四個(gè)易混淆的極限

1、<p><b>　　四個(gè)易混淆的極限</b></p><p>　　摘 要：本文較詳細(xì)的介紹了四個(gè)極限的求值方法與原理，并對(duì)其進(jìn)行歸類.通過(guò)舉例加深對(duì)原理和方法的掌握。 </p><p>　　關(guān)鍵詞：極限;第一重要極限;無(wú)窮小;有界函數(shù) </p><p><b>　　一、引言 </b></p>&l

2、t;p>　　高數(shù)的極限學(xué)習(xí)過(guò)程中，一般都會(huì)碰到這幾個(gè)極限的求值問(wèn)題： 、 、 xsin 、 xsin ，這四個(gè)極限在表達(dá)形式上有的大同小異，有的又完全不一樣，所以很多學(xué)生在求值的過(guò)程中就很容易混淆，甚至不知道到底有什么區(qū)別.本文分別介紹四個(gè)極限的求值過(guò)程、求值原理、以及與這四個(gè)極限相聯(lián)系的其他例題的求解，讓學(xué)生對(duì)求相關(guān)極限有較深層次的理解和掌握. </p><p><b>　　二、四個(gè)極限 &

3、lt;/b></p><p>　　1、 與 xsin 是高等數(shù)學(xué)教材上兩個(gè)重要極限之一，求值過(guò)程中用到夾邊準(zhǔn)則、用到單位圓的圖形中相關(guān)三角形與扇形面積關(guān)系的不等式，這里不再重復(fù)求解了，大家都應(yīng)該都知道 =1，再給大家介紹另外一種求值方法，在學(xué)過(guò)洛必達(dá)法則之后，這個(gè)極限可以通過(guò)洛必達(dá)法則來(lái)求：分析：洛必達(dá)法則的三個(gè)條件都滿足，所以 = =1求出的值也與通過(guò)夾邊準(zhǔn)則求出來(lái)的是完全吻合的.這個(gè)重要極限的擴(kuò)

4、展形式也非常重要，當(dāng)x→0時(shí)，有 →0，即： =1 。 （擴(kuò)展形式必須滿足兩個(gè)條件：（1）x→0，（2）分子分母上的△保持 一致 ）。這個(gè)重要極限的值以及它的擴(kuò)展形式在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中非常重要，一定要牢記。 </p><p>　　xsin 與 表達(dá)形式上不同，實(shí)質(zhì)上還是一樣的，只是做了一下變形，對(duì)x的位置作恒等變化后得： xsin = ，當(dāng)x→∞時(shí)， →0，這剛好是第一個(gè)重要極限的擴(kuò)展形式，所以 xs

5、in =1 </p><p>　　2、 xsin 與 </p><p>　　對(duì)于 xsin ，當(dāng)x→0時(shí)，xsin 中x→0，sin 在-1與1之間取值，sin ，即sin 為有界函數(shù)，無(wú)窮小的性質(zhì)中有無(wú)窮小乘有界函數(shù)仍為無(wú)窮小，所以 xsin =0 </p><p>　　對(duì)于 ，與 xsin 的求值過(guò)程很類似，只需做一個(gè)小變換即可。 </p>&

6、lt;p>　　= sinx ，當(dāng)x→∞時(shí)， →0，為無(wú)窮小，sinx為有界函數(shù)，同樣的原理得 =0。 </p><p>　　綜上所述可得： = xsin =1（重要極限及其擴(kuò)展知識(shí)）。 </p><p>　　xsin = =0（無(wú)窮小乘有界函數(shù)仍為無(wú)窮?。?。 </p><p><b>　　三、應(yīng)用舉例 </b></p>

7、<p>　　為了更好的熟練和理解上述求值過(guò)程中用到的知識(shí)點(diǎn)，下面通過(guò)舉例來(lái)鞏固。 </p><p><b>　　例1、求 </b></p><p>　　解： = （1- ）=1-1=0 </p><p><b>　　例2、求 </b></p><p>　　解： = = =0 &l

8、t;/p><p>　　例3、求 （x-1）sin </p><p>　　解： （x-1）sin = =1 </p><p>　　三個(gè)例題中用到了重要極限的結(jié)論及擴(kuò)展形式，用到了無(wú)窮小乘有界函數(shù)仍為無(wú)窮小的知識(shí). </p><p>　　小結(jié)：對(duì)于上述知識(shí)還應(yīng)多看，多理解，多練習(xí)才能熟練掌握。在高數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中要學(xué)會(huì)歸納記憶和理解，分門(mén)別類，這樣才