馬爾柯夫鏈在班級(jí)成績(jī)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用【畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　馬爾柯夫鏈在班級(jí)成績(jī)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用 </p><p>　　所在學(xué)院 </p>

2、;<p>　　專業(yè)班級(jí) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p&

3、gt;<b>　　摘要</b></p><p>　　馬爾柯夫鏈?zhǔn)菭顟B(tài)離散、時(shí)間為非負(fù)整數(shù)、無(wú)后效性的隨機(jī)過(guò)程, 很多社會(huì)現(xiàn)象和自然現(xiàn)象都符合該隨機(jī)過(guò)程, 因此被廣泛的應(yīng)用生產(chǎn)實(shí)踐當(dāng)中. 本文首先從馬氏鏈的基本理論入手, 介紹馬爾柯夫鏈的思想起源, 主要應(yīng)用方向及研究成果, 接著討論了馬爾柯夫鏈轉(zhuǎn)移概率計(jì)算方法, 其次建立了馬氏鏈應(yīng)用到教育領(lǐng)域的預(yù)測(cè)模型, 并且對(duì)該模型進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用, 預(yù)測(cè)某小

4、學(xué)一班級(jí)未來(lái)三年的綜合成績(jī), 取得了較好的效果, 為教師教育工作提供數(shù)據(jù)參考. </p><p>　　關(guān)鍵詞: 馬爾柯夫鏈; 轉(zhuǎn)移概率; 成績(jī)預(yù)測(cè)</p><p>　　Markov Chain Prediction for The Application of Academic Classes</p><p><b>　　Abstract&l

5、t;/b></p><p>　　Markov chain is a stochastic process, in which the state is discrete, the time nonnegative integer and no aftereffect, a lot of social phenomenon and natural phenomenon all conform to the s

6、tochastic process. It is widely used in the social production practice. In this paper，firstly，we introduce the basic theory of Markov chain, the thought origin of Markov chain and the main application direction and resea

7、rch. Secondly we discuss the probability calculation method of Markov chain transfer. Third</p><p>　　Keyword: Markov chain; Transition probability; Education Prediction</p><p><b>　　目錄</

8、b></p><p><b>　　摘要Ⅰ</b></p><p>　　AbstractⅡ</p><p><b>　　1 前言1</b></p><p>　　1.1 馬爾柯夫鏈簡(jiǎn)介1</p><p>　　1.2 馬爾柯夫鏈研究成果1</p>

9、<p>　　1.3 馬爾柯夫鏈在教育領(lǐng)域的應(yīng)用背景2</p><p>　　2 馬爾柯夫鏈理論概述3</p><p>　　2.1 馬爾柯夫鏈的定義3</p><p>　　2.2 馬爾柯夫鏈狀態(tài)分類4</p><p>　　2.3 離散時(shí)間的馬爾柯夫鏈5</p><p>　　2.4 連續(xù)時(shí)間的馬

10、爾柯夫鏈5</p><p>　　3 馬爾柯夫鏈關(guān)于成績(jī)預(yù)測(cè)的模型及應(yīng)用7</p><p>　　3.1 馬爾柯夫鏈關(guān)于成績(jī)預(yù)測(cè)的模型7</p><p>　　3.2 馬爾柯夫鏈預(yù)測(cè)模型的應(yīng)用9</p><p><b>　　4 小結(jié)12</b></p><p><b>　　參考文

11、獻(xiàn)13</b></p><p><b>　　致謝14</b></p><p><b>　　1前言</b></p><p>　　1.1馬爾柯夫鏈簡(jiǎn)介</p><p>　　馬爾柯夫是享譽(yù)世界的著名數(shù)學(xué)家. 他在概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、數(shù)論、函數(shù)逼近論、微分方程、數(shù)的集合等領(lǐng)域都有建樹(shù). 在19

12、06~1912年間, 馬爾柯夫提出并研究了一種能用數(shù)學(xué)方法研究自然過(guò)程的一般圖示, 人們把這種圖示用他的姓氏命名為馬爾柯夫鏈(Markov Chain). 同時(shí)他第一次提出了對(duì)一種無(wú)后效性的隨機(jī)過(guò)程的研究, 即在已知當(dāng)前狀態(tài)的情況下, 未來(lái)狀態(tài)與其過(guò)去狀態(tài)無(wú)關(guān)的過(guò)程, 這就是現(xiàn)在眾所周知的馬爾柯夫過(guò)程(Markov Process). 所謂馬爾柯夫鏈就是在“現(xiàn)在”的條件下, “過(guò)去”與“將來(lái)”都是相互獨(dú)立的, 即如果某一時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)的概

