數(shù)學模型的微分方程表達式：</p>

13、<p><b>　?。?-1）</b></p><p><b>　　傳遞函數(shù)模型</b></p><p>　　對方程組（1-1）進行拉普拉斯變換，得到</p><p><b>　?。?-2）</b></p><p>　　注意：推導傳遞函數(shù)時假設初始條件為0。 <

14、/p><p>　　由于輸出為角度為，求解方程組（1-2）的第一個方程，可以得到</p><p><b>　　或</b></p><p><b>　　如果令，則有：</b></p><p>　　把上式帶入方程組（1-2）的第二個方程，得到</p><p>　　整理后得到以輸入力

15、u為輸入量，以擺桿擺角為輸出量的傳遞函數(shù)：</p><p><b>　　其中。</b></p><p><b>　　狀態(tài)空間數(shù)學模型</b></p><p>　　由現(xiàn)代控制理論原理可知，控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程可寫成如下形式：</p><p>　　方程組（2-1）對，解代數(shù)方程，得到如下解：</

16、p><p>　　整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：</p><p>　　由（2-1）的第一個方程為：</p><p>　　對于質量均勻分布的擺桿有：</p><p><b>　　于是可以得到：</b></p><p><b>　　化簡得到：</b></p><p&g

17、t;<b>　　設，則有：</b></p><p>　　將任務書中的實際系統(tǒng)參數(shù)帶入微分方程和狀態(tài)空間方程：</p><p>　　擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)：</p><p>　　擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)：</p><p>　　擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù)：</p><p>

18、　　以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程：</p><p>　　以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程：</p><p>　　1.3 系統(tǒng)階躍響應分析</p><p>　　根據(jù)上面得到的系統(tǒng)狀態(tài)方程，對其進行階躍響應分析，在MATLAB中鍵入以下命令：</p><p><b>　　clear;</b></p>&

19、lt;p>　　A=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 24.5 0];</p><p>　　B=[0 1 0 2.5]';</p><p>　　C=[1 0 0 0;0 1 0 0];</p><p><b>　　D=[0 0]';</b></p><p>　　step(A,B

20、,C,D)</p><p><b>　　得到如下計算結果：</b></p><p>　　可以看出，在單位階躍響應作用下，小車位置和擺桿角度都是發(fā)散的。</p><p>　　直線一級倒立擺PID控制器設計</p><p>　　2.1 PID控制器各個校正環(huán)節(jié)對系統(tǒng)的影響</p><p>　　簡單來說

21、,PID控制器各個校正環(huán)節(jié)的作用如下:</p><p>　?。?） 比例環(huán)節(jié)：成比例的反應控制系統(tǒng)的偏差信號，偏差一旦產生，控制器立即產生控制作用，以減少偏差。</p><p>　　（2）積分環(huán)節(jié)：主要用于消除穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)的型別。積分作用的強弱取決于積分時間常數(shù)，積分時間常數(shù)越大，積分作用越弱，反之則越強。</p><p>　　（3） 微分環(huán)節(jié)：反映偏差信號的

22、變化趨勢（變化速率），并能在偏差信號值變得太大之前，在系統(tǒng)中引入一個有效的早期修正信號，從而加快系統(tǒng)的動作速度，減小調節(jié)時間。</p><p>　　2.2 PID控制器的設計</p><p>　　直線一級倒立擺系統(tǒng)中，輸出量為擺桿的位置，它的初始位置為垂直向上，給系統(tǒng)施加一個擾動，觀察擺桿的響應。系統(tǒng)框圖如圖2-1所示：</p><p>　　圖2-1 直線一級倒立擺

23、閉環(huán)系統(tǒng)圖</p><p>　　圖中是控制器傳遞函數(shù)，是被控對象傳遞函數(shù)。</p><p>　　考慮到輸入，結構圖可以很容易地變化成</p><p>　　圖2-2 直線一級倒立擺閉環(huán)系統(tǒng)簡化圖</p><p>　　由任務書有為擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù)：</p><p>　　2.3 PID控制參數(shù)設定及MA

