fir數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法

1、,第7章 FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法,7.1 線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點(diǎn)7.2 FIR數(shù)字濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)法7.3 頻率抽樣法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器7.4 IIR和FIR數(shù)字濾波器的比較,7.1 線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點(diǎn),7.1.1 FIR數(shù)字濾波器具有線性相位的條件,對(duì)于離散線性時(shí)不變系統(tǒng)，系統(tǒng)頻率響應(yīng) 可表示為,其中 稱(chēng)為濾波器的幅度響應(yīng)，

2、 稱(chēng)為相位響應(yīng)。,幅度響應(yīng)反映了濾波器對(duì)信號(hào)通過(guò)該濾波器后各頻率成分衰減的強(qiáng)弱，而相位響應(yīng)則反映了各頻率成分通過(guò)濾波器時(shí)間上延時(shí)的多少。,濾波器具有線性相位是指相位響應(yīng) 與頻率 呈線性關(guān)系，滿(mǎn)足：,或者,其中,都是常數(shù)。,當(dāng),也標(biāo)志濾波器具有線性相位。,對(duì)于FIR濾波器，設(shè)其單位沖激響應(yīng)為h(n)，長(zhǎng)度為N，則,對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為：,下面討論有限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)h(n)為實(shí)序列，并關(guān)

3、于,偶對(duì)稱(chēng)或者奇對(duì)稱(chēng)兩種情況的相位特性。,1. 有限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)h(n)為偶對(duì)稱(chēng),令,則有,因此，系統(tǒng)的頻率響應(yīng),幅度響應(yīng)：,相位響應(yīng)：,2. 有限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)h(n)為奇對(duì)稱(chēng),幅度響應(yīng)：,相位響應(yīng)：,結(jié)論：當(dāng)FIR濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n)為實(shí)序列，具有偶對(duì)稱(chēng)性或者奇對(duì)稱(chēng)，那么該FIR濾波器具有線性相位特性。,7.1.2 線性相位FIR數(shù)字濾波器的幅度特點(diǎn),1. h(n)偶對(duì)稱(chēng)，N為奇數(shù),由于N為奇數(shù),中間項(xiàng)為

4、 ,,其余項(xiàng)偶對(duì)稱(chēng) ,,關(guān)于 偶對(duì)稱(chēng)，可實(shí)現(xiàn)任意形式濾波器。,2. h(n)偶對(duì)稱(chēng)，N為奇數(shù),FIR濾波器的幅度響應(yīng)如右圖所示。幅度響應(yīng)具有以下特點(diǎn)：(1)當(dāng) 時(shí)， 對(duì) 呈奇對(duì)稱(chēng)，對(duì) 呈偶對(duì)稱(chēng)。,因此，具有h(n)偶對(duì)稱(chēng)，N為偶數(shù)的FIR濾波器不能用于高通濾波器或者帶阻濾波器。,3. h(n)奇對(duì)稱(chēng)，N為奇數(shù),幅度響應(yīng)

5、 具有以下特點(diǎn)：(1)當(dāng) 時(shí)， 對(duì) 呈奇對(duì)稱(chēng)。,因此，具有h(n)奇對(duì)稱(chēng)，N為奇數(shù)的FIR濾波器只能實(shí)現(xiàn)帶通濾波器。,4. h(n)奇對(duì)稱(chēng)，N為偶數(shù),幅度響應(yīng) 具有以下特點(diǎn)：(1)當(dāng) 時(shí)， 對(duì) 呈偶對(duì)稱(chēng)。,因此，具有h(n)奇對(duì)稱(chēng)，N為偶數(shù)的FIR濾波器不

6、能實(shí)現(xiàn)低通、帶阻濾波器。,對(duì),呈奇對(duì)稱(chēng),7.1.3 線性相位FIR數(shù)字濾波器零點(diǎn)分布特點(diǎn),線性相位FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：,線性相位FIR數(shù)字濾波器零點(diǎn)分布特點(diǎn)：互為共軛對(duì)稱(chēng),線性相位FIR濾波器零點(diǎn)分布圖,7.2 FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)法,7.2.1 設(shè)計(jì)原理,1.根據(jù)濾波器技術(shù)要求直接設(shè)計(jì)一個(gè)理想數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)。,,2.求具有上述頻率響應(yīng)的濾波器對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng)序列理想頻率響應(yīng)的濾波器具有矩形頻率特性，因而其時(shí)域響應(yīng)為