13、率分布與前一時(shí)刻的狀態(tài)有關(guān)，與以前的狀態(tài)無(wú)關(guān)，則該系統(tǒng)符合馬爾柯夫性或者無(wú)后效性, 具有馬爾柯夫性的隨機(jī)過(guò)程稱為馬爾柯夫過(guò)程對(duì)于時(shí)間和狀態(tài)都是離散的的馬爾柯夫過(guò)程稱為馬爾科夫鏈. 馬爾柯夫理論極大的豐富了概率論的內(nèi)容, 它是研究自然科學(xué)和技術(shù)最有效的數(shù)學(xué)方法之一. 馬爾柯夫預(yù)測(cè)是馬爾科夫鏈在預(yù)測(cè)領(lǐng)域的一種應(yīng)用, 它是描述一類隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的模型, 是指系統(tǒng)在每一個(gè)時(shí)間所處的狀態(tài)是隨機(jī)的, 從當(dāng)前時(shí)間到下一時(shí)間的狀態(tài)按一定的概率轉(zhuǎn)移, 但未

14、來(lái)狀</p><p>　　馬爾柯夫決策過(guò)程, 簡(jiǎn)稱馬氏決策. 由馬爾柯夫鏈的描述可知它的過(guò)程有如下三個(gè)特點(diǎn): 過(guò)程的隨機(jī)性、過(guò)程的離散性和過(guò)程的馬爾柯夫性. </p><p>　　1.2 馬爾柯夫鏈研究成果</p><p>　　馬爾柯夫鏈預(yù)測(cè)方法在各個(gè)領(lǐng)域中的應(yīng)用一直是國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的重點(diǎn)和熱點(diǎn), 研究成果也相對(duì)比較多, 理論也相對(duì)比較成熟, 主要體現(xiàn)在:</

15、p><p>　　(1) 人力資源流動(dòng)時(shí)間序列都符合馬氏性. 可按轉(zhuǎn)移概率, 根據(jù)當(dāng)前的狀態(tài)預(yù)測(cè)以后的狀態(tài)預(yù)測(cè)以后的狀態(tài), 從而采取相應(yīng)的策略. </p><p>　　(2) 馬爾柯夫鏈在宏觀經(jīng)濟(jì)形式的變化、企業(yè)市場(chǎng)占有率及期望利潤(rùn)的變化過(guò)程都具有隨機(jī)性和無(wú)后效性, 都符合馬爾柯夫鏈的的應(yīng)用要求. 在對(duì)它們進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí), 馬爾柯夫鏈預(yù)測(cè)方法不需要連續(xù)不斷的歷史數(shù)據(jù), 只需要近期的資料就可以采用馬爾

16、柯夫鏈來(lái)描述. 這就是運(yùn)用馬爾柯夫鏈的方法進(jìn)行預(yù)測(cè)市場(chǎng)的占有率和期望利潤(rùn)分析的基本思想.. </p><p>　?。?）在很多災(zāi)變的過(guò)程中，馬爾柯夫鏈都已一定的參考性，比如應(yīng)用馬爾柯夫鏈方法測(cè)報(bào)草原蝗蟲(chóng). 蝗蟲(chóng)是漸變態(tài), 即若蟲(chóng)和成蟲(chóng)棲息于同一生境, 并取食相同的食物即草原牧草. 了解蝗蟲(chóng)的出土期、系統(tǒng)地掌握蝗蟲(chóng)的個(gè)體發(fā)育以及種群數(shù)量動(dòng)態(tài)變化, 對(duì)草原畜牧業(yè)生產(chǎn)具有非常大的參考作用.</p>

17、<p>　?。?）利用馬氏鏈模型預(yù)測(cè)寧南旱情. 寧南山區(qū)干旱頻繁, 嚴(yán)重影響農(nóng)業(yè)生產(chǎn). 根據(jù)固原氣象站降雨量資料, 應(yīng)用馬爾柯夫鏈模型預(yù)測(cè)該地區(qū)年降雨量與旱情趨勢(shì), 對(duì)該區(qū)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)有參考價(jià)值.</p><p>　　（5）市場(chǎng)占有率及期望利潤(rùn)的馬爾柯夫鏈預(yù)測(cè). 運(yùn)用馬爾柯夫鏈理論對(duì)商品銷(xiāo)售的市場(chǎng)占有率預(yù)測(cè)和期望利潤(rùn)預(yù)測(cè)進(jìn)行了研究, 取得了一定的效果. </p><p>　　馬爾柯夫

