[學(xué)習(xí)]復(fù)變函數(shù)論第三版鐘玉泉ppt5解析函數(shù)的洛朗展式與孤立奇點(diǎn)shu

1、1,2024/3/26,第一節(jié) 解析函數(shù)的洛朗展式,1. 雙邊冪級(jí)數(shù),2. 解析函數(shù)的洛朗展式,3. 洛朗級(jí)數(shù)與泰勒級(jí)數(shù)的關(guān)系,4. 解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的洛朗展式,5. 典型例題,第五章 解析函數(shù)的洛朗展式與孤立奇點(diǎn),2,2024/3/26,1. 雙邊冪級(jí)數(shù),定義 稱級(jí)數(shù),（1）,為雙邊冪級(jí)數(shù)（1）的系數(shù)。雙邊冪級(jí)數(shù),為雙邊冪級(jí)數(shù)，其中復(fù)常數(shù),負(fù)冪項(xiàng)部分,非負(fù)冪項(xiàng)部分,主要部分,解析部分,注: 主要部分與解析部分同時(shí)收斂稱冪級(jí)

2、數(shù)收斂,,,3,2024/3/26,,若,收斂域?yàn)?的收斂半徑為R,,收斂域?yàn)?時(shí)收斂,,兩收斂域無(wú)公共部分,,兩收斂域有公共部分H:,這時(shí),級(jí)數(shù)(1)在圓環(huán)H:r<|z-a|<R 收斂于和函數(shù)f(z)=f1(z)+ f2(z),4,2024/3/26,定理5.1 設(shè)雙邊冪級(jí)數(shù)(1)的收斂圓環(huán)為 H: r<|z-a|<R (r≥0, R≤+∞)則(1) 級(jí)數(shù)在H內(nèi)絕對(duì)收斂且內(nèi)

3、閉一致收斂于: f(z)=f1(z)+f2(z).,(2) f(z) 在H內(nèi)解析.,在H內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)p次(p=1,2,…).,(4) 函數(shù)f(z)可沿H內(nèi)曲線C逐項(xiàng)積分.,5,2024/3/26,定理5.2 (洛朗定理) 在圓環(huán)H:r<|z-a|<R,(r≥0,R≤+∞)內(nèi)解析的函數(shù)f(z)必可展成雙邊冪級(jí)數(shù),其中,(2),2. 解析函數(shù)的洛朗(Laurent)展式,(3),6,2024

4、/3/26,(2),2. 解析函數(shù)的洛朗(Laurent)展式,定義5.1 (2)式稱為f(z)在點(diǎn)a處的羅朗展式，(3)稱為其羅朗系數(shù)，而(2)右邊的級(jí)數(shù)則稱為羅朗級(jí)數(shù)。,(3),注: 泰勒級(jí)數(shù)是羅朗級(jí)數(shù)的特殊情形。,3. 洛朗級(jí)數(shù)與泰勒級(jí)數(shù)的關(guān)系,7,2024/3/26,例1 求函數(shù) 分別在圓環(huán) 及 的洛朗級(jí)數(shù)。,(1)在圓環(huán)　　　 內(nèi) 于是有

5、洛朗級(jí)數(shù),解,8,2024/3/26,(2)在圓環(huán) 　 　　　上, ,于是有洛朗級(jí)數(shù),解,例1 求函數(shù) 分別在圓環(huán) 及 的洛朗級(jí)數(shù)。,9,2024/3/26,例2 求函數(shù) 在 內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)。,例3 求函數(shù) 在

6、內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)。,例4 求函數(shù) 在 內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)。,10,2024/3/26,4. 解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的洛朗展式,定義5.2 如果f(z)在點(diǎn)a的某一去心鄰域K-{a}： 0<|z-a|<R 內(nèi)解析，點(diǎn)a是f(z)的奇點(diǎn)，則稱為f(z)的孤立奇點(diǎn).,如果a為f(z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，則f(z)在點(diǎn)a的某一去心鄰域K-{a}：0<|z-

7、a|<R內(nèi)能展成洛朗級(jí)數(shù)。,11,2024/3/26,4. 解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的洛朗展式,將函數(shù)展成洛朗級(jí)數(shù)的常用方法。,1. 直接展開(kāi)法:,利用定理公式計(jì)算系數(shù),然后寫(xiě)出,2. 間接展開(kāi)法,根據(jù)正、負(fù)冪項(xiàng)組成的的級(jí)數(shù)的唯一性, 可,用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開(kāi) .,12,2024/3/26,例1,展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù).,5. 典型例題,例2 求函數(shù) 在