7、無(wú)限長(zhǎng)的。,3.將求得的沖激響應(yīng)序列截短，并使之具有對(duì)稱(chēng)性。,下面以低通濾波器為例說(shuō)明設(shè)計(jì)過(guò)程,理想低通數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)為,式中 表示群延時(shí)，其單位沖激響應(yīng)為：,從上式可以看出，理想低通濾波器的單位沖激響應(yīng) 是無(wú)限長(zhǎng)非因果序列，且具有偶對(duì)稱(chēng)性，其中心點(diǎn)在 如下圖所示。,理想單位沖激響應(yīng),用一個(gè)有限長(zhǎng)的窗函數(shù)序列（比如說(shuō)矩形窗）來(lái)截取,截取后的實(shí)際單位沖激響應(yīng)h(n)如下圖所示，它是一個(gè)以,為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的

8、對(duì)稱(chēng)圖形。,實(shí)際單位沖激響應(yīng),這時(shí)FIR濾波器的頻率響應(yīng)為：,從上式中可以看出，F(xiàn)IR濾波器的頻率響應(yīng)實(shí)際上是的傅里葉級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)之和，所以窗函數(shù)法也稱(chēng)為傅里葉級(jí)數(shù)法，顯然，N越大， 和 的差別就越小，但所需的計(jì)算量就越大。,7.2.2 窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的截?cái)嘈?yīng),根據(jù)卷積定理可知，時(shí)域相乘則頻域相卷，實(shí)際FIR濾波器的頻率特性應(yīng)為：,式中 是窗函數(shù)w(n)的傅里葉變換,對(duì)于

9、理想低通濾波器：,為了保證截取的h(n)中心對(duì)稱(chēng)，需保證其相移 滿(mǎn)足,實(shí)際濾波器的頻率響應(yīng)為：,說(shuō)明：1.加窗后的濾波器仍然具有線性相位； 2.加窗后濾波器的幅度特性等于理想低通濾波器的 幅度特性 與矩形窗的幅度特性 的卷積， 即,理想濾波器幅度特性,窗函數(shù)幅度特性,卷積結(jié)果,卷積情況,卷積情況,卷積情況,加窗處理的影響:

10、,1.理想頻率特性的邊沿形成過(guò)渡,寬度近似為窗函數(shù)頻率響應(yīng)的主瓣寬度。,2.在截止頻率 的兩邊， 出現(xiàn)最大肩峰。幅度取決于窗函數(shù)幅度特性旁瓣的相對(duì)幅度。波動(dòng)的次數(shù)取決于旁瓣的個(gè)數(shù)。,3.改變截取長(zhǎng)度N，僅能改變過(guò)渡帶的寬度。不能改變 的肩峰相對(duì)值。稱(chēng)為吉布斯現(xiàn)象。,7.2.3 常用窗函數(shù)及其選擇原則,1. 主瓣寬度窄，以獲得較陡的過(guò)渡帶。,窗函數(shù)選擇要求：,2. 最大旁瓣相對(duì)主瓣值盡可能小，改善通帶平穩(wěn)度和增大阻帶

11、衰減。,常用窗函數(shù)：,1.矩形窗,窗函數(shù)：,頻率響應(yīng)：,2.三角窗,窗函數(shù)：,頻率響應(yīng)：,3.漢寧窗（升余弦窗）,窗函數(shù)：,頻率響應(yīng)：,時(shí)，頻率響應(yīng)的幅度函數(shù)近似為,4.海明窗（改進(jìn)升余弦窗）,窗函數(shù)：,頻率響應(yīng)：,時(shí)，頻率響應(yīng)的幅度函數(shù)近似為,為了便于比較和設(shè)計(jì)時(shí)參考，下表歸納常用窗函數(shù)的基本參數(shù)：,7.2.4 窗函數(shù)設(shè)計(jì)步驟,(1)首先由給定濾波器的理想頻率響應(yīng) ，利用傅里葉擬變換，求理想濾波器的單位沖激