24、TLAB仿真</p><p>　　根據(jù)圖2-2的直線一級倒立擺閉環(huán)系統(tǒng)簡化圖在MATLAB中建立仿真模型如下：</p><p>　　圖2-3 直線一級倒立擺系統(tǒng)PID控制MATLAB仿真模型</p><p>　　其中PID Controller為封裝后的PID控制器，雙擊打開后可以設置，和 。</p><p>　　具體的參數(shù)調試過程為先調節(jié)使

25、系統(tǒng)穩(wěn)定，再調節(jié)使系統(tǒng)僅有一次振蕩，最后調節(jié)使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為0。</p><p>　　令得到系統(tǒng)的脈沖響應仿真結果如下：</p><p>　　圖2-4 直線一級倒立擺系統(tǒng)PID控制脈沖響應仿真結果</p><p>　　系統(tǒng)在3秒內基本恢復原來的平衡狀態(tài)。</p><p>　　2.4 PID控制實驗</p><p>　　

26、打開MATLAB版實驗軟件中的直線一級倒立擺PID控制界面：</p><p>　　圖2-5 直線一級倒立擺PID控制MATLAB實時控制界面</p><p>　　把仿真得到的參數(shù)輸入PID控制器并保存，編譯程序，連接計算機和倒立擺。運行程序，緩慢提起倒立擺的擺桿到豎直向上的位置，在程序進入自動控制后松開，注意不要讓小車運動到正負限位處。</p><p>　　實驗結果

27、如下圖所示：</p><p>　　圖2-6 直線一級倒立擺PID控制實驗結果（平衡）</p><p>　　從圖2-6中可以看出，倒立擺可以實現(xiàn)較好的穩(wěn)定性，擺桿的角度在3.142弧度左右。同仿真結果，PID控制器并不能對小車的位置進行控制，小車會沿滑桿有稍微的移動。</p><p>　　調試PID控制參數(shù)為，觀察控制結果的變化，可以看出系統(tǒng)的調整時間減少，但在平衡時

28、可能會出現(xiàn)小幅的振蕩。</p><p>　　圖2-7 直線一級倒立擺PID控制實驗結果（改變PID控制參數(shù)）</p><p>　　2.5 PID系統(tǒng)的優(yōu)缺點</p><p>　　優(yōu)點：PID控制優(yōu)點明顯，應用廣泛。PID能消除穩(wěn)態(tài)誤差；同時可以減少超調量，克服振蕩，使系統(tǒng)的穩(wěn)定性提高；并且能加快系統(tǒng)的動態(tài)響應速度，減小調整時間，從而改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。</p&

29、gt;<p>　　缺點：PID控制的過渡期比較長，上升過程中波動明顯；當然，較好的PID控制效果是以已知被控對象的精確數(shù)學模型為前提的，當被控對象的數(shù)學模型未知時，PID控制的調試將會有很大的難度。</p><p>　　直線一級倒立擺狀態(tài)空間極點配置控制器設計</p><p>　　經典控制理論的研究對象主要是單輸入單輸出的系統(tǒng)，控制器設計時一般需要有關被控對象的較精確模型，現(xiàn)

30、代控制理論主要是依據(jù)現(xiàn)代數(shù)學工具，將經典控制理論的概念擴展到多輸入多輸出系統(tǒng)。極點配置法通過設計狀態(tài)反饋控制器將多變量系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)極點配置在期望的位置上，從而使系統(tǒng)滿足瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標。</p><p>　　極點配置及MATLAB仿真</p><p>　　以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程為：</p><p><b>　　于是有：</b>&

31、lt;/p><p><b>　　，，，</b></p><p>　　根據(jù)任務書的要求，留有一定裕量，直線一級倒立擺的極點配置轉化為：</p><p>　　對于如上所述的系統(tǒng)，設計控制器，要求系統(tǒng)具有較短的調整時間（約2秒）和較小的超調量（約10％）。</p><p>　　下面采用死忠不同的方法計算反饋矩陣K。</p&g

