利用均值不等式證明不等式

1、1，利用均值不等式證明不等式（1）均值不等式：設(shè)12...naaa是n個(gè)正實(shí)數(shù)，記12111nnnHaaa???????12nnnGaaa????12nnaaaAn??????22212nnaaaQn??????它們分別稱(chēng)為n個(gè)正數(shù)的調(diào)和平均數(shù)，幾何平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)，平方平均數(shù)。有如下關(guān)系：nnnnHGAQ???.等號(hào)成立的充要條件是12naaa??????。先證nnAG?證法一：.nnAG?用數(shù)學(xué)歸納法證明：212()202nnnn

2、aanAGAG??????當(dāng)時(shí)，成立。1.kkkkAG??假設(shè)：n=k2時(shí)成立即有：11111111kkkkkkkkkkkkkkkkAAAGGGAG???????????n=k1時(shí)：只需證：12naaa????不妨設(shè)：01111111111=11kkkkkkiiiikiiiikaaaaAkkkk???????????????????????????????????????????????????????11011111111kkkkkk

3、iiiiiiiikkaaaaCCkkkk????????????????????????????????????????????????????1111111(1)(11).1kkkkkkiiiikiiiikkkaaaakkaAakkkk???????????????????????????????????????????????????????11111.1kkkkkkkkkAGankAG??????????所以對(duì)時(shí)亦成立。原不等式成

4、立。.nnAG?證法二：用反向數(shù)學(xué)歸納法證明：212()202nnnnaanAGAG??????當(dāng)時(shí)，成立。證明（1）??1aabb??????1abbabb?????????3133abbabb??????當(dāng)且僅當(dāng)??10abbabb?????，即21ab??取等號(hào)。證明（2）????log1log1nnnn??????log1log12nnnn??????2211log1log122nnnn????∴????log1log112nn

5、nnn????證明（3）44442222xyxyxy???，同理44222zyzy??44222zxzx??，三式相加得444222222xyyxyyzzx?????另一方面2222242222xyyzxyzxyz???，同理222222xyxzyxz???，222222xzyzyzx???三式相加得222222xyyzzx????xyzxyz???說(shuō)明：（1）中涉及到與常數(shù)相關(guān)的不等式的證明問(wèn)題，通過(guò)變形使其出現(xiàn)互為倒數(shù)的因式，利用均

6、值不等式證得。（3）中累加的方法是常用的處理手段。例2：若abcR??且1abc???，求證：13113113143abc??????證明：左邊??????13113113116334333abc????????A例3：已知12naaa???是正數(shù)，滿(mǎn)足121naaa?????求證：??????122223nnaaa???????（89年聯(lián)賽試題）證明：31112113aaa?????，同理：32223aa??，…323nnaa??，將