18、鏈在其它領(lǐng)域的應(yīng)用還有很多, 比如馬氏鏈在房地產(chǎn)市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo), 機(jī)車(chē)管理預(yù)測(cè), 大白菜年景預(yù)測(cè), 貴重器材需求預(yù)測(cè), 國(guó)際工程投標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè), 中國(guó)各地區(qū)人均GDP的馬爾科夫預(yù)測(cè)及變動(dòng)分析中得到了很好的應(yīng)用. </p><p>　　1.3 馬爾柯夫鏈在教育領(lǐng)域應(yīng)用背景</p><p>　　在教育領(lǐng)域進(jìn)行預(yù)測(cè)和決策從整體上看有一定的規(guī)律, 班級(jí)成績(jī)預(yù)測(cè)和課程研究的任務(wù), 就在于認(rèn)識(shí)班級(jí)活動(dòng)中的各種

19、規(guī)律. 班級(jí)成績(jī)變化現(xiàn)象是個(gè)隨時(shí)間變化的過(guò)程, 可以視為已相依的隨機(jī)變量序列, 其前后影響因素是錯(cuò)綜復(fù)雜的, 并且符合馬氏鏈的三大特點(diǎn)即過(guò)程的隨機(jī)性, 過(guò)程的馬爾科夫性, 過(guò)程的離散性, 可視為隨機(jī)馬爾科夫過(guò)程. 在檢測(cè)其具有一定的馬氏性后, 然后根據(jù)一個(gè)指標(biāo)把系統(tǒng)劃分為多個(gè)變化區(qū)間, 可以建立馬爾柯夫鏈模型來(lái)做預(yù)測(cè)分析. 最重要的是根據(jù)實(shí)際觀測(cè)資料對(duì)某些刻畫(huà)系統(tǒng)的關(guān)鍵定量指標(biāo)進(jìn)行系統(tǒng)分析, 標(biāo)準(zhǔn)的預(yù)測(cè)未來(lái). 本文擬利用馬爾柯夫鏈在教育

20、領(lǐng)域j建立班級(jí)成績(jī)預(yù)測(cè)模型, 希望能給教師教育工作帶來(lái)一定的幫助.</p><p>　　2馬爾柯夫鏈理論概述</p><p>　　2.1 馬爾柯夫鏈定義</p><p>　　馬爾柯夫鏈?zhǔn)菭顟B(tài)離散、時(shí)間為非負(fù)整數(shù)、無(wú)后效性的隨機(jī)過(guò)程. 無(wú)后效性是指當(dāng)過(guò)程的現(xiàn)在狀態(tài)為已知時(shí), 未來(lái)狀態(tài)與過(guò)去狀態(tài)無(wú)關(guān), 而只與當(dāng)前的狀態(tài)有關(guān). 無(wú)后效性的數(shù)學(xué)表述為：即在某一時(shí)刻狀態(tài)條件下

21、的條件概率與所取的值無(wú)關(guān)而僅與所取的值有關(guān). 若從時(shí)刻處于狀態(tài)轉(zhuǎn)移到時(shí)刻處于狀態(tài) 的一步轉(zhuǎn)移概率與轉(zhuǎn)移的起始時(shí)間無(wú)關(guān), 而只與有關(guān), 則稱其為齊次馬爾柯夫鏈.</p><p>　　當(dāng)隨機(jī)過(guò)程在時(shí)刻所處的狀態(tài)已知時(shí), 在時(shí)刻所處的狀態(tài)近于時(shí)的狀態(tài)有關(guān), 而與以前的狀態(tài)無(wú)關(guān), 這種隨機(jī)過(guò)程為馬爾柯夫過(guò)程. 用分布函數(shù)來(lái)描述: 若在條件</p><p><b>　?。?.1.1）<

22、;/b></p><p>　　下的的分布函數(shù)恰好等于條件下的分布函數(shù), 即 </p><p><b>　?。?.1.2）</b></p><p>　　則稱為馬爾柯夫過(guò)程.</p><p>　　定義2.1.1 設(shè)馬爾柯夫鏈在時(shí)取狀態(tài)的概率分別為，而，向量稱為時(shí)的狀態(tài)概率向量.</p><p>

