[學(xué)習(xí)]復(fù)變函數(shù)論第三版鐘玉泉ppt7共形映射shu

1、1,2024/3/26,7.1 解析變換的特性,7.1.1 解析變換的保域性7.1.2 解析變換的保角性7.1.3 單葉解析變換的共形性,,第七章 共形映射,2,2024/3/26,定理7.1 (保域定理)設(shè)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且不恒為常數(shù),則D的象G=f(D)也是一個(gè)區(qū)域.,證 首先證明G的每一點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn).,設(shè)w0∈G,則有一點(diǎn)z0∈D,使w0=f(z0).,要證w0是G的內(nèi)點(diǎn),只須證明w*與w0充分接近時(shí),w*亦

2、屬于G.,即當(dāng)w*與w0充分接近時(shí),方程w*=f(z)在D內(nèi)有解.,為此,考察 f(z)-w*=(f(z)-w0)+(w0-w*,),由解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性,必有以z0為心的某個(gè)圓C:|z-z0|=R,,顯然 f(z0)-w0=0,,f(z)-w0在C上及C的內(nèi)部(除z0外),C及C的內(nèi)部全含于D,使得,均不為零.因而在C上:,7.1.1解析變換的保域性,內(nèi)的點(diǎn)w*及在C上的點(diǎn)z有,對(duì)在鄰域,3,2024/3/26,因此根據(jù)儒歇定理,

3、在C的內(nèi)部,與f(z)-w0有相同零點(diǎn)的個(gè)數(shù).于是w*=f(z)在D內(nèi)有解.,由于D是區(qū)域,可在D內(nèi)部取一條聯(lián)結(jié)z1,z2的折線C:z=z(t) [t1≤t≤t2,z(t1)=z1,z(t2)=z2].于是：,就是聯(lián)結(jié)w1,w2的并且完全含于D的一條曲線.,從而,參照柯西積分定理的古莎證明第三步,可以找到,其次,要證明G中任意兩點(diǎn)w1=f(z1),w2=f(z2)均可以用一條完全含于G的折線聯(lián)結(jié)起來(lái).（連通性）,一條連接w1,w2,內(nèi)接

4、于? 且完全含于G的折線?1,總結(jié)以上兩點(diǎn),即知G=f(D)是區(qū)域.,4,2024/3/26,證 因f(z)在區(qū)域D內(nèi)單葉,必f(z)在D內(nèi)不恒為常數(shù).,定理7.2 設(shè)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)單葉解析,則D的象G=f(D)也是一個(gè)區(qū)域.,注 定理7.1可以推廣成這樣的形式:“w=f(z)在擴(kuò)充z平面的區(qū)域D內(nèi)除可能有極點(diǎn)外處處解析（即為亞純函數(shù)）,且不恒為常數(shù),則D的象G=f(D)為擴(kuò)充z平面上的區(qū)域.,注 滿足定理7.2和7.3的

5、條件的解析變換w=f(z)將z0的一個(gè)充分小的鄰域內(nèi)變成w0=f(z0)的一個(gè)曲邊鄰域.,定理7.3 設(shè)函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)z0解析,且f ?(z0)≠0,則f(z)在z0的一個(gè)鄰域內(nèi)單葉解析.,5,2024/3/26,7.1.2 解析變換的保角性,—導(dǎo)數(shù)的幾何意義,設(shè)w=f(z)于區(qū)域D內(nèi)解析,z0∈D,在點(diǎn)z0有導(dǎo)數(shù),通過(guò)z0任意引一條有向光滑曲線,C:z=z(t)(t0≤t≤t1),z0=z(t0).,因此C在z0有切線,,就是

6、切向量,,經(jīng)變換w=f(z),的參數(shù)方程應(yīng)為,它的傾角為,,,C,w=f(z),,,,,?,,C的象曲線,由定理7.3及第三章習(xí)題(一)13, ? 在點(diǎn)w0=w(t0)的鄰域內(nèi)是光滑的.,又由于,故? 在w0=f(z0)也有切線，,設(shè)其傾角為??，則,就是切向量,,6,2024/3/26,圖7.1,,,且,（7.1）,（7.2）,如果假定x軸與u軸,y軸與v軸的正方向相同,而且將原曲線切線的正方向與變換后象曲線的切線正方向間的夾角,理