32、t;<p><b>　　方法一：</b></p><p>　　由，，解得，。此時，，符合要求。根據(jù)求得閉環(huán)主導極點，令選取兩個極點。</p><p>　　根據(jù)極點計算狀態(tài)反饋增益矩陣K的過程如下：</p><p>　　根據(jù)期望的特征方程求得；根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)特征方程求得；計算可使狀態(tài)方程變?yōu)榭煽貥藴市偷淖儞Q矩陣；確定需要的狀態(tài)反饋增

33、益矩陣。</p><p>　　以上計算過程可用如下MATLAB程序1仿真：</p><p><b>　　clear;</b></p><p>　　A=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 24.5 0];</p><p>　　B=[0 1 0 2.5]';</p><p&g

34、t;　　C=[1 0 0 0;0 0 1 0];</p><p><b>　　D=[0 0]';</b></p><p>　　J=[-13 0 0 0;0 -13 0 0;0 0 -2-2.74*i 0;0 0 0 -2+2.74*i];</p><p>　　pa=poly(A);pj=poly(J);</p><p

35、>　　M=[B A*B A^2*B A^3*B];</p><p>　　W=[pa(4) pa(3) pa(2) 1;pa(3) pa(2) 1 0;pa(2) 1 0 0;1 0 0 0];</p><p><b>　　T=M*W;</b></p><p>　　K=[pj(5)-pa(5) pj(4)-pa(4) pj(3)-pa(3)

36、 pj(2)-pa(2)]*inv(T);</p><p>　　Ac=[(A-B*K)];</p><p>　　Bc=[B];Cc=[C];Dc=[D];</p><p>　　T=0:0.005:5;</p><p>　　U=0.2*ones(size(T));</p><p>　　Cn=[1 0 0 0];</

37、p><p>　　Nbar=rscale(A,B,Cn,0,K);</p><p>　　Bcn=[Nbar*B];</p><p>　　[Y,X]=lsim(Ac,Bcn,Cc,Dc,U,T);</p><p>　　plot(T,X(:,1),'-');hold on;</p><p>　　plot(T,X(

38、:,2),'-.');hold on;</p><p>　　plot(T,X(:,3),'.');hold on;</p><p>　　plot(T,X(:,4),'-');hold on;</p><p>　　legend('CartPos','CartSpd','PendAn

39、g','PendSpd')</p><p><b>　　運行得到以下結果：</b></p><p><b>　　狀態(tài)反饋增益矩陣</b></p><p>　　小車位置、小車速度、擺桿傾角、擺桿角速度的響應曲線如圖3-1所示。</p><p>　　圖3-1 極點配置仿真結果&l

40、t;/p><p>　　可以看出，在給定系統(tǒng)干擾后，倒立擺可以在2秒內很好的回到平衡位置，滿足設計要求。</p><p><b>　　方法二： </b></p><p>　　矩陣的特征值是方程式的根：</p><p>　　這是s的四次代數(shù)方程式，可表示為</p><p>　　適當選擇反饋系數(shù)系統(tǒng)的特征根

41、可以取得所希望的值。</p><p>　　把四個特征根設為四次代數(shù)方程式的根，則有</p><p>　　比較兩式有下列聯(lián)立方程式</p><p>　　如果給出的是實數(shù)或共軛復數(shù)，則聯(lián)立方程式的右邊全部為實數(shù)。據(jù)此可求解出實數(shù)。</p><p>　　利用如下直線一級倒立擺狀態(tài)空間極點配置MATLAB程序2進行仿真：</p><

42、;p><b>　　clear;</b></p><p>　　syms a s b k1 k2 k3 k4;</p><p>　　A=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 a 0];</p><p>　　B=[0 1 0 b]';</p><p>　　SS=[s 0 0 0;0 s 0 0