23、;　　定義2.1.2 設(shè)系統(tǒng)可能出現(xiàn)個(gè)狀態(tài), 則系統(tǒng)由時(shí)刻從轉(zhuǎn)移到狀態(tài) 時(shí)刻的概率就稱為從到的轉(zhuǎn)移概率，也稱一步轉(zhuǎn)移概率，記為: </p><p>　　. （2.1.3）</p><p>　　狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣在一定條件下, 系統(tǒng)只能在可能出現(xiàn)的狀態(tài)中轉(zhuǎn)移, 系統(tǒng)所有狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移的可能性用表示, 定義為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概矩陣: </p>&l

24、t;p><b>　　.</b></p><p><b>　　概率矩陣: </b></p><p>　　. （2.1.4）</p><p>　　一般的, 將滿足（2.1.4）的任意矩陣都叫做隨機(jī)矩陣或者概率矩陣.</p><p>　　一般來(lái)說(shuō), 轉(zhuǎn)

25、移概率不僅僅與狀態(tài)有關(guān), 而且還與時(shí)刻有關(guān). 當(dāng)不依賴于時(shí)刻時(shí), 則表示馬爾可夫鏈具有平穩(wěn)轉(zhuǎn)移概率. 如果對(duì)任意的, 馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率都與無(wú)關(guān), 則稱馬爾可夫鏈?zhǔn)驱R次的, 在本文主要研究齊次馬爾可夫鏈. </p><p>　　齊次馬爾可夫轉(zhuǎn)移概率有如下性質(zhì): </p><p><b>　　(1) ;</b></p><p><b>

26、;　　(2) .</b></p><p>　　2.2 馬爾柯夫鏈的狀態(tài)分類</p><p>　　假設(shè) 是齊次馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間, 一步轉(zhuǎn)移概率是, 我們用概率性質(zhì)對(duì)狀態(tài)進(jìn)行分類. </p><p>　　定義2.2.1 設(shè)是馬氏鏈的狀態(tài)空間, 則有:</p><p>　　如果=1, 則稱是吸引狀態(tài);</p><

27、;p>　　如果存在使, 則通, 記為;</p><p>　　如果并且, 則互通, 記為.</p><p>　　互通關(guān)系具有以下幾個(gè)性質(zhì)：</p><p><b>　　（a）反身性: ;</b></p><p>　?。╞）對(duì)稱性: 若 , 則;</p><p>　?。╟）傳遞性: 若, 則.

28、</p><p>　　為了定義常返和非常返狀態(tài), 對(duì)馬氏鏈, 需要引進(jìn)條件概率</p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　, . </b></p><p>　　是以質(zhì)點(diǎn)從出發(fā)當(dāng)作條件, 第步首次到達(dá)的概率, 稱為首達(dá)概率. </p><p>

29、　　2.3 離散時(shí)間馬爾柯夫鏈</p><p>　　定義2.3.1 如果對(duì)任何正整數(shù)和中的, 隨機(jī)序列滿足</p><p><b>　　(2.3.1)</b></p><p>　　則稱為時(shí)齊的馬爾柯夫鏈, 簡(jiǎn)稱馬氏鏈. 這時(shí)稱</p><p><b>　　(2.3.2）</b></p>

30、<p>　　為馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率, 稱矩陣</p><p><b>　　(2.3.3)</b></p><p>　　為馬氏鏈一步轉(zhuǎn)移概率矩陣, 簡(jiǎn)稱概率矩陣.</p><p>　　由于是完備事件組, 所以得到</p><p>　　. (2.3.4)</p><p>　　于

31、是轉(zhuǎn)移矩陣的各行之和等于1, 該矩陣稱為隨機(jī)矩陣.</p><p>　　對(duì)馬氏鏈的直觀理解是: 已知現(xiàn)在, 將來(lái)與過(guò)去獨(dú)立. 我們把這種性質(zhì)稱為馬氏性.</p><p>　　2.4 連續(xù)時(shí)間馬爾柯夫鏈</p><p>　　定義2.4.1 設(shè)是上一小節(jié)中的馬氏鏈, 有狀態(tài)空間, 一步轉(zhuǎn)移概率</p><p><b>　　（2.4.1）

32、</b></p><p>　　滿足. 該馬氏鏈的時(shí)間指標(biāo)是離散的時(shí)間馬氏鏈.</p><p>　　定義2.4.2 設(shè)是狀態(tài)空間, 是以為狀態(tài)空間的連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程. 如果對(duì)任何正整數(shù), 和, 有</p><p><b>　?。?.4.2）</b></p><p>　　則稱是連續(xù)時(shí)間離散狀態(tài)的馬爾柯夫鏈, 簡(jiǎn)稱