7、解為原曲線經(jīng)過(guò)變換后的旋轉(zhuǎn)角,則：,(7.1)說(shuō)明:象曲線? 在點(diǎn) 的切線正向,可由原曲線C在點(diǎn) 的切線正向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度 得出。,僅與 有關(guān),而與經(jīng)過(guò) 的曲線C的選擇無(wú)關(guān),稱(chēng)為變換 在點(diǎn) 的旋轉(zhuǎn)角。,—導(dǎo)數(shù)輻角的幾何意義.,(7.2)說(shuō)明:象點(diǎn)間無(wú)窮小距離與原象點(diǎn)間的無(wú)窮小距離之比,的極限是 ,它僅與 有關(guān),而與過(guò) 的曲線C的

8、,7,2024/3/26,方向無(wú)關(guān),稱(chēng)為變換w=f(z)在點(diǎn) 的伸縮率.這也就是導(dǎo)數(shù)模的幾何意義.,上面提到的旋轉(zhuǎn)角與C的選擇無(wú)關(guān)的這個(gè)性質(zhì),稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)角不變性;伸縮率與C的方向無(wú)關(guān),這個(gè)性質(zhì),稱(chēng)為伸縮率不變性.,從幾何意義上看:如果忽略高階無(wú)窮小,伸縮率不變性就表示w=f(z)將 處無(wú)窮小的圓變成 處的無(wú)窮小的圓,其半徑之比為 .,上面的討論說(shuō)明:解析函數(shù)在導(dǎo)數(shù)不為零的地方具有旋轉(zhuǎn)角

9、不變性與伸縮率不變性.,上式可視為,8,2024/3/26,經(jīng)點(diǎn)z0的兩條有向曲線C1,C2的切線方向所構(gòu)成的角稱(chēng)為兩曲線在該點(diǎn)的夾角.,,,O,x,(z),,,z0,,,,,定義7.1 若函數(shù)w=f(z)在點(diǎn) 的鄰域內(nèi)有定義,且在點(diǎn) 具有:(1)伸縮率不變性;(2)過(guò) 的任意兩曲線的夾角在變換w=f(z)下,既保持大小,又,z0,z0,z0,保持方向;則稱(chēng)函數(shù)w=f(z)在點(diǎn) 是保角的,或

10、稱(chēng)w=f(z)在點(diǎn) 是保角變換.,如果w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處都是保角的，則稱(chēng)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)是保角的，或稱(chēng)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)是保角變換.,z0,z0,9,2024/3/26,轉(zhuǎn)動(dòng)角的大小與方向跟曲線C的形狀與方向無(wú)關(guān). 所以這種映射具有轉(zhuǎn)動(dòng)角的不變性.,通過(guò)z0點(diǎn)的可能的曲線有無(wú)限多條, 其中的每一條都具有這樣的性質(zhì), 即映射到w平面的曲線在w0點(diǎn)都轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度Arg f '(z0).,10,20

11、24/3/26,相交于點(diǎn)z0的任何兩條曲線C1與C2之間的夾角,在其大小和方向上都等同于經(jīng)w=f (z)映射后C1與C2對(duì)應(yīng)的曲線G1與G2之間的夾角,所以這種映射具有保持兩曲線間夾角與方向不變的性質(zhì).這種性質(zhì)稱(chēng)為保角性。,y,11,2024/3/26,定理7.4 如w=f(z)在區(qū)域 D內(nèi)解析,則它在導(dǎo)數(shù)不為零的點(diǎn)處是保角的.,推論7.5 如w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)單葉解析,則稱(chēng)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)是保角的.,總結(jié)上述討論，我們有以

12、下結(jié)論：,12,2024/3/26,例1求w= f(z)=z3 在 z=0, z=i 處的導(dǎo)數(shù)值,并說(shuō)明幾何意義。,解 w= f(z)=z3在全平面解析， 。,在z=i 處具有伸縮率不變和保角性。,伸縮率為3，旋轉(zhuǎn)角為 。,13,2024/3/26,定義7.2 如果w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)是單葉且保角的,則稱(chēng)此變換w=f(z)在D內(nèi)是共形的,也稱(chēng)它為D內(nèi)的共形映射.,7.1.3 單葉解析變換的共形