8、 內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)。,例3 試問(wèn)函數(shù) 能否在 內(nèi)展成,洛朗級(jí)數(shù)？,13,2024/3/26,第二節(jié) 解析函數(shù)的有限孤立奇點(diǎn),2. 孤立奇點(diǎn)的性質(zhì),3. Picard定理,4 . Schwarz引理,1. 孤立奇點(diǎn)的分類,14,2024/3/26,1. 孤立奇點(diǎn)的分類,如a為f(z)的孤立奇點(diǎn),則f(z)在a的某去心鄰域K-{a}內(nèi)可以展成羅

9、朗級(jí)數(shù),則稱,為f(z)在點(diǎn)a的正則部分,而稱,為f(z)在點(diǎn)a的主要部分。,15,2024/3/26,1. 孤立奇點(diǎn)的分類,定義5.3 設(shè)a為f(z)的孤立奇點(diǎn). (1)如果f(z)在點(diǎn)a的主要部分為零,則稱a為f(z)的可去奇點(diǎn);(2)如果f(z)在點(diǎn)a的主要部分為有限多項(xiàng),設(shè)為,則稱a為f(z)的m階極點(diǎn)，一階極點(diǎn)也稱為簡(jiǎn)單極點(diǎn)； (3)如果f(z)在點(diǎn)a的主要部分有無(wú)限多項(xiàng),則稱a為f(z)的本性奇點(diǎn).,16,2024

10、/3/26,定理5.3 若a為f(z)的孤立奇點(diǎn)，則下列三條是等價(jià)的。因此，它們中的任何一條都是可去奇點(diǎn)的特征。,(2),(1) f(z)在點(diǎn)a的主要部分為零;,(3) f(z)在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)有界。,2.可去奇點(diǎn)的性質(zhì),17,2024/3/26,證 (1) ?(2). 由(1)有,因此,18,2024/3/26,證,(2) ?(3). 因,(3) ?(1). 因主要部分的系數(shù),其中 　　　　,　　

11、 可任意小，故,19,2024/3/26,Schwarz引理 如果函數(shù)f(z)在單位圓|z|<1內(nèi)解析,并且滿足條件 f(0)=0,|f(z)|<1(|z|<1)，則在單位圓|z|<1內(nèi)恒有|f(z)|≤|z|,且有 .,3. 施瓦茨(Schwarz)引理,如果上式等號(hào)成立,或在圓|z|<1內(nèi)一點(diǎn)z0≠0處前一式等號(hào)成立,則(當(dāng)且僅當(dāng))其中α為一實(shí)常數(shù).,20,20

12、24/3/26,4. 極點(diǎn)的性質(zhì),定理5.4 如果f(z)以a為孤立奇點(diǎn)，則下列三條是等價(jià)的。因此，它們中的任何一條都是m階極點(diǎn)的特征。,(1) f(z)在a點(diǎn)的主要部分為,(2)f(z)在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)能表示成,其中λ(z) 在點(diǎn)a的鄰域內(nèi)解析,且λ(a)≠0,以點(diǎn)a為m階零點(diǎn)。,注意 第(3)條表明：f(z)以點(diǎn)a為m階極點(diǎn)的充要條件是,,以點(diǎn)a為m階零點(diǎn)。,定理5.5 f(z)的孤立奇點(diǎn)a為極點(diǎn)?,21,2024/3/2

13、6,定理5.6 f(z)的孤立奇點(diǎn)a為本性奇點(diǎn)?,5. 本性奇點(diǎn)的性質(zhì),定理5.7 若z=a為f(z)的本性奇點(diǎn),且在點(diǎn)a的充分小去心鄰域內(nèi)不為零,則z=a亦必為,的本性奇點(diǎn).,22,2024/3/26,奇點(diǎn),,,孤立奇點(diǎn),非孤立奇點(diǎn),支點(diǎn),可去奇點(diǎn),極點(diǎn),本性奇點(diǎn),,（單值函數(shù)的）,（多值函數(shù)的）,23,2024/3/26,定理5.8 如果a為f(z)的本性奇點(diǎn),則對(duì)于任何常數(shù)A,不管它是有限數(shù)還是無(wú)窮,都有一個(gè)收斂與a的點(diǎn)列{z