12、響應(yīng) 即：,(2)根據(jù)過(guò)渡帶以及阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)的形式，并估計(jì)窗口的大小。(3)計(jì)算濾波器的單位沖激響應(yīng),(4)檢驗(yàn)設(shè)計(jì)出的數(shù)字濾波器是否滿(mǎn)足技術(shù)指標(biāo)。,例7-1 設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位FIR數(shù)字低通濾波器，通帶截至頻率 ，阻帶起始頻率 ，阻帶衰減不小于50dB，抽樣頻率,解: (1)由模擬濾波器指標(biāo)求數(shù)字濾波器

13、指標(biāo)：,通帶截至頻率：,阻帶起始頻率：,(2)確定理想線性相位數(shù)字低通濾波器的頻率響應(yīng),其對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率,利用序列傅里葉變換擬變換，可求得理想低通濾波器的單位沖激響應(yīng)：,(3)由阻帶衰減來(lái)確定窗形狀，由過(guò)渡帶確定N,由于 ，查表可知，選擇海明窗其阻帶最小衰減53dB滿(mǎn)足要求。所要求的過(guò)渡帶寬,由于海明窗過(guò)渡帶寬滿(mǎn)足,所以,(4)由海明窗表達(dá)式確定FIR濾波器的h(n)。,海明窗函數(shù)序列為：,(5)

14、由h(n)求 ，檢驗(yàn)各項(xiàng)指標(biāo)是否滿(mǎn)足要求，如不滿(mǎn)足可改變N，或改變窗函數(shù)形狀來(lái)重新計(jì)算。,7.3 頻率抽樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器,7.3.1 設(shè)計(jì)原理,2.根據(jù)傅立葉變換的特性，N點(diǎn)頻響采樣通過(guò)傅立葉反變換成N點(diǎn)時(shí)域序列，即為FIR濾波器時(shí)域沖激響應(yīng),1.對(duì)理想濾波器頻響進(jìn)行N點(diǎn)采樣,設(shè)序列h(n)長(zhǎng)度為M，H(z)=Z[h(n)]，在單位圓上等間隔抽樣N點(diǎn)，得到,只要抽樣點(diǎn)數(shù)N與序列長(zhǎng)度M滿(mǎn)足

15、 ，則M個(gè)頻域抽樣值H(k)能夠不失真地代表該有限長(zhǎng)序列h(n)，,由此可見(jiàn)，只要知道FIR數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n)的長(zhǎng)度N，頻率響應(yīng)函數(shù)在 上的N點(diǎn)等間隔抽樣就可以確定濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n)或者系統(tǒng)函數(shù)H(z)其濾波器的頻率響應(yīng) 為,因此，頻率抽樣法就是根據(jù)頻域抽樣理論，將待設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng) ，在 到

16、 之間進(jìn)行等間隔抽樣N點(diǎn)，得到 ，即,然后再利用,求得H(k)和h(n)以及,7.3.2 頻率抽樣法的優(yōu)化設(shè)計(jì),在頻率采樣點(diǎn)上，實(shí)際濾波器頻率響應(yīng)與理想濾波器頻率響應(yīng)的數(shù)值嚴(yán)格相等。在頻率采樣點(diǎn)之間，實(shí)際濾波器頻率響應(yīng)由各采用點(diǎn)的加權(quán)插值形成，與理想濾波器頻率響應(yīng)存在誤差。理想濾波器頻率響應(yīng)變化越平緩，插值結(jié)果與實(shí)際頻響曲線越接近。增加采樣點(diǎn)可以減小插值誤差。,優(yōu)化措施：在實(shí)際的設(shè)計(jì)過(guò)程中，通常在理想頻率響應(yīng)不連