33、連續(xù)時(shí)間馬氏鏈.</p><p>　　定義2.4.2 中的鏈表明狀態(tài)空間是離散的, 和離散時(shí)間馬氏鏈情況相同, 我們稱具有性質(zhì)</p><p><b>　?。?.4.3)</b></p><p>　　的馬氏鏈為時(shí)齊馬氏鏈.時(shí)齊性表明轉(zhuǎn)移概率</p><p>　　(2.4.4) &l

34、t;/p><p><b>　　與起始時(shí)間無(wú)關(guān).</b></p><p>　　連續(xù)時(shí)間馬氏鏈的性質(zhì)（2.4.2）和離散時(shí)間馬氏鏈的性質(zhì)（2.4.1）在形式上相同的, 因此對(duì)離散時(shí)間馬氏鏈得到的許多結(jié)論對(duì)于現(xiàn)在的馬氏鏈仍然有效, 舉例如下: </p><p>　　對(duì)于, 已知的條件下, 將來(lái)與過(guò)去獨(dú)立.也就是說(shuō), 在概率下, 隨機(jī)過(guò)程與獨(dú)立.</

35、p><p>　　方程: 對(duì)任何, 有</p><p>　　或, (2.4.5)</p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　　(2.4.6)</b></p><p>　　稱為馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣.</p>

36、<p>　　(3) 的概率分布由轉(zhuǎn)移概率矩陣2.3.6和的概率分布</p><p><b>　　(2.4.7)</b></p><p><b>　　唯一決定:</b></p><p>　　. (2.4.8)</p><p&g

37、t;<b>　　其中, .</b></p><p>　　3馬爾柯夫鏈關(guān)于成績(jī)預(yù)測(cè)的模型及應(yīng)用</p><p>　　3.1 馬爾柯夫鏈關(guān)于成績(jī)預(yù)測(cè)的模型</p><p>　　馬爾柯夫理論指出系統(tǒng)達(dá)到每一狀態(tài)的概率僅與近期狀態(tài)有關(guān), 在一定時(shí)期后馬爾柯夫過(guò)程逐漸趨于穩(wěn)定狀態(tài)而與原始條件無(wú)關(guān)的這一特性稱為無(wú)后效性, 即事物的第次試驗(yàn)結(jié)果僅取決于第次

38、試驗(yàn)結(jié)果, 第次試驗(yàn)結(jié)果僅取決于第次試驗(yàn)結(jié)果, 依此類推. 這一系列轉(zhuǎn)移過(guò)程的集合叫做馬爾柯夫鏈或稱為時(shí)間和狀態(tài)均離散的馬爾柯夫過(guò)程. 對(duì)馬爾柯夫過(guò)程和馬爾柯夫鏈進(jìn)行分析, 并對(duì)未來(lái)的發(fā)展進(jìn)行預(yù)測(cè)稱為馬爾柯夫分析. 馬爾柯夫預(yù)測(cè)方法的特點(diǎn)是: 不需要大量的統(tǒng)計(jì)資料, 只需有限的近期資料即可實(shí)現(xiàn)定量預(yù)測(cè), 而且馬爾柯夫預(yù)測(cè)方法適用于短期預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)上, 只要狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣滾動(dòng)次數(shù)足夠的多, 同時(shí)也適用于長(zhǎng)期預(yù)測(cè), 但要求學(xué)生考核科目比較穩(wěn)定并

39、在一定時(shí)期內(nèi)沒(méi)有大的變動(dòng).</p><p>　　馬爾柯夫過(guò)程實(shí)際上是一個(gè)將系統(tǒng)的“狀態(tài)”和“狀態(tài)轉(zhuǎn)移”定量化了的系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)模型:</p><p>　　狀態(tài): 指現(xiàn)象某一時(shí)刻上的某種狀態(tài), 是表示系統(tǒng)的最小一組變量. 當(dāng)系統(tǒng)可完全由定義狀態(tài)的變量取值來(lái)描述時(shí), 稱系統(tǒng)處于一個(gè)狀態(tài).</p><p>　　狀態(tài)轉(zhuǎn)移: 指當(dāng)系統(tǒng)的描述變量從一個(gè)狀態(tài)的特定值變化到另一