13、性,定理7.6 設(shè)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)單葉解析.則 (1)w=f(z)將D共形映射成區(qū)域G=f(D). (2)反函數(shù) 在區(qū)域G內(nèi)單葉解析,且,證 (1)由推論7.2,G是區(qū)域,由推論7.5及定義7.2,w=f(z)將D共形映射成G.,(2)由定理6.11, ,又因w=f(z)是D到G的單葉滿變換,因而是D到G的一一變換.,于是,當(dāng)

14、 時(shí), ,即反函數(shù) 在區(qū)域G內(nèi)單葉.故,14,2024/3/26,由假設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析,即在D內(nèi)滿足C.-R.方程ux=vy,uy=-vx.故,15,2024/3/26,由數(shù)學(xué)分析中隱函數(shù)存在定理,存在兩個(gè)函數(shù)x=x(u,v),y=y(u,v)在點(diǎn) 及其一個(gè)鄰域 內(nèi)為連續(xù)，即在鄰域

15、 中,當(dāng) 時(shí),必有,故,即,16,2024/3/26,在D內(nèi)作以z0為其一個(gè)頂點(diǎn)的小三角形, 在映射下, 得到一個(gè)以w0為其一個(gè)頂點(diǎn)的小曲邊三角形, 這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)之比近似為|f '(z0)|, 有一個(gè)角相等, 則這兩個(gè)三角形近似相似.,定理的幾何意義.,17,2024/3/26,18,2024/3/26,第二節(jié) 分式線性變換,7.2.1 分式線性變換及其分解 7.2.2 分式線性變換的映射

16、性質(zhì)7.2.3 分式線性變換的應(yīng)用,19,2024/3/26,(7.3),為分式線性變換.簡(jiǎn)記為w=L(z).,1.定義,7.2.1 分式線性變換及其分解,稱(chēng)變換,注:,①條件ad-bc?0是必要的。因若ad-bc=0,則,② 約定：w=L(z)的定義域?yàn)?C?：,(7.4),結(jié)論,①w=L(z)將?C??C?,②w=L(z)的逆變換為,③ w=L(z)在擴(kuò)充z平面上是保域的,20,2024/3/26,2. 分式線性變換 w=L

17、(z)的分解,結(jié)論：分式線性變換 w=L(z)可以分解為如下簡(jiǎn)單變換的復(fù)合,,整線性變換,旋轉(zhuǎn)變換,伸縮變換,平移變換,,反演變換,關(guān)于單位圓周的對(duì)稱(chēng)變換,關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱(chēng)變換,21,2024/3/26,,,O,(z)?(w),,,,,,z,w,b,i)w=z+b. 這是一個(gè)平移映射. 因?yàn)閺?fù)數(shù)相加可以化為向量相加, z沿向量b的方向平移一段距離|b|后, 就得到w.,,,O,(z)=(w),,,z,w,,,a,ii) w=az, a?0

18、. 這是一個(gè)旋轉(zhuǎn)與伸長(zhǎng)(或縮短)的映射. 設(shè) 將 z 先轉(zhuǎn)一個(gè)角度a, 再將|z|伸長(zhǎng)(或縮短) 倍后, 就得到 w.,22,2024/3/26,,,,,,,,,,z,w1,w,1,O,圓周的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),P與P'關(guān)于圓周C互為對(duì)稱(chēng)點(diǎn),23,2024/3/26,7.2.2 分式線性變換的映射性質(zhì),1.保角性（或共形性）,而i)與ii)是平移,旋轉(zhuǎn)和伸縮變換,顯然是共形的,所構(gòu)成的復(fù)合映射w=az+b在整個(gè)擴(kuò)充復(fù)平

19、面上是共形的。,定理一 分式線性變換在擴(kuò)充復(fù)平面上是一一對(duì)應(yīng)的, 且具有保角性.,而分式線性變換是上述三種映射復(fù)合而構(gòu)成的,因此有,24,2024/3/26,,映射w=az+b和w=1/z都具有將圓周映射成圓周的特性, （這里將直線看作是無(wú)窮大半徑的圓）這種性質(zhì)稱(chēng)作保圓性。映射w=az+b顯然具有保圓性,下面說(shuō)明w=1/z具有保圓性.,2. 保圓性,因此, 映射w=1/z將方程,變?yōu)榉匠?當(dāng)a?0,d?0：圓周映射為圓周; 當(dāng)a?0

