人大版微積分第一章函數(shù)

1、歡迎新同學！,歡迎學習高等數(shù)學！,《高等數(shù)學B》,任課教師：xx,辦公室：xx,Telphone: xx Email: xx,為什么要學習高等數(shù)學？ 高等數(shù)學是高等院校許多專業(yè)學生必修的重要基礎理論課程。正如馬克思：一種科學，只有當它成功地運用數(shù)學時，才能達到真正完善的地步。詳見張恭慶《數(shù)學與國家實力》(上下冊)。另見第七屆世界華人數(shù)學家大會（16年）主席丘成桐的對數(shù)學無用論的批判。,拉奧（C.N.R.Rao）：一個

2、國家的科學進步可以用它消耗的數(shù)學來衡量。,數(shù)學對許多工程技術的重要性就像望遠鏡之于天文學，顯微鏡之于生物學一樣，同時也是學好其它理工課程的基礎。（理工科的同學曾說“到后來大家拼的是數(shù)學”）另外，后續(xù)課程、考研（150分）…,教材：微積分 -趙樹嫄 編作業(yè)要求：學號后兩位為奇數(shù)的為A，偶數(shù)為B。下周上新課之前交作業(yè) （作業(yè)本）答疑時間和地點：等待通知學期成績構成：期末成績+平時成績（作業(yè)及考勤） ：70%+30% 課堂秩序

3、問題：遲到；曠課；請假,,,,,,,第一章 函數(shù),§1.3 函數(shù)關系,§1.4 分段函數(shù),§8.6 復合函數(shù)的微分法,§1.8 初等函數(shù),§1.9 函數(shù)圖形的簡單組合,,,,,,,,,,,,,,§1.7 反函數(shù),復合函數(shù),§1.6 函數(shù)的幾種簡單性質,,,,§1.5 建立函數(shù)關系的例題,§1.2 實數(shù)集,

4、§1.1 集合,§1.1集合,集合的概念集合的表示法全集與空集子集集合的運算集合的運算律集合的笛卡爾乘積,§1.2 實 數(shù) 集,區(qū)間與鄰域,(1) 實數(shù)與數(shù)軸.(2) 區(qū)間有: 開區(qū)間、閉區(qū)間和半開半閉區(qū)間.,區(qū)間也可以按其長度分為: 有限區(qū)間和無限區(qū)間.,無限區(qū)間有,,,1.3. 函數(shù)的定義,定義1.2: 設 和 分別為兩個實數(shù)集合, 為一對應關系, 如

5、果對于 中的每一個元素 按照對應關系 在集合 中均有唯一的一個實數(shù) 與之對應,即 則稱變量 為變量 的函數(shù),記作 其中 稱為因變量, 稱為自變量, 稱為對應法則, 稱為該函數(shù)的定義域.,關于該定義應注意 當函數(shù)的定義域和對應法則確定了以后,該函數(shù)便被唯一的確定了,因此稱函數(shù)的定義域和

6、對應法則為確定函數(shù)關系的兩大要素.,例1 判斷下列各組函數(shù)是否相同,,(2) 相同. 因為它們的定義域均為全體實數(shù)相同, 且對應法則也相同,,3. 函數(shù)的定義域,,函數(shù)的定義域, 是使函數(shù)有意義的自變量的取值的范圍.,求函數(shù)的定義域時應注意: (1) 考慮自變量與因變量有無實際意義; (2) 如果一個函數(shù)是若干項的代數(shù)和, 則分別求出每一項的取值范圍后, 取其交集即可得定義域; (3) 對于分

7、段函數(shù)來說, 其定義域就是各區(qū)間的并集合.,解 (1) 要使該函數(shù)有意義, 須有,解之得,故該函數(shù)的定義域為 .,故該函數(shù)的定義域為 .,(2)要使該函數(shù)有意義, 須有,解之得,例3.確定函數(shù) 的,的定義域 .,五、多值函數(shù),六、隱函數(shù),(2) 圖象法(圖形法). 如函數(shù),的圖

8、象為:,(3) 列表法(表格法).,1.4. 分段函數(shù)一、函數(shù)的表示方法 (1) 解析法(公式法). 如函數(shù),二、分段函數(shù)有些函數(shù)是多個(兩個 或兩個以上)解析式表示一個函數(shù), 數(shù)學上稱這種函數(shù)為分段函數(shù).,1.5. 建立函數(shù)關系的例題,解決應用問題,首先要建立數(shù)學模型,也就是建立函數(shù)關系.在建立過程中,要確定自變量和因變量,還要考慮函數(shù)的定義域.例子:某工廠生產(chǎn)某型號車床,年產(chǎn)量為a臺,分批生產(chǎn),每批生產(chǎn)準備費為b元

9、.該產(chǎn)品均勻投入市場,且上一批用完后即生產(chǎn)下一批,即平均庫存量為批量的一半.設每年每臺庫存費為c元.為了選擇最優(yōu)庫存,試求出一年中庫存費與生產(chǎn)準備費的和與批量的函數(shù)關系.,解: 設批量為x, 庫存費與生產(chǎn)準備費的和為P(x). 那么我們有:,函數(shù)自變量x的定義域為(0,a],并且x是正整數(shù).,1.6.函數(shù)的幾種特性,1 奇偶性: 設函數(shù) 在區(qū)間 上有定義, 如果對于任意

