數學競賽教案講義（9）——不等式

1、高考資源網（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。1第九章第九章不等式不等式一、基礎知識一、基礎知識不等式的基本性質：（1）abab0；（2）abbcac；??（3）abacbc；（4）abc0acbc；??（5）abcb0cd0acbd??（7）ab0n∈Nanbn（8）ab0n∈N??nnba?（9）a0|x|axa或xb0cd0，所以acbcbcbd，所以acbd；重復利用性質（6），可得性質（7）；再證性質（8），

2、用反證法，若，由性質（7）得，即nnba?nnnnba)()(?a≤b，與ab矛盾，所以假設不成立，所以；由絕對值的意義知（9）成立；nnba?|a|≤a≤|a||b|≤b≤|b|，所以(|a||b|)≤ab≤|a||b|，所以|ab|≤|a||b|；下面再證（10）的左邊，因為|a|=|abb|≤|ab||b|，所以|a||b|≤|ab|，所以（10）成立；（11）顯然成立；下證（12），因為xy2≥0，所以xy≥，當且2)(yxxy

3、??xy2僅當x=y時，等號成立，再證另一不等式，令，因為x3b3c3czbyax???3333abc=(ab)3c33a2b3ab23abc=(ab)3c33ab(abc)=(abc)[(ab)2(ab)cc2]3ab(abc)=(abc)(a2b2c2abbcca)=(abc)[(ab)2(bc)2(ca)2]≥0，所以21a3b3c3≥3abc，即xyz≥，等號當且僅當x=y=z時成立。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m33x

4、yz二、方法與例題1不等式證明的基本方法。（1）比較法，在證明AB或A0）與1BA比較大小，最后得出結論。例1設abc∈R，試證：對任意實數xyz有x2y2z2.))()((2?????????????????xzbacyzacbxycbaaccbbaabc例2若a0，求證：.mccmbbmaa?????（7）引入參變量法。例10已知xy∈Rlab為待定正數，求f(xy)=的最小值。2323ybxa?例11設x1≥x2≥x3≥x4≥2x