43、;0 0 s 0;0 0 0 s];</p><p>　　K=[k1 k2 k3 k4]</p><p>　　J=[-13 0 0 0;0 -13 0 0;0 0 -2-2.74*i 0;0 0 0 -2+2.74*i];</p><p>　　ans=A-B*K;</p><p>　　P=poly(ans)</p><p&

44、gt;　　PJ=poly(J)</p><p>　　求解后得，與方法一的計算結果一樣。</p><p><b>　　方法三：</b></p><p>　　愛克曼方程所確定的反饋增益矩陣為：</p><p><b>　　其中 </b></p><p>　　利用如下直線一級倒立

45、擺狀態(tài)空間極點配置MATLAB 程序3（愛克曼公式）進行仿真：</p><p><b>　　clear;</b></p><p>　　A=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 24.5 0];</p><p>　　B=[0 1 0 2.5]';</p><p>　　M=[B A*B A^2*B

46、 A^3*B];</p><p>　　J=[-13 0 0 0;0 -13 0 0;0 0 -2-2.74*i 0;0 0 0 -2+2.74*i];</p><p>　　phi=polyvalm(poly(J),A);</p><p>　　K=[0 0 0 1]*inv(M)*phi</p><p>　　運行可以得到，計算結果和前面兩種方法

47、一致。</p><p><b>　　方法四：</b></p><p>　　可以直接利用MATLAB的極點配置函數(shù)[K,PREC,MESSAGE] = PLACE(A,B,P)來計算。直線一級倒立擺狀態(tài)空間極點配置MATLAB 程序4（愛克曼公式）如下所示。</p><p><b>　　clear;</b></p>

48、;<p>　　A=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 24.5 0];</p><p>　　B=[0 1 0 2.5]';</p><p>　　P=[-13-0.0001*j,-13+0.0001*j,-2-2.74*j,-2+2.74*j];</p><p>　　K=place(A,B,P)</p><

49、;p>　　運行可以得到，計算結果和前面兩種方法一致。</p><p>　　3.2極點配置控制實驗</p><p>　　打開MATLAB版實驗軟件中的直線一級倒立擺狀態(tài)空間極點配置控制程序：</p><p>　　圖3-2直線一級倒立擺狀態(tài)空間極點配置MATLAB實時控制界面</p><p>　　把仿真得到的參數(shù)輸入并保存，編譯程序，連接計

50、算機和倒立擺。運行程序，緩慢提起倒立擺的擺桿到豎直向上的位置，在程序進入自動控制后松開，注意不要讓小車運動到正負限位處。</p><p>　　雙擊Scope觀察實驗結果如下圖所示：</p><p>　　圖3-3 直線一級倒立擺狀態(tài)空間極點配置實時控制結果（平衡）</p><p>　　可以看出，系統(tǒng)可以在很小的振動范圍內保持平衡，小車震動復制約為，擺桿振動的幅值約為0

51、.01弧度。</p><p>　　在給定倒立擺干擾后，系統(tǒng)響應如下圖所示：</p><p>　　圖3-4 直線一級倒立擺狀態(tài)空間極點配置實時控制結果（施加干擾）</p><p>　　從上圖可以看出，系統(tǒng)穩(wěn)定時間約為3秒，達到設計要求。</p><p>　　3.3狀態(tài)空間極點配置控制器的優(yōu)點</p><p>　　狀態(tài)反饋

52、系統(tǒng)的主要優(yōu)點是極點的任意配置，無論開環(huán)極點和零點在什么位置，都可以任意配置期望的閉環(huán)極點。這為我們提供了控制系統(tǒng)的手段，假如系統(tǒng)的所有狀態(tài)都可以被測量和反饋的話，狀態(tài)反饋可以提供簡單而適用的設計。</p><p>　　直線一級倒立擺控制器設計總結</p><p>　　通過這次直線一級倒立擺系統(tǒng)控制器的設計實驗，我對PID控制器有了更深刻的理解，了解了比例、積分、微分三個環(huán)節(jié)給系統(tǒng)帶來的影