行列式的定義及其性質證明

1、行列式的定義及其性質證明行列式的定義及其性質證明摘要:本文給出了與原有行列式定義不同的定義，利用此定義和引理導出定理，進一步導出行列式的性質，給出了行列式性質與以往教材不同的完整證明，形成了有關行列式的新的知識體系，通過定理性質的證明過程，重點在培養(yǎng)同學們的邏輯思維能力、推理能力和創(chuàng)新能力。關鍵詞關鍵詞:行列式；定義；性質；代數(shù)余子式；逆序數(shù)1基本定理與性質的證明引理設t為行標排列q1q2…qn與列標排列p1p2…pn的逆序數(shù)之和，若行

2、標排列與列標排列同時作相應的對換，則t的奇偶性不變。證明根據(jù)對換定理:一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性。若行標排列與列標排列同時作相應的對換，則行標排列的逆序數(shù)與列標排列的逆序數(shù)的奇偶性同時改變，因而它們的逆序數(shù)之和的奇偶性不變。定理1n階行列式也可定義為證明由定義1和引理即可證得。性質1行列式與它的轉置行列式相等(由定理1即可證得)。(根據(jù)性質1知對行成立的性質對列也成立)性質2行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對應的

3、代數(shù)余子式乘積之和。證明利用定理1和代數(shù)余子式的定義即可證得。性質3如果行列式中有兩行(兩列)元素對應相等，則此行列式等于零。證明(利用遞推方法來證)設行列式中第k行和第j行的元素對應相等，由性質2可知又Ais=(1)is(s=1，2，…，n)，根據(jù)性質2，Mis又可以展開成n1項的和，每一項都是一實數(shù)與n1階行列式的乘積，以此類推，Mis總可以展開成一個實數(shù)與一個二階行列式的乘積之和，即(mi為實數(shù)，Di為含有原行列式中k行和j行的二