14、n},使得,6. Picard(皮卡)定理,定理5.9(皮卡(大)定理)如果a為f(z)的本性奇點(diǎn),則對(duì)于每一個(gè)A≠∞,除掉可能一個(gè)值A(chǔ)=A0外,必有趨于a的無(wú)限點(diǎn)列{zn}使f(zn)=A (n=1,2,…).,24,2024/3/26,第三節(jié) 解析函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì),定義5.4 設(shè)函數(shù)f(z)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)(去心)鄰域 N-{∞}：+∞>|z|>r≥0內(nèi)解析,則稱點(diǎn)∞為f(z)的一

15、個(gè)孤立奇點(diǎn).,設(shè)點(diǎn)∞為f(z)的孤立奇點(diǎn),利用變換 ,于是,在去心鄰域:,(5.12),內(nèi)解析，則,25,2024/3/26,(1)對(duì)于擴(kuò)充z平面上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域N-{∞},有擴(kuò)充z/平面上的原點(diǎn)的去心鄰域;,(2)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)z與z/上,函數(shù),(3),或兩個(gè)極限都不存在.,注：,26,2024/3/26,定義5.5 若z/=0為,的可去奇點(diǎn)(解析點(diǎn))、,m級(jí)極點(diǎn)或本性奇點(diǎn),則相應(yīng)地稱z=∞為f(z)的可去奇點(diǎn)(解析

16、點(diǎn))、m級(jí)極點(diǎn)或本性奇點(diǎn).,設(shè)在去心鄰域 內(nèi)將,展成羅朗級(jí)數(shù):,27,2024/3/26,定理5.3/ (對(duì)應(yīng)于定理5.3)f(z)的孤立奇點(diǎn)z=∞為可去奇點(diǎn)的充要條件是下列三條中的任何一條成立: (1)f(z)在 的主要部分為零; (2) (3)f(z)在 的某去心鄰域N-{∞}內(nèi)有界.,28,202

17、4/3/26,定理5.4/(對(duì)應(yīng)于定理5.4)f(z)的孤立奇點(diǎn)z =∞為m級(jí)極點(diǎn)的充要條件是下列三條中的任何一條成立:,(1) f(z)在 z=∞的主要部分為,(2) f(z)在z =∞的某去心鄰域N-{∞}內(nèi)能表成,(3) g(z)=1/ f(z)以z =∞為m級(jí)零點(diǎn)(只要令g(∞)=0).,其中 在z =∞的鄰域N內(nèi)解析,且,29,2024/3/26,定理5.5’(對(duì)應(yīng)于定理5.5) f(z)的孤立奇點(diǎn)∞為極點(diǎn)的充要條

18、件是,定理5.6’(對(duì)應(yīng)于定理5.6) f(z)的孤立奇點(diǎn)∞為本性奇點(diǎn)的充要條件是下列任何一條成立:(1)f(z)在z=∞的主要部分有無(wú)窮多項(xiàng)正冪不等于零,廣義不存在(即當(dāng)z趨向于∞時(shí),,f(z)不趨向于任何(有限或無(wú)窮)極限).,(2),30,2024/3/26,第四節(jié) 整函數(shù)與亞純函數(shù),1. 整函數(shù),2. 亞純函數(shù),31,2024/3/26,在整個(gè)z平面上解析的函數(shù)f(z)稱為整函數(shù).,(5.14),設(shè)f(z)為一整函數(shù),

19、則f(z)只以z=∞為孤立奇點(diǎn),且可設(shè),1. 整函數(shù),32,2024/3/26,定理5.10 若f(z)為一整函數(shù),則(1)z=∞為f(z)的可去奇點(diǎn)的充要條為:f(z)=c. (2)z=∞為f(z)的m級(jí)極點(diǎn)的充要條件:f(z)是一個(gè)m次多項(xiàng)式,(3)z=∞為f(z)的本性奇點(diǎn)的充要條件為:展式(5.14)有無(wú)窮多個(gè)cn不等于零.(我們稱這樣的f(z)為超越整函數(shù)).,33,2024/3/26,定義5.6 在z平面上