20、,d=0：圓周映射成直線;當(dāng)a=0,d?0：直線映射成圓周；當(dāng)a=0,d=0：直線映射成直線.,這就是說(shuō), 映射w=1/z把圓周映射成圓周. 或者說(shuō), 映射w=1/z具有保圓性.,25,2024/3/26,定理二 分式線性變換將擴(kuò)充 z平面上的圓周映射成擴(kuò)充w平面上的圓周, 即具有保圓性.,根據(jù)保圓性, 在分式線性變換下, 如果給定的圓周或直線上沒(méi)有點(diǎn)映射成無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn), 則它就映射成半徑為有限的圓周; 如果有一個(gè)點(diǎn)映射成無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),

21、它就映射成直線.,26,2024/3/26,定義7.5 關(guān)于圓周 對(duì)稱(chēng)是指 都在過(guò)圓心a的同一條射線上,且滿足此外,還規(guī)定圓心a與點(diǎn)∞關(guān)于 為對(duì)稱(chēng)的。,3. 保對(duì)稱(chēng)點(diǎn)性,定理7.11 擴(kuò)充z平面上兩點(diǎn) 關(guān)于圓周 對(duì)稱(chēng)的充要條件是,通過(guò) 的任意圓周都與 正交.,定理7.12 設(shè)擴(kuò)充z平面上兩點(diǎn) 關(guān)于圓周 對(duì)稱(chēng),

22、w=L(z)為一線性變換,則 兩點(diǎn)關(guān)于圓周 對(duì)稱(chēng).,證 設(shè) 是擴(kuò)充w平面上經(jīng)過(guò) 的任意圓周.此時(shí),必然存在一個(gè)圓周 ,它經(jīng)過(guò) ,并使 ,因?yàn)?關(guān)于 對(duì)稱(chēng),故由定理7.11, 與 亦正交.這樣,再由定理7.11即知 關(guān)于 對(duì)稱(chēng).,2

23、7,2024/3/26,28,2024/3/26,當(dāng)四點(diǎn)中有一點(diǎn)為∞時(shí),應(yīng)將包含此點(diǎn)的項(xiàng)用1代替.例如z1= ∞時(shí),即有亦即先視z1為有限,再令 取極限而得.,定義7.4 擴(kuò)充平面上順序的四個(gè)相異點(diǎn)z1,z2,z3,z4構(gòu)成下面的量,稱(chēng)為它們的交比,記為(z1,z2,z3,z4):,4. 保交比性,29,2024/3/26,定理7.8 在線性變換下,四點(diǎn)的交比不變.,證 設(shè),則,因此,30,2024/3/26,定理7

24、.9 設(shè)線性變換將擴(kuò)充z平面上三個(gè)相異點(diǎn)z1,z2,z3指定為w1,w2,w3,則此分式線性變換換就被唯一確定,并且可以寫(xiě)成 (7.10)(即三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)唯一確定一個(gè)線性變換).,31,2024/3/26,,,例1 求將上半平面Im(z)>0映射成單位圓|w|<1的分式線性變換.,,,,,,,,O,1,-1

25、,x,y,l,,,O,1,-1,u,i,v,(z),(w),,,5. 分式線性變換的應(yīng)用,32,2024/3/26,[解法一] 在x軸上任意取定三點(diǎn):z1=-1, z2=0, z3=1使它們對(duì)應(yīng)于|w|=1上三點(diǎn):w1=1, w2=i, w3=-1, 則因z1?z2?z3跟w1?w2?w3的繞向相同, 所求的分式線性映射為,化簡(jiǎn)后即得,注 如果選取其他三對(duì)不同點(diǎn),勢(shì)必也能得出滿足要求的, 但不同于上式的分式線性變換.