40、個(gè)狀態(tài)特定值時(shí), 就表示系統(tǒng)由一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一個(gè)狀態(tài), 從而該系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了狀態(tài)的轉(zhuǎn)移.</p><p>　　學(xué)生成績(jī)的變化過(guò)程可以近視看作一個(gè)馬爾柯夫鏈, 因此可以使用馬爾柯夫過(guò)程分析建立學(xué)生成績(jī)變化趨勢(shì)的馬爾柯夫預(yù)測(cè)模型. 為了簡(jiǎn)便起見(jiàn), 我們把學(xué)生成績(jī)分為幾個(gè)檔次分別如下: 85-100為優(yōu)秀, 71-84為良好, 60-70為及格, 60以下為不及格即優(yōu)、良、及格、不及格四個(gè)等級(jí). 常見(jiàn)的學(xué)生成績(jī)變

41、化有進(jìn)步和退步. 學(xué)生成績(jī)變化的直接示意圖3.1.</p><p>　　圖3.1班級(jí)成績(jī)變化示意圖</p><p>　　圖3.1中直觀的表達(dá)了各狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移規(guī)律. 例如由不及格出發(fā)經(jīng)過(guò)多次轉(zhuǎn)化可到達(dá)及格、良、優(yōu)秀三種情況. 任何兩種狀態(tài)之間都可以互相轉(zhuǎn)化, 從任何一種狀態(tài)出發(fā)都可以達(dá)到其它的任何一種狀態(tài).</p><p>　　第一步, 學(xué)生在研究初期個(gè)層次的成績(jī)分布

42、, 獲得初始分布</p><p><b>　　.</b></p><p>　　假設(shè)研究初期個(gè)層次的科目數(shù)量為, 則</p><p><b>　　.</b></p><p>　　第二步, 根據(jù)近期學(xué)生在個(gè)層次的學(xué)習(xí)成績(jī)變化情況, 獲得轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣, 進(jìn)而獲得轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣.</p><

43、;p>　　假設(shè)目前第層次的學(xué)習(xí)成績(jī)等級(jí)在下一學(xué)年中將有門(mén)科目在的等級(jí)上. 于是轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣為: . 用去除矩陣N的各行元素（）即得到轉(zhuǎn)移矩陣, 其中</p><p><b>　　, .</b></p><p>　　第三步, 預(yù)測(cè)未來(lái)第年成績(jī)等級(jí)的分布概率. 計(jì)算初始分布與步轉(zhuǎn)移矩陣的乘積, 即可得到未來(lái)第期的絕對(duì)分布, 即第年的成績(jī)分布率:</p>

44、<p><b>　　.</b></p><p>　　第四步, 對(duì)預(yù)測(cè)的結(jié)果進(jìn)行分析, 得出相應(yīng)的結(jié)論, 為決策提供服務(wù).</p><p><b>　　3.2 模型應(yīng)用</b></p><p>　　選定預(yù)測(cè)學(xué)生對(duì)象（即論域）進(jìn)行該學(xué)生的成績(jī)調(diào)查</p><p><b>　　,

45、</b></p><p>　　要研究的對(duì)象, 應(yīng)在整個(gè)學(xué)校市場(chǎng)區(qū)域內(nèi)并在調(diào)查期內(nèi)的班級(jí)中進(jìn)行選擇. 例如某小學(xué)一個(gè)學(xué)生一到四年級(jí)的成績(jī)?nèi)缦聢D所示:</p><p>　　表3.1 某小學(xué)學(xué)生一到三年級(jí)的的數(shù)學(xué)科學(xué)習(xí)成績(jī)</p><p>　　應(yīng)用馬爾柯夫鏈可以定量分析班級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)的變化情況, 并對(duì)未來(lái)的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè).</p><p&g

46、t;　　根據(jù)上述圖表, 以及調(diào)查的結(jié)果判斷, 第一年優(yōu)秀的概率是0.25, 良好的概率為0.55及格的概率為0.125, 不及格的概率為0.075; 第二年優(yōu)秀的概率為0.2, 良好的概率為0.6, 及格的概率為0.1, 不及格的概率為0.1; 第三年優(yōu)秀的概率為0.3, 良好的概率為0.45, 及格的概率為0.2, 不及格的概率為0.05; 第四年優(yōu)秀的概率為0.25, 良好的概率為0.5, 及格的概率為0.2, 不及格的概率為0.0

