線性空間與線性變換

1、<p>　　第五講 線性空間與線性變換</p><p><b>　　一、基本概念</b></p><p>　　1. 數(shù)域 數(shù)的集合，且</p><p><b>　　1) ；</b></p><p>　　2) 關(guān)于運(yùn)算封閉.</p><p><b>　　

2、例如：數(shù)域</b></p><p>　　* 任意數(shù)域都包含有理數(shù)域（有理數(shù)域是最小的數(shù)域）. 數(shù)域有無窮多.</p><p>　　2. 數(shù)域上的線性空間 非空集合 + 數(shù)域 + 集合在數(shù)域上關(guān)于“+”與“數(shù)乘”運(yùn)算封閉 + 八條規(guī)律</p><p>　　線性空間也稱為向量空間，其中的元素也稱為向量.</p><p>　　*

3、 維實(shí)向量線性空間</p><p>　　例如，例5.1-例5.7</p><p>　　3. 子空間 1) ；</p><p>　　2) 且是數(shù)域上的線性空間.</p><p>　　生成子空間 1)；</p><p>　　2). （P84 例5.10）</p><p>　　4. 基 維數(shù)

4、 坐標(biāo)</p><p>　　基 線性空間中的“極大線性無關(guān)組” P84</p><p>　　維數(shù) “極大線性無關(guān)組”的秩 P84</p><p>　　例如，例5.11-例5.14</p><p>　　坐標(biāo) 線性空間中的向量由基線性表示的系數(shù) P85</p><p>　　例如，例5.15-例5.16</

5、p><p>　　5. 基變換和坐標(biāo)變換</p><p>　　基變換 基之間的線性變換 P87</p><p>　　過渡矩陣 構(gòu)成基變換的矩陣（過渡矩陣是可逆矩陣） P88</p><p>　　坐標(biāo)變換 向量在不同的基下的坐標(biāo)之間的線性變換 P88</p><p><b>　　6. 線性變換</b

6、></p><p>　　線性變換 線性空間到的滿足線性運(yùn)算的映射 P89</p><p>　　例如，例5.17-例5.20</p><p>　　線性變換的矩陣 基表示基的像的線性變換矩陣 P90</p><p>　　例如，例5.21-例5.22</p><p><b>　　7. 歐氏空間<

7、/b></p><p>　　內(nèi)積 設(shè)是實(shí)數(shù)域上的一個(gè)線性空間，在上定義一個(gè)二元函數(shù)，記作，如果它滿足：1)，有 1) （對稱性）；</p><p>　　2) , （線性性）；</p><p>　　3) ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，（正定性），</p><p>　　則稱這個(gè)二元函數(shù)是上的內(nèi)積. P93</p><p>　　

8、歐氏空間 定義了內(nèi)積的實(shí)線性空間（實(shí)數(shù)域上的線性空間） P93</p><p>　　* 維實(shí)向量線性空間是歐氏空間</p><p>　　例如，例5.24-例5.26</p><p>　　向量的長 P94</p><p>　　單位向量 （規(guī)范性） P94</p><p>　　向量的夾角 ， P94&l

9、t;/p><p>　　向量的正交 （正交性） P94</p><p>　　例如，標(biāo)準(zhǔn)單位向量組中的向量是相互正交的向量</p><p>　　例1（P94 例5.27）</p><p><b>　　8. 規(guī)范正交基</b></p><p>　　規(guī)范向量組 向量長度皆為1的向量組</p>

10、;<p>　　正交向量組 向量皆非零且互相正交的向量組（正交向量組線性無關(guān)） P94</p><p>　　規(guī)范正交向量組 滿足規(guī)范性和正交性的向量組，即若滿足：， P94</p><p>　　正交基/規(guī)范正交基 由正交向量組成的基/由規(guī)范正交向量組成的基 P95</p><p>　　正交矩陣 P97</p><p&

11、gt;<b>　　二、基本結(jié)論</b></p><p>　　1. 線性空間的基本性質(zhì) P83</p><p>　　1)線性空間的零向量是唯一的；</p><p>　　2)每一個(gè)向量的負(fù)向量是唯一的；</p><p><b>　　3)；</b></p><p><b&g

12、t;　　4)若, 則.</b></p><p><b>　　2. 子空間的判定</b></p><p>　　定理1（P84 定理5.1）</p><p>　　例如，例5.8-例5.9</p><p>　　推論（P85） 如果線性空間，則.</p><p><b>　　3.