26、此可見(jiàn), 把上半平面映射成單位圓的分式線性變換不是唯一的, 而是有無(wú)窮多.,33,2024/3/26,[解法二] 將上半平面看成半徑為無(wú)窮大的圓域, 實(shí)軸就是圓域的邊界圓周. 因?yàn)榉质骄€性變換具有保圓性, 因此它必能將上半平面Im(z)>0映射成單位圓|w|<1. 由于上半平面總有一點(diǎn)z=l要映成單位圓周|w|=1的圓心w=0,,從而所求的分式線性變換具有下列形式:,其中k為常數(shù).,34,2024/3/26,反之, 形如上式

27、的分式線性變換必將上半平面Im(z)>0映射成單位圓|w|<1. 因?yàn)楫?dāng)z取實(shí)數(shù)時(shí),35,2024/3/26,即把實(shí)軸映射成|w|=1. 又因?yàn)樯习肫矫嬷械膠=l映射成w=0, 所以(6.3.3)必將Im(z)>0映射成|w|<1.,36,2024/3/26,故有,從而得所求的映射為,解 由條件w(2i)=0知, 所求的映射要將上半平面中的點(diǎn)z=2i映射成單位圓周的圓心w=0. 所以由(6.3.3)得,例2

28、 求將上半平面Im(z)>0映射成單位圓|w|<1且滿足 的分式線性變換.,37,2024/3/26,38,2024/3/26,,,,,x,1,y,(z),O,,,,O,u,v,(w),1,,,,,,a,例4 求將單位圓|z|<1映射成單位圓|w|<1的分式線性變換.,39,2024/3/26,[解] 設(shè)z平面上單位圓|z|

29、<1內(nèi)部的一點(diǎn)a映射成w平面上的單位圓|w|<1的中心w=0. 這時(shí)與,40,2024/3/26,所以 |k'|=1, 即k'=eij. 這里j是任意實(shí)數(shù).,由于z平面上單位圓周上的點(diǎn)要映成w平面上單位圓周上的點(diǎn), 所以當(dāng)|z|=1,|w|=1. 將圓周|z|=1上的點(diǎn)z=1代入上式, 得,因此, 將單位圓|z|<1映射成單位圓|w|<1的分式線性映射的一般表示式是,41,2024/3/26,反之

30、, 形如上式的映射必將單位圓|z|<1映射成單位圓|w|<1. 這是因?yàn)閳A周|z|=1上的點(diǎn)z=eiq (q為實(shí)數(shù))映射成圓周|w|=1上的點(diǎn):,同時(shí)單位圓|z|<1內(nèi)有一點(diǎn)z=a映射成w=0.所以(6.3.5)必將單位圓|z|<1映射成單位圓|w|<1.,42,2024/3/26,例5 求將單位圓映射成單位圓且滿足條件(1/2)=0, w'(1/2)>0 的分式線性變換.,[解] 由條件w

31、(1/2)=0知, 所求的映射要將z=1/2 映射成|w|<1的中心. 所以由(6.3.5) 得,43,2024/3/26,[解] 容易看出, 映射z=(w-2i)/2將|w-2i|0映射成|z|<1且滿足z(2i)=0的映射易知為,例6 求將Im(z)>0映射成|w-2i|<2且滿足條件 的分式線性變

32、換.,44,2024/3/26,45,2024/3/26,第三節(jié) 某些初等函數(shù)所構(gòu)成的共形映射,7.3.1 冪函數(shù)與根式函數(shù)7.3.2 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)7.3.3 由圓弧構(gòu)成的兩角形區(qū)域的共形映射,46,2024/3/26,(7.15),其中 為大于1的自然數(shù)。除了 及 外，它處處具有不為零的導(dǎo)數(shù)，因而在這些點(diǎn)是保角的。,7.3.1 冪函數(shù)與根式函數(shù),冪函數(shù),因?yàn)?7.15)的單葉性區(qū)域是頂點(diǎn)

33、在原點(diǎn)張度不超過(guò) 的角形區(qū)域。于是冪函數(shù)(7.15)將角形區(qū)域 共形映射成角形區(qū)域 .,特別地， 將角形區(qū)域 共形映射成w平面上除去原點(diǎn)及正實(shí)軸的區(qū)域。,47,2024/3/26,48,2024/3/26,7.3.1 冪函數(shù)與根式函數(shù),(7.16),作為

34、 的逆變換,將w平面上的角形區(qū)域 共形映射成z平面上的角形區(qū)域 .,于是 和 的映射特點(diǎn)是擴(kuò)大與縮小角形域。,例1 求把角形域0<arg z<p/4映射成單位圓|w|<1 的一個(gè)映射.,[解] z=z4將所給角形域00. 又從上節(jié)的例2知, 映

