[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計浙大四版第一章第一章第5講

1、第五講,全概率公式 和貝葉斯公式,,全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比較復(fù)雜事件的概率, 它們實質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運用.,綜合運用,加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥,乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)>0,,,,例1 有三個箱子，分別編號為1,2,3，1號箱裝有1個紅球4個白球，2號箱裝有2紅3白球，3號箱裝有3紅球. 某人從三箱中任取一箱，從中任意

2、摸出一球，求取得紅球的概率.,解：記 Ai={球取自i號箱}, i=1,2,3; B ={取得紅球},即 B= A1B+A2B+A3B， 且 A1B、A2B、A3B兩兩互斥,B發(fā)生總是伴隨著A1，A2，A3 之一同時發(fā)生，,P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B),運用加法公式得,1,,,,,2,,,,,3,,,,,,將此例

3、中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計算中常用的全概率公式.,對求和中的每一項運用乘法公式得,P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B),代入數(shù)據(jù)計算得：P(B)=8/15,設(shè)S為隨機試驗的樣本空間，A1,A2,…,An是兩兩互斥的事件，且有P(Ai)>0，i =1,2,…,n,,全概率公式:,稱滿足上述條件的A1,A2,…,An為完備事件組.,則對任一事件B，有,在一些教科書中，常將全概率公式敘述為：,在較復(fù)雜

4、情況下直接計算P(B)不易,但B總是伴隨著某個Ai出現(xiàn)，適當(dāng)?shù)厝?gòu)造這一組Ai往往可以簡化計算.,全概率公式的來由, 不難由上式看出:,“全”部概率P(B)被分解成了許多部分之和.,它的理論和實用意義在于:,某一事件B的發(fā)生有各種可能的原因(i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，則B發(fā)生的概率是,每一原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生，故B發(fā)生的概率是各原因引起B(yǎng)發(fā)生概率的總和，即全概率公式.,P(B)=P(Ai)P(B |Ai),全概率

5、公式.,我們還可以從另一個角度去理解,由此可以形象地把全概率公式看成為“由原因推結(jié)果”，每個原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用”，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用”大小有關(guān). 全概率公式表達了它們之間的關(guān)系 .,諸Ai是原因B是結(jié)果,練習(xí),設(shè)一倉庫中有10 箱同種規(guī)格的產(chǎn)品, 其中 由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的分別有5箱、3箱、2箱,三廠產(chǎn)品的廢品率依次為 0.1, 0.2, 0.3 從這 10箱產(chǎn)品中任取一箱 , 再從這箱中任取一

6、件產(chǎn)品,求取得的正品概率.,,,解： 設(shè) A 為事件“取得的產(chǎn)品為正品”,,分別表示 “任取一件產(chǎn)品是甲、乙、丙生產(chǎn)的”,,由題設(shè)知,,,故,該球取自哪號箱的可能性最大?,實際中還有下面一類問題，是“已知結(jié)果求原因”,這一類問題在實際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生可能性大小.,某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號箱的概率.,,,或者問:,接下來我們介紹為解決這類問題而引出的,貝

7、葉斯公式,貝葉斯 Thomas Bayes，英國數(shù)學(xué)家.1702年出生于倫敦，做過神甫。1742年成為英國皇家學(xué)會會員。1763年4月7日逝世。貝葉斯在數(shù)學(xué)方面主要研究概率論。他首先將歸納推理法用于概率論基礎(chǔ)理論，并創(chuàng)立了貝葉斯統(tǒng)計理論，對于統(tǒng)計決策函數(shù)、統(tǒng)計推斷、統(tǒng)計的估算等做出了貢獻.1763年發(fā)表了這方面的論著，對于現(xiàn)代概率論和數(shù)理統(tǒng)計都有很重要的作用。貝葉斯的另一著作《機會的學(xué)說概論》發(fā)表于1758年。貝葉斯所采用的許多術(shù)語被沿

8、用至今。,有三個箱子，分別編號為1,2,3，1號箱裝有1個紅球4個白球，2號箱裝有2紅球3白球，3號箱裝有3紅球. 某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號箱的概率 .,1,,,,,,1紅4白,某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自1號箱的概率.,記 Ai={球取自i號箱}, i=1,2,3; B ={取得紅球},求P(A1|B),運用全概率公式計算P(B),將這里得到的公式

9、一般化，就得到,貝葉斯公式,該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出. 它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個原因的概率.,貝葉斯公式：,設(shè)A1,A2,…,An是兩兩互斥的事件，且P(Ai)>0，i=1,2,…,n, 另有一事件B，它總是與A1,A2,…,An 之一同時發(fā)生，則,貝葉斯公式在實際中有很多應(yīng)用，它可以幫助人們確定某結(jié)果（事件 B）發(fā)生的最可能原因.,,例 2 某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患