10、 , 都有 ,則稱該函數(shù)為奇函數(shù) ; 若對于任意 ,都有,則稱該函數(shù)為偶函數(shù).,例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性,解(1) 因為,所以函數(shù) 是奇函數(shù).,所以,是偶函數(shù).,(2) 因為,注: 奇函數(shù)的圖象關于原點對稱; 偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱.,(4) 因為

11、 所以函數(shù) 是偶函數(shù).,2. 單調性,注: 單調遞增的函數(shù)其圖象從左到右是上升的,,,,而單調遞減的函數(shù)其圖象從左到右是下降的.見下圖,,,,,,,y,y,x,x,o,o,,,例如 函數(shù) 在區(qū)間 上單調遞增,在區(qū)間 上單調遞減; 而函數(shù)在定義域 上均單

12、調遞增. 其圖象如下:,單調遞增,單調遞減,,單調性遞增開始演示!,,,,,,,,,,,,,演示,,,,,,,,,,,,單調性遞減開始演示,3.周期性,注意: (1) 說函數(shù)遞增還是遞減時, 應明確指出在哪一個區(qū)間上. 因同一個函數(shù)在不同的區(qū)間上單調性可能不同.如函數(shù) (2) 當一個函數(shù)在其定義域 上 均單調遞增(或遞減)時, 才稱該函數(shù)為單調函數(shù).如 是單調函數(shù).,

13、設函數(shù) 在 上有定義, 如果存在正常數(shù) 使得對于 中的任意 , 都有 則稱該函數(shù)為周期函數(shù), 且稱最小的 為該函數(shù)的周期.,如函數(shù),,也是周期函數(shù), 其周,是周期函數(shù), 其周,期為,而,期為,,證明：,Eg：,,4.有界性 設函數(shù) 在 上有定義, 如果存在正數(shù) ,使得對于任意

14、 ,都有 恒成立. 則稱該函數(shù)在區(qū)間 上有界. 否則, 稱該函數(shù) 在區(qū)間 上無界.,,如函數(shù) 在區(qū)間 上有界, 因在該區(qū)間上恒有 成立; 在區(qū)間 上無界.正弦函數(shù) 在其定義域 R有界.,,因為總有,注意: (1)說一個函數(shù)是否

15、有界, 一般要指出區(qū)間.因同一個函數(shù),在某區(qū)間上可能有界,而在另一個區(qū)間上可能會無界. (2) 若一個函數(shù)在其定義域上有界時,可以不說區(qū)間, 這時稱函數(shù)是有界函數(shù).,Eg:,例題1.,例題2.,1.7. 反函數(shù)與復合函數(shù),1.反函數(shù)的定義,注1: 易見反函數(shù) 的定義域B即是原來函數(shù) 的值域, 而其值域即是原來函數(shù)的定義域.,注2: 為了合呼我們的習慣, 常把

16、中的 換為 , 把 換為 , 從而的得 . 由于并不改變其定義域和對應法則, 所以它們是相同的函數(shù).,注3: 函數(shù) 與 互為反函數(shù),2.反函數(shù)的性質,,(1) 單調函數(shù)必有反函數(shù), 且其反函數(shù)的單調性與原來函數(shù)的單調性一致.,3.反函數(shù)的求法,反函數(shù)的求法分三步: ①從 中解出 ;②判斷 中的

17、 與 是否一一對應; ③若一個 對應唯一一個 , 則將其 換為 , 換為 ,即得函數(shù) 的反函數(shù).,注1: 條件 非常重要, 只有滿足了該條件后,兩個函數(shù)才可復合, 否則就不是復合函數(shù).,2.復合函數(shù),一、基本初等函數(shù),,1.常量函數(shù),2.冪函數(shù),3.指數(shù)函數(shù),4.對數(shù)函數(shù),5.三角函數(shù),6.反三角函數(shù),1.8 初等函數(shù),1.常函數(shù),,,y

18、,x,o,x,o,,,,,,y,3.指數(shù)函數(shù) 4.對數(shù)函數(shù),,o,,,,y,x,o,,,,,y,x,基本初等函數(shù)圖象如下,2.冪函數(shù),5.三角函數(shù),,,,,,,,,,,,,,x,,,,,,,,,y,x,6.反三角函數(shù),正弦函數(shù),,,,,反正弦函數(shù),,,,,定義,正弦函數(shù),在,上的反函數(shù)，稱為,反正弦函數(shù)，記為,（1）反正弦函數(shù),（2）反余弦函數(shù),余弦函數(shù),,,,,反余弦函數(shù),,,,定義,余弦函數(shù),在,

19、上的反函數(shù)，稱為,反余弦函數(shù)，記為,（3）反正切函數(shù),,,,,定義,正切函數(shù),在,內的反函數(shù)，,稱為反正切函數(shù)，記為,定義域：,值域：,其圖形：,,,,,,（4）反余切函數(shù),2.初等函數(shù) 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算,以及復合以后, 且能夠用一個式子表達的函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù).,如函數(shù):,,等等均是初等函數(shù).,而,均不是初等函數(shù).,作業(yè)本,作業(yè)( Page32-44),27(5,7,9),2850,57(2,4,6),