35、射,將上半平面映射成單位圓|w|<1,因此所求映射為,49,2024/3/26,50,2024/3/26,例2 求一個(gè)將映射為單位圓|w|<1的映射。,解,,,,,,51,2024/3/26,例3 求把下圖中由圓弧C2與C3所圍成的交角為a的月牙域映射成角形域j0<arg w<j0+a的一個(gè)映射.,,,,a,,,,O,(z),,,,,1,,52,2024/3/26,[解] 令C1,C2的交點(diǎn)z=i與z=-i分別

36、映射成z平面中的z=0與z=?, 將所給月牙域映射成z平面中的角形域的映射是具有以下形式的分式線性函數(shù):,其中k為待定的復(fù)常數(shù)。,53,2024/3/26,在任意有限點(diǎn)均有 ，因而它在z平面上是保角的。,7.3.2 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù),指數(shù)函數(shù),(7.17),因?yàn)椋?.17）的單葉性區(qū)域是平行于實(shí)軸寬不超過(guò) 的帶形區(qū)域。于是指數(shù)函數(shù)（7.17）將帶形區(qū)域 共

37、形映射成角形區(qū)域 .,特別地， 將帶形區(qū)域 共形映射成w平面上除去原點(diǎn)及正實(shí)軸的區(qū)域。,作為 的逆變換,將w平面上的角形區(qū)域 共形映射成z平面上的帶形區(qū)域 .,54,2024/3/26,,,,,,,,ai,O,x,y,(z),,,,,a

38、rg w=a,u,O,v,(w),,,,,2pi,O,x,y,(z),,,,O,u,v,(w),w=ez,z=lnw,,,55,2024/3/26,由指數(shù)函數(shù)w = e z 所構(gòu)成的映射的特點(diǎn)是: 把水平的帶形域0<Im(z)<a(a?p)映射成角形域0<arg w<a.,例4 求把帶形域0<Im(z)<p映射成單位圓|w|<1的 一個(gè)映射.,,56,2024/3/26,例5 求映射把如圖

39、所示的半帶狀域映成上半單位圓。,,,,57,2024/3/26,,,,例6 求把帶形域a0的一個(gè) 映射.,58,2024/3/26,,例7 求把具有割痕Re(z)=a, 0?Im(z)?h的上半平面映射成上半平面的一個(gè)映射.,59,2024/3/26,,,,,O,u,v,(w),,,,a-h,a,a+h,B,C,D,,,,,O,(z1),,,,C,B,D,ih,,,,,-h2,C,,,,O,B,D,(z2),,,,,,C,,,,O,Bh

40、2,D,(z3),,,,O,(z4),,,,C,B,D,-h,+h,,z1=z-a,,z2=z12,,z3=z2+h2,,,w=z4+a,60,2024/3/26,[解] 不難看出, 解決本題的關(guān)鍵顯然是要設(shè)法將垂直于x軸的割痕的兩側(cè)和x軸之間的夾角展平. 由于映射w=z2能將頂點(diǎn)在原點(diǎn)處的角度增大到兩倍, 所以利用這個(gè)映射可以達(dá)到將割痕展平的目的.首先, 把上半z平面向左平移一個(gè)距離a:z1=z-a. 第二, 由映射z2=z12,

41、 得到具有割痕-h2?Re(z2)<+?, Im(z2)=0的z2平面. 第三, 把z2平面向右作一距離為h2的平移: z3=z2+h2, 便得到去掉了正實(shí)軸的z3平面.,61,2024/3/26,由于分式線性變換的保圓性，它把已給兩角形區(qū)域共形映射成同樣形狀的區(qū)域、或弓形區(qū)域、或角形區(qū)域。只要已給圓周（或直線）上有一個(gè)點(diǎn)變?yōu)閣=∞，則此圓周（或直線）就變成直線。如果它上面沒(méi)有點(diǎn)變成w=∞