13、 基的性質(zhì)</b></p><p>　　定理2（P85 定理5.2）（產(chǎn)生基的方法）</p><p>　　推論（P85） 含有非零向量的線性空間一定存在基.</p><p>　　推論（P95） 非空的歐氏空間一定存在規(guī)范正交基.</p><p>　　4. 坐標(biāo)變換與基變換的關(guān)系</p><p>　　定

14、理3（P88 定理5.3）</p><p><b>　　例1（P88）</b></p><p>　　5. 線性變換的性質(zhì)</p><p>　　線性變換的性質(zhì)（P88）</p><p>　　定理4（P91 定理5.4）(向量與向量的像在同一基下的坐標(biāo)的關(guān)系)</p><p>　　定理5（P92

15、 定理5.5）(兩組基的線性變換矩陣之間的關(guān)系)</p><p>　　例2（P92 例5.23）</p><p>　　6. 正交矩陣的性質(zhì)</p><p><b>　　(1)；</b></p><p>　　(2)是正交矩陣的充要條件是的行向量組和列向量組是規(guī)范正交向量組. P97</p><p&g

16、t;　　例3（P97 例5.30）</p><p>　　三、向量組的規(guī)范正交化</p><p>　　定理1（P95 定理5.7）</p><p>　　例1（P95 例5.28）</p><p>　　例2（P96 例5.29）</p><p><b>　　四、習(xí)題解答</b></p&g

17、t;<p>　　1. P98 3.</p><p>　　提示: 即求的極大線性無關(guān)組極其秩.</p><p>　　2. P98 5.</p><p>　　提示: （1）是維線性空間. 是的一組基.</p><p>　?。?）是維線性空間. 是的一組基.</p><p>　?。?）是1維線性空間, 是

18、的一組基.</p><p>　?。?）是2維線性空間, 是的一組基.</p><p>　　3. P98 6.</p><p><b>　　提示:（1）</b></p><p>　　, 所以是線性空間的一組基.</p><p><b>　?。?）設(shè), 則.</b></p

19、><p><b>　　,</b></p><p>　　所以在基下的坐標(biāo)為.</p><p>　　4. P98 7.</p><p>　　提示: 令, 有, 故線性無關(guān), 可以成為線性空間的一組基.</p><p>　　因?yàn)? 所以在基下的坐標(biāo)為, 即</p><p><

20、b>　　.</b></p><p>　　5. P98 8.</p><p>　　提示: （1）過渡矩陣;</p><p><b>　?。?）.</b></p><p>　　6. P99 10.</p><p>　　提示: 計(jì)算基的像, 表示</p><p&

21、gt;<b>　　, 則即是所求.</b></p><p>　　7. P99 11.</p><p><b>　　提示: 同上題</b></p><p>　　8. P99 12.</p><p>　　提示:（1）同上題;</p><p>　?。?）用表示, 并計(jì)算像. 余

22、下同（1）.</p><p>　　9. P99 13.</p><p>　　提示:（1）. 余下同12.（2）;</p><p>　　（2）, 余下同上;</p><p>　?。?）, 余下同上.</p><p>　　10. P100 14.</p><p><b>　　提示: &

23、lt;/b></p><p>　　故由生成的子空間的一組基為.</p><p><b>　　正交化 ,</b></p><p><b>　　單位化 .</b></p><p>　　故空間的一組規(guī)范正交基為.</p><p>　　11. P100 16. 17.<

24、;/p><p>　　提示:（1）、（2）是正交矩陣</p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　12. P100 3.</p><p>　　提示: P64 11.</p><p>　　13

25、. P100 4.</p><p>　　提示: 表示法唯一線性無關(guān); 任意向量都可由線性表示</p><p><b>　　是一組基.</b></p><p>　　14. P100 5.</p><p><b>　　提示:（1）;</b></p><p><b>

26、　?。?）.</b></p><p>　　14. P100 6.</p><p>　　提示: 同12.（2）.</p><p>　　15. P101 7.</p><p>　　提示: （1）關(guān)于y軸對稱;</p><p><b>　　（2）投影到x軸;</b></p>

27、<p>　?。?）關(guān)于直線y=x對稱;</p><p>　?。?）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)900.</p><p>　　16. P101 8.</p><p><b>　　提示: .</b></p><p><b>　?。?）;</b></p><p><b>　　

28、（2）;</b></p><p><b>　?。?）.</b></p><p>　　17. P102 10.</p><p>　　提示: 方程組的解即為所求.</p><p>　　18. P102 11.</p><p>　　提示:（2）設(shè), 有</p><p&

29、gt;　　19. P102 12.</p><p><b>　　提示: 是正交矩陣</b></p><p><b>　　另一方面,由</b></p><p>　　20. P102 13.</p><p>　　提示: 由12.(1)及及</p><p><b>