47、5. 根據(jù)以上的調(diào)查結(jié)果我們可以得出各層次成績(jī)變化的轉(zhuǎn)移概率矩陣為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　例如: 為預(yù)測(cè)某學(xué)生接下來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)變化, 目前優(yōu)、良、及格、不及格的等級(jí)分布分別為10人、20人、8人、2人.</p><p>　　分析該學(xué)生3年后的學(xué)習(xí)成績(jī)結(jié)構(gòu)的分布情況, 3年內(nèi)各等級(jí)學(xué)習(xí)成績(jī)的變化過(guò)程.&l

48、t;/p><p>　　設(shè)目前成績(jī)分布結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)為則一年后班級(jí)成績(jī)分布結(jié)構(gòu)為:</p><p><b>　　,</b></p><p>　　即第一年后該班級(jí)的數(shù)學(xué)成績(jī)情況結(jié)構(gòu)為.</p><p>　　兩年后的班級(jí)成績(jī)結(jié)構(gòu)為:</p><p><b>　　,</b></p>

49、<p>　　即第二年的數(shù)學(xué)成績(jī)結(jié)構(gòu)分布為:</p><p><b>　　.</b></p><p>　　第三年數(shù)學(xué)成績(jī)結(jié)構(gòu)為:</p><p><b>　　,</b></p><p>　　即第三年數(shù)學(xué)成績(jī)結(jié)構(gòu)為:</p><p><b>　　.<

50、/b></p><p>　　由此可知, 如表3.2 </p><p>　　表3.2 班級(jí)成績(jī)統(tǒng)計(jì)圖表</p><p>　　三年后該班級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)分布結(jié)構(gòu)為優(yōu)秀9人, 良好22人, 及格5人, 不及格4人.從表3.2中可以看出第一年、第二年和第三年的數(shù)學(xué)成績(jī)結(jié)構(gòu)分布是相同的, 即該成績(jī)的結(jié)構(gòu)分布就是該班級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定分布.</p>&l

51、t;p>　　由上述應(yīng)用可知, 我們對(duì)該班級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)分布結(jié)構(gòu)進(jìn)行了預(yù)測(cè), 為教師提供一個(gè)可靠的參考數(shù)據(jù). 從上面的實(shí)例分析中我們不難看出, 應(yīng)用馬爾柯夫鏈可以科學(xué)的、定量的預(yù)測(cè)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)分布結(jié)構(gòu)的情況, 其數(shù)據(jù)分析的關(guān)鍵依賴于轉(zhuǎn)移概率矩陣的可信度. 轉(zhuǎn)移概率矩陣的準(zhǔn)確度將直接影響對(duì)班級(jí)成績(jī)未來(lái)預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性, 因此, 利用該模型時(shí)要做好基礎(chǔ)數(shù)據(jù)的收集、整理、分析工作, 為學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)預(yù)測(cè)提供基礎(chǔ)數(shù)據(jù). 同時(shí)教師可以用該模型來(lái)預(yù)測(cè)其它

52、學(xué)科學(xué)習(xí)成績(jī)結(jié)構(gòu)分布, 如數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、科學(xué)等. 雖然該模型的可以定量準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)班級(jí)成績(jī)結(jié)構(gòu)分布情況, 但其本身還存在一些不足在應(yīng)用的過(guò)程中存在一定的局限性, 比如在應(yīng)用的的班級(jí)需要在學(xué)生流動(dòng)比較穩(wěn)定的情況之下才能更加準(zhǔn)確，所以該模型最適合應(yīng)用過(guò)的學(xué)生人數(shù)不變的班級(jí)當(dāng)這中. 總的來(lái)說(shuō)對(duì)學(xué)生成績(jī)預(yù)測(cè)具有一定的參考意義, 為教師提供了一種相對(duì)比較科學(xué)、客觀的預(yù)測(cè)方法. </p><p><b>　　4

53、小結(jié)</b></p><p>　　馬爾柯夫鏈?zhǔn)且环N應(yīng)用非常廣泛的數(shù)學(xué)模型. 本文簡(jiǎn)述了馬爾柯夫鏈的基本理論、決策原理, 建立教育領(lǐng)域當(dāng)中的馬爾柯夫預(yù)測(cè)模型并且進(jìn)行了班級(jí)成績(jī)預(yù)測(cè)方面的應(yīng)用, 總結(jié)了馬爾柯夫鏈預(yù)測(cè)方法的計(jì)算步驟. 當(dāng)我們?cè)谶\(yùn)用馬爾柯夫鏈方法預(yù)測(cè)的時(shí)候, 首先, 確定研究對(duì)象的系統(tǒng)狀態(tài), 其次, 得出轉(zhuǎn)移概率矩陣, 最后, 根據(jù)模型進(jìn)行預(yù)測(cè), 即根據(jù)所給資料, 利用馬爾柯夫鏈預(yù)測(cè)模型對(duì)系統(tǒng)

