拉格朗日插值法與牛頓插值法的比較

1、第1頁共7頁拉格朗日插值法與牛頓插值法的比較拉格朗日插值法與牛頓插值法的比較[摘要]在生產(chǎn)和科研中出現(xiàn)的函數(shù)是多樣的。對(duì)于一些函數(shù)很難找出其解析表達(dá)式。即使在某些情況下，可以寫出函數(shù)的解析表達(dá)式，但由于解析表達(dá)式的結(jié)構(gòu)相當(dāng)復(fù)雜，使用起來很不方便。插值法即是解決此類問題的一種古老的、然而卻是目前常用的方法，它不僅直接廣泛地應(yīng)用于生產(chǎn)實(shí)際和科學(xué)研究中，而且也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)值計(jì)算方法的基礎(chǔ)。拉格朗日插值法和牛頓插值法則是二種常用的簡(jiǎn)便的插值法

2、。本文即是討論拉格朗日插值法和牛頓插值法的理論及二者的比較。[關(guān)鍵詞]拉格朗日插值牛頓插值插值多項(xiàng)式比較一、一、背景背景在工程和科學(xué)研究中出現(xiàn)的函數(shù)是多種多樣的。常常會(huì)遇到這樣的情況：在某個(gè)實(shí)際問題中，雖然可以斷定所考慮的函數(shù)在區(qū)間上存在且連續(xù)，但卻難以找到它)(xf][ba的解析表達(dá)式，只能通過實(shí)驗(yàn)和觀測(cè)得到在有限個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值（即一張函數(shù)表）。顯然，要利用這張函數(shù)表來分析函數(shù)的性態(tài)，甚至直接求出其他一些點(diǎn)上的函數(shù)值可能是)(xf非常

3、困難的。面對(duì)這些情況，總希望根據(jù)所得函數(shù)表（或結(jié)構(gòu)復(fù)雜的解析表達(dá)式），構(gòu)造某個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)作為的近似。這樣就有了插值法，插值法是解決此類問題目前常)(xP)(xf用的方法。如設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且在個(gè)不同的點(diǎn)上分)(xfy?][ba1?nbxxxan??10?別取值。nyyy10?插值的目的就是要在一個(gè)性質(zhì)優(yōu)良、便于計(jì)算的函數(shù)類中，求一簡(jiǎn)單函數(shù)，?)(xP使)10()(niyxPii???而在其他點(diǎn)上，作為的近似。ixx?)(xf通常，稱區(qū)

4、間為插值區(qū)間，稱點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)，稱式為插值][banxxx10?iiyxP?)(條件，稱函數(shù)類為插值函數(shù)類，稱為函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處的插值函數(shù)。?)(xP)(xfnxxx10?求插值函數(shù)的方法稱為插值法。)(xP插值函數(shù)類的取法不同，所求得的插值函數(shù)逼近的效果就不同。它的選?)(xP)(xf擇取決于使用上的需要，常用的有代數(shù)多項(xiàng)式、三角多項(xiàng)式和有理函數(shù)等。當(dāng)選用代數(shù)多項(xiàng)式作為插值函數(shù)時(shí)，相應(yīng)的插值問題就稱為多項(xiàng)式插值。本文討論的拉格朗日插值法與牛

5、頓插值法就是這類插值問題。在多項(xiàng)式插值中，最常見、最基本的問題是：求一次數(shù)不超過的代數(shù)多項(xiàng)式nnnxaxaaxP?????10)(第3頁共7頁)())(()()())(()()()()()(1101102211nkkkkkknkknnnxxxxxxxxxxxxxxxxxlyxlyxlyxL??????????????????????作為常用的特例，令，由上式即得兩點(diǎn)插值公式1?n，這是一個(gè)線性函數(shù)，故又名線性插值。)()(0010101

6、xxxxyyyxL?????若令，則又可得到常用的三點(diǎn)插值公式1?n))(())(())(())(())(())(()(1202102210120120102102xxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxL???????????????這是一個(gè)二次函數(shù)，故又名二次插值或拋物插值。（二）牛頓插值法由線性代數(shù)知，任何一個(gè)不高于次多項(xiàng)式，都可以表示成函數(shù)n的線性組合。既可以吧滿足插值條件)())(())((1110100???

7、????nxxxxxxxxxxxx??的次插值多項(xiàng)式寫成如下形式)10()(niyxPii???n)())(())(()(110102010???????????nnxxxxxxaxxxxaxxaa??其中，為待定系數(shù)。這種形式的插值多項(xiàng)式稱為牛頓插值多項(xiàng)式，記為，即ka)(xNn]1[110102010)())(())(()()(????????????nnnxxxxxxaxxxxaxxaaxN??因此，牛頓插值多項(xiàng)式是插值多項(xiàng)式的另

8、一種表示形式。)(xNn)(xPn設(shè)函數(shù)在等距節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為已知，其中)(xf)10(0nkkhxxk????kkyxf?)(是正常數(shù)，稱步長。我們稱兩個(gè)相鄰點(diǎn)和處函數(shù)之差為函數(shù)在點(diǎn)hkx1?kxkkyy??1)(xf處以為步長的一階向前差分，記作，即kxhky?kkkyyy????1于是，函數(shù)在各節(jié)點(diǎn)處的一階差分依次為)(xf11121010???????????nnnyyyyyyyyy又稱一階差分的差分為二階差分。一般的，定義函數(shù)