17、續(xù)點(diǎn)的邊緣增加一些過(guò)渡的抽樣點(diǎn)，一般增加1~3個(gè)。,7.3.3 線性相位與抽樣的約束,1.頻率抽樣的兩種方法,第一種：起始點(diǎn)在,第二種：起始點(diǎn)在,2. 線性相位的約束,(1)第一類(lèi)線性相位FIR濾波器，h(n)=h(N-1-n)，N為奇數(shù),(2)第二類(lèi)線性相位FIR濾波器，h(n)=h(N-1-n)，N為偶數(shù),幅度值：,相位值：,幅度值：,相位值：,(3)第三類(lèi)線性相位FIR濾波器，h(n)=-h(N-1-n)，N為奇數(shù),幅度值：,相

18、位值：,(4)第四類(lèi)線性相位FIR濾波器，h(n)=-h(N-1-n)，N為偶數(shù),幅度值：,相位值：,7.3.4 頻率抽樣法的設(shè)計(jì)步驟,(1)根據(jù)理想濾波器性能指標(biāo)，計(jì)算在通帶和阻帶中的抽樣點(diǎn)數(shù)，確定濾波器沖激響應(yīng)的對(duì)稱(chēng)性。,(2)根據(jù)單位沖激響應(yīng) 的對(duì)稱(chēng)性，計(jì)算抽樣點(diǎn)的幅度,和相位 。,(3)由 求,(4)檢驗(yàn)是否滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求,若不滿(mǎn)足,修

19、改抽樣點(diǎn)參數(shù),,重復(fù)(1)、(2)、(3)步計(jì)算直至滿(mǎn)足要求。,例7-2 利用頻率抽樣法設(shè)計(jì)線性相位低通濾波器，單位沖激響應(yīng)滿(mǎn)足h(n)=h(N-1-n)，幅度相應(yīng)為,要求截止頻率 ，抽樣點(diǎn)數(shù)N=33。討論過(guò)渡點(diǎn)數(shù)以及過(guò)渡點(diǎn)的取值大小對(duì)濾波器的影響。,解： (1)首先確定截止頻率所處的位置。因?yàn)槌闃狱c(diǎn)數(shù)N=33，抽樣間隔 ，所以， 即

20、截止頻率位于第8個(gè)抽樣與第9個(gè)抽樣點(diǎn)之間，取,(2)確定各抽樣點(diǎn)的幅度和相位大小由于屬于第一類(lèi)線性相位FIR濾波器設(shè)計(jì)，所以得,(3)利用IDFT求FIR濾波器的單位沖激響應(yīng),由抽樣的幅度和相位值求理想濾波器頻率響應(yīng) 的抽樣點(diǎn),然后求所設(shè)濾波器的單位沖激響應(yīng),(4)最后計(jì)算所設(shè)FIR濾波器的頻率響應(yīng) 。,在第2步中可以設(shè)置過(guò)渡點(diǎn)，例如在本題中，可把第9點(diǎn)和第24點(diǎn)作為不為零的過(guò)渡點(diǎn)。,7.4

21、 IIR和FIR濾波器的比較,1.IIR利用模擬濾波器設(shè)計(jì)結(jié)果。簡(jiǎn)單、方便，有簡(jiǎn) 單的解析式，不容易實(shí)現(xiàn)線性相位。 FIR直接設(shè)計(jì)，計(jì)算復(fù)雜。需要計(jì)算機(jī)輔助進(jìn)行設(shè)計(jì)。容易實(shí)現(xiàn)嚴(yán)格的線性相位。2. IIR實(shí)現(xiàn)階數(shù)低，實(shí)現(xiàn)成本低。FIR階數(shù)比IIR高5～10倍，實(shí)現(xiàn)成本高。3.IIR是遞歸結(jié)構(gòu)，運(yùn)算精度要求高。FIR是非遞歸結(jié)構(gòu)，穩(wěn)定性好，運(yùn)算精度要求低。可以采用FFT算法提高運(yùn)算速度。4.IIR主要用于語(yǔ)音處理，語(yǔ)言通信等要求