54、進(jìn)行預(yù)測(cè), 并對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行分析得出合理的對(duì)策. 運(yùn)用的時(shí)候必須注意到一個(gè)理想的假定條件: 第一在所討論的時(shí)期內(nèi), 系統(tǒng)狀態(tài)的個(gè)數(shù)保持不變. 第二轉(zhuǎn)移概率矩陣必須保持不變. 第三狀態(tài)的轉(zhuǎn)移只受到前一時(shí)刻的影響, 而與前一時(shí)刻以前的狀況是無(wú)關(guān)的. 當(dāng)這些假定條件都符合時(shí), 則構(gòu)成一階的馬爾柯夫鏈, 我們就可以根據(jù)這一條件建立馬爾柯夫預(yù)測(cè)模型.</p><p>　　馬爾柯夫鏈的預(yù)測(cè)模型, 系統(tǒng)的各狀態(tài)經(jīng)過(guò)多次轉(zhuǎn)移后的

55、狀態(tài)概率主要取決于狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率分布, 而不是取決于系統(tǒng)的初始狀態(tài)概率分布. 因此，馬爾柯夫預(yù)測(cè)方法的準(zhǔn)確性關(guān)鍵是看轉(zhuǎn)移概率矩陣的可靠性. 所以預(yù)測(cè)模型要求準(zhǔn)確的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù), 才能保證它的預(yù)測(cè)精度, 但在實(shí)際中要得到這些資料是很困難的, 需要研究者去做大量的統(tǒng)計(jì)工作, 這是本方法的缺點(diǎn)所在. 為了更準(zhǔn)確預(yù)測(cè)現(xiàn)象的未來(lái)狀態(tài), 在對(duì)現(xiàn)象當(dāng)前狀態(tài)作出判斷的基礎(chǔ)上, 大量的重點(diǎn)工作是對(duì)系統(tǒng)轉(zhuǎn)移概率的測(cè)定. </p><p>

56、　　運(yùn)用馬爾柯夫鏈只能預(yù)測(cè)到一定時(shí)間后隨機(jī)變量序列處于各個(gè)區(qū)間的概率大小, 所以我們要不斷的優(yōu)化這種方法, 同時(shí)在實(shí)踐中對(duì)它進(jìn)行發(fā)展和創(chuàng)新, 嘗試用它與其他的預(yù)測(cè)分析方法結(jié)合使用, 以收到更好的效果.</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　姜啟源, 謝金星, 葉俊. 數(shù)學(xué)模型 [M]. 北京: 高等教育出版社, 2008, 333-356.

57、</p><p>　　林元烈. 應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程 [M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 1998, 72-77; 138-150. </p><p>　　宋慶龍. 馬爾科夫鏈在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用 [J]. 商業(yè)研究, 2009年2期.</p><p>　　彭志行. 馬爾可夫鏈理論及其在經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域的應(yīng)用研究 [D]. 河海大學(xué), 2006. </p>&l

58、t;p>　　劉海波, 陳孝思, 秦玉. 隨機(jī)過(guò)程在災(zāi)變預(yù)測(cè)中的應(yīng)用 [J]. 系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐, 1996,9: 19-23. </p><p>　　陳本建. 利用馬爾可夫鏈方法預(yù)測(cè)草原蝗蟲(chóng) [J]. 草業(yè)科學(xué)1999, 2: 37-40.</p><p>　　夏樂(lè)天, 沈永梅. 加權(quán)馬爾科夫鏈在降水狀況預(yù)測(cè)中的應(yīng)用 [J]. 水利水電科技進(jìn)展, 2006, 2(6): 20

59、-27. </p><p>　　張宗國(guó). 馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)方法及其應(yīng)用研究 [D]. 河海大學(xué), 2005 .</p><p>　　閔照翠. 基于馬爾科夫鏈的代理高信譽(yù)評(píng)估 [J]. 商場(chǎng)現(xiàn)代化, 2008年24期. </p><p>　　Derman C. Finite state Markovian decision processes [M]. New York