全國高中數(shù)學(xué)競賽專題不等式

1、1全國高中數(shù)學(xué)競賽專題全國高中數(shù)學(xué)競賽專題不等式不等式證明不等式就是對不等式的左右兩邊或條件與結(jié)論進(jìn)行代數(shù)變形和化歸，而變形的依據(jù)是不等式的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)分類羅列如下：不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)：.00????????babababa這是不等式的定義，也是比較法的依據(jù).對一個不等式進(jìn)行變形的性質(zhì)：（1）abba???（對稱性）（2）cbcaba?????（加法保序性）（3）.00bcaccbabcaccba????????（4）).(

2、0Nnbababannnn??????對兩個以上不等式進(jìn)行運算的性質(zhì).（1）cacbba????（傳遞性）.這是放縮法的依據(jù).（2）.dbcadcba??????（3）.dbcadcba??????（4）.00bcaddbcacdba???????含絕對值不等式的性質(zhì)：（1）.)0(||22axaaxaax????????（2）.)0(||22axaxaxaax????????或（3）||||||||||||bababa?????（三角

3、不等式）.（4）.||||||||2121nnaaaaaa?????????證明不等式的常用方法有：比較法、放縮法、變量代換法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法、構(gòu)造函數(shù)方法等.當(dāng)然在證題過程中，?？伞坝梢?qū)Ч被颉皥?zhí)果索因”.前者我們稱之為綜合法；后者稱為分析法.綜合法和分析法是解決一切數(shù)學(xué)問題的常用策略，分析問題時，我們往往用分析法，而整理結(jié)果時多用綜合法，這兩者并非證明不等式的特有方法，只是在不等式證明中使用得更為突出而已.此外，具體地證明一個

4、不等式時，可能交替使用多種方法.因此，要熟練掌握不等式的證明技巧，必須從學(xué)習(xí)這些基本的常用方法基本的常用方法開始。1比較法（比較法（比較法可分為差值比較法和商值比較法。）（1）差值比較法（原理：）差值比較法（原理：A－B＞0A＞B）例1設(shè)abc∈R，3所以只需證明，)1(1)1(1)1(1)1(1abbabbaa???????也就是證，)1)(1()1)(1(babbabaaba???????只需證b(ab)≤a(ab)，即(ab)2≥

5、0，顯然成立。所以命題成立。3綜合法綜合法例5若abc0，求證：abc≥(abc)(bca)(cab)。證明:∵(abc)(bca)=2b＞0(bca)(cab)=2c＞0(cab)(abc)=2a＞0∴abcbcacab中至多有一個數(shù)非正.(1)當(dāng)abcbcacab中有且僅有一個數(shù)為非正時原不等式顯然成立.(2)abcbcacab均為正時則????????2abcbcaabcbcab???????????同理????????abc

6、acbabcaacbc??????????三式相乘得abc≥(abc)(bca)(cab)例6已知△ABC的外接圓半徑R=1，S△ABC=，abc是△ABC的三邊長，令S=，t=。求證：tS。解：由三角形面積公式:.正弦定理：asinA=2R.可得abc=1.1sin2bcA所以2t=2bc2ac2ab.由因為a.b.c均大于0。所以2t=2a2b2c=222=2()=2s.bcacabaabcbabccabcabc所以ts。4反證法反