10、者對一種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常人對這種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.04，現(xiàn)抽查了一個人，試驗反應(yīng)是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大?,則 表示“抽查的人不患癌癥”.,已知 P(C)=0.005,P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04,求解如下:,設(shè) C={抽查的人患有癌癥}， A={試驗結(jié)果是陽性}，,求P(C|A).,現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義.,由貝葉斯公式

11、，可得,代入數(shù)據(jù)計算得: P(C｜A)= 0.1066,2. 檢出陽性是否一定患有癌癥?,1. 這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥 有無意義？,如果不做試驗,抽查一人,他是患者的概率 P(C)=0.005,患者陽性反應(yīng)的概率是0.95，若試驗后得陽性反應(yīng)，則根據(jù)試驗得來的信息，此人是患者的概率為 P(C｜A)= 0.1066,說明這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有意義.

12、,從0.005增加到0.1066,將近增加約21倍.,1. 這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥 有無意義？,2. 檢出陽性是否一定患有癌癥?,,試驗結(jié)果為陽性,此人確患癌癥的概率為 P(C｜A)=0.1066,即使你檢出陽性，尚可不必過早下結(jié)論你有癌癥，這種可能性只有10.66% (平均來說，1000個人中大約只有107人確患癌癥)，此時醫(yī)生常要通過再試驗來確認.,例3,解,(1) 由全概率

13、公式得,(2) 由貝葉斯公式得,解,例4,由貝葉斯公式得所求概率為,例 4 甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊, 三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7. 飛 機被一人擊中而擊落的概率為0.2,被兩人擊中而擊落的概率為0.6, 若三人都擊中, 飛機必定被擊落, 求飛機被擊落的概率.,設(shè)B={飛機被擊落} Ai={飛機被i人擊中}, i=1,2,3,由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|

14、A2) + P(A3)P(B |A3),則 B=A1B+A2B+A3B,求解如下:,可求得:,為求P(Ai ) , 設(shè) Hi={飛機被第i人擊中}, i=1,2,3,將數(shù)據(jù)代入計算得:P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.,于是 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3),,=

15、0.458,=0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1,即飛機被擊落的概率為0.458.,,練習(xí)： 袋中有10個黑球，5個白球．現(xiàn)擲一枚均勻的骰子，擲出幾點就從袋中取出幾個球．若已知取出的球全是白球，求擲出3點的概率．,則由Bayes公式，得,,返回主目錄,設(shè)B={ 取出的球全是白球 },解：,下面我們再回過頭來看一下貝葉斯公式,,貝葉斯公式,在貝葉斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分別稱為

16、原因的驗前概率和驗后概率.,P(Ai)(i=1,2,…,n)是在沒有進一步信息（不知道事件B是否發(fā)生）的情況下，人們對諸事件發(fā)生可能性大小的認識.,當(dāng)有了新的信息（知道B發(fā)生），人們對諸事件發(fā)生可能性大小P(Ai | B)有了新的估計.,,在不了解案情細節(jié)(事件B)之前，偵破人員根據(jù)過去的前科，對他們作案的可能性有一個估計，設(shè)為,比如原來認為作案可能性較小的某甲，現(xiàn)在變成了重點嫌疑犯.,例如，某地發(fā)生了一個案件，懷疑對象有甲、

17、乙、丙三人.,甲,乙,丙,P(A1),P(A2),P(A3),但在知道案情細節(jié)后, 這個估計就有了變化.,P(A1 | B),知道B發(fā)生后,P(A2 | B),P(A3 | B),,,,這一講我們介紹了,全概率公式,貝葉斯公式,它們是加法公式和乘法公式的綜合運用,同學(xué)們可通過進一步的練習(xí)去掌握它們.,值得一提的是，后來的學(xué)者依據(jù)貝葉斯公式的思想發(fā)展了一整套統(tǒng)計推斷方法，叫作“貝葉斯統(tǒng)計”. 可見貝葉斯公式的影響 .,,,,你了解哥

18、德巴赫猜想嗎?,哥德巴赫是德國一位中學(xué)教師，也是一位著名的數(shù)學(xué)家，生于1690年，1725年當(dāng)選為俄國彼得堡科學(xué)院院士 . 1742年，哥德巴赫在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，每個不小于6的偶數(shù)都是兩個素數(shù)（只能被和它本身整除的數(shù)）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元 1742年6月7日哥德巴赫寫信給當(dāng)時的大數(shù)學(xué)家歐拉，歐拉在6月30日給他的回信中說，他相信這個猜想是正確的，但他不能證明。敘述如此簡單的問題，連歐拉這樣首屈一指的數(shù)學(xué)家都不能證明，這