42、，則它就變?yōu)橛邢薨霃降膱A周。所以，若二圓弧的一個(gè)公共點(diǎn)變?yōu)閣=∞，則此二圓弧所圍成的兩角形區(qū)域就共形映射成角形區(qū)域。,借助于分式線性函數(shù)，以及冪函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的復(fù)合，可以將二圓弧或直線段所構(gòu)成的兩角形區(qū)域，共形映射成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)區(qū)域，比如上半平面。,7.3.3 由圓弧構(gòu)成的兩角形區(qū)域的共形映射,62,2024/3/26,O,[解] 所設(shè)的兩個(gè)圓弧的交點(diǎn)為-i與i, 且相互正交. 交點(diǎn)-i映射成無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn), i映射成原點(diǎn). 因此所給的區(qū)域經(jīng)映射

43、后映射成以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形區(qū)域, 張角等于 .,63,2024/3/26,此點(diǎn)在第三象限的分角線C1'上. 由保角性知C2映射為第二象限的分角線C2.,,,,,,,,,x,1,-i,i,-1,C1,C2,y,(z),O,,,,,,C2',C1',O,u,v,(w),映射的角形區(qū)如圖所示,64,2024/3/26,第四節(jié) 關(guān)于共形映射的黎曼存在定理和邊界對(duì)應(yīng)定理,7.4.1 黎曼存在定理7.4.2

44、 邊界對(duì)應(yīng)定理,65,2024/3/26,7.4.1 黎曼存在定理,注(1)唯一性條件(7.19)的幾何意義是:指定a∈D變成單位圓的圓心,而在點(diǎn)a的旋轉(zhuǎn)角 .它依賴(lài)于三個(gè)實(shí)參數(shù).,定理7.13 (黎曼存在與唯一性定理) 擴(kuò)充z平面上的單連通區(qū)域D,其邊界點(diǎn)不止一點(diǎn),則有一個(gè)在D內(nèi)的單葉解析函數(shù)w=f(z),它將D保形變換成單位圓|w|<1;且當(dāng)滿足條件時(shí),這種函數(shù)f(z)就只有一個(gè).,(2)在將單連通

45、區(qū)域D變成單連通區(qū)域G的一般情形,唯一條件可表成 ,其中,而 為實(shí)參數(shù).,在D,G的邊界均是周線的情形,惟一性條件也可表成 其中 . 為D的邊界點(diǎn)， 為G的邊界點(diǎn).,66,2024/3/26,定理7.14(邊界對(duì)應(yīng)定理) 設(shè) (1)單連通區(qū)域D與G的邊界分別為C和T; (2)w=f(z)將D保形變換成G;

46、則f(z)可以擴(kuò)張成F(z),使在D內(nèi)F(z)=f(z),在 上F(z)連續(xù),并將C雙方單值且雙方連續(xù)地變成T.,7.4.1 邊界對(duì)應(yīng)定理,67,2024/3/26,定理7.15(邊界對(duì)應(yīng)定理的逆定理,判斷解析函數(shù)單葉性的充分條件)設(shè)單連通區(qū)域D及G,分別是兩條圍線C及T的內(nèi)部.且函數(shù)w=f(z)滿足下列條件: (1)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,在D+C上連續(xù), (2)w=f

47、(z)將C雙方單值地變成T.則 (1)w=f(z)在D內(nèi)單葉; (2)G=f(D)(從而w=f(z)將D保形變換成G).,證 證明的關(guān)鍵,在應(yīng)用輔角原理來(lái)證明集合等式G=f(D).,68,2024/3/26,(1) 設(shè)w0為G內(nèi)任一點(diǎn).我們證明w0∈f(D),而且方程f(z)-w0=0在C內(nèi)部只有一個(gè)根.根據(jù)輔角原理(在z沿C的正方向繞行一周的假定下).有假設(shè)條件(2),這時(shí)w=f(z)應(yīng)沿T的正向或負(fù)向繞行一周.因此

48、,起點(diǎn)在w0終點(diǎn)在T上的向量w-w0應(yīng)該轉(zhuǎn)角 .于是,負(fù)號(hào)顯示應(yīng)該除去(因?yàn)镹≥0).因此我們肯定w=f(z)必須沿T的正向(T的內(nèi)部在此方向的左邊)繞行,并且方程 在區(qū)域D內(nèi)只有一個(gè)根.,69,2024/3/26,(2)設(shè) 位于 的外部,則必 .因?yàn)?產(chǎn)生矛盾.,即方程 在D內(nèi)無(wú)根.,(3)設(shè) 為 上