長(zhǎng)方體與正方體(一)

1、第2525講長(zhǎng)方體和正方體（一）長(zhǎng)方體和正方體（一）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方體和正方體的有關(guān)知識(shí)，如長(zhǎng)方體和正方體的特征、長(zhǎng)方體和正方體的表面積、體積的計(jì)算。在我們學(xué)習(xí)與實(shí)際生活當(dāng)中，有許多問(wèn)題都離不開長(zhǎng)方體與正方體，這些相關(guān)的知識(shí)既有趣，又給人以啟發(fā)。解決這些問(wèn)題，不僅需要有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)及較強(qiáng)的觀察能力、畫圖能力和空間想象能力，還必須掌握一些解決問(wèn)題的技巧。通過(guò)本講的學(xué)習(xí)，希望同學(xué)們能從中得到啟迪，悟出一些道理，從而提高空間想象能力和分析

2、推理能力。例題與方法例題與方法例1、一個(gè)長(zhǎng)方體，前面和上面的面積之和是209平方厘米，這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高是以厘米為單位的質(zhì)數(shù)。這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積和體積各是多少？思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥丁丁：要求出長(zhǎng)方體的表面積和體積，就要求出這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，題中只告訴前面和上面面積之和是209平方厘米這一信息，又該如何求呢？小麥斯：我們可以從長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高這三個(gè)數(shù)量入手。因?yàn)椋呵懊娴拿娣e是“長(zhǎng)高”，上面的面積是“長(zhǎng)寬”，則可得下面的數(shù)量關(guān)系。長(zhǎng)

3、寬＋長(zhǎng)高＝長(zhǎng)（寬＋高）＝209。機(jī)靈猴：我知道，根據(jù)已知條件，長(zhǎng)、寬、高都是質(zhì)數(shù)，而209是兩個(gè)數(shù)的積，其中必有一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)，而另一個(gè)數(shù)是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和。丁?。簩?09分解質(zhì)因數(shù)得，209＝1119。11和19中，哪個(gè)數(shù)能寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和呢？經(jīng)試驗(yàn)，只有19＝2＋17符合條件。這樣。我們可以在確定出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高了，再根據(jù)公式分別求出它的表面積和體積。我是這樣解答的：解：解：209＝1119，19＝2＋17（1117＋112＋217）

4、2＝486（平方厘米）………………………長(zhǎng)方體的表面積11217＝374（立方厘米）…………………………………………………長(zhǎng)方體的體積答：答：這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是486平方厘米，體積是374立方厘米。小麥斯：充分利用問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，并將數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)化，再根據(jù)所提供的信息，確定長(zhǎng)、寬、高的相應(yīng)的數(shù)值，這是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵。例2、一個(gè)長(zhǎng)方體水池，底面是邊長(zhǎng)2米（從里面量）的正方形，水池的高是2.5米。水池中水深0.6米?，F(xiàn)有一根長(zhǎng)方體的鐵

5、柱，長(zhǎng)、寬、高分別為4分米、4分米、12分米，將鐵柱放入水池中，使其一面緊貼池底，水面將升高多少分米？思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥丁丁：將鐵柱放入水中，水面會(huì)升高?？丛鯓忧蟪鏊嫔仙母叨饶?？小麥斯：這道題中，由于沒(méi)有限定鐵柱的放法，只要求使其一面緊貼池底，而鐵柱只有“44”、“412”的兩種面，均可以緊貼池底（2米＝20分米，2020）。機(jī)靈猴：這樣，就要分成兩種放法來(lái)考慮。一是將鐵柱橫放著放入水池，鐵柱完全浸沒(méi)在水中，這時(shí)，上升的水的體積就等于

6、鐵柱的體積，用鐵柱的體積去除以水池的底面積就是上升水的高度。另一種是將鐵柱豎著放入池底，鐵柱有一部分浸沒(méi)在水中，有一部分露出水面，這種情況是容易出錯(cuò)的。丁?。簩?duì)于第二種情況，可以抓住水的體積不變來(lái)分析。先求出水的體積，鐵柱放入小麥斯：重疊部分越多，所得的新幾何體的表面積就越小，你明白了嗎？例4、一個(gè)長(zhǎng)方體容器，底面是邊長(zhǎng)是60厘米的正方形。容器里直立著一個(gè)高1米，底面邊長(zhǎng)15厘米的長(zhǎng)方體鐵塊，這時(shí)容器里的水深0.5米?，F(xiàn)在將鐵塊輕輕地向

7、上提起24厘米，那么露出水面的鐵塊上被浸濕的部分長(zhǎng)多少厘米？思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥丁?。河捎阼F塊向上提起24厘米，提起部分的鐵塊體積是151524＝5400（立方厘米），是不是用“5400立方厘米”除以容器的底面積就是水面下降的高度，即5400（6060）＝1.5（厘米）呢？小麥斯：上面的思路是不對(duì)的！這是同學(xué)們?cè)诮膺@道題時(shí)常犯的一個(gè)錯(cuò)誤。可以這樣來(lái)分析：鐵塊提起后，水不流動(dòng)，那么，鐵塊下方就會(huì)空出一個(gè)5400立方厘米的空間。機(jī)靈猴：我明白了

8、！此時(shí)鐵塊周圍的水就會(huì)補(bǔ)充這個(gè)空間，即鐵塊周圍下降的水的體積就等于5400立方厘米。丁丁：看來(lái)，“5400立方厘米”并不能除以容器的底面積，而是了除以除鐵塊底面以外的面積，即5400（6060－1515）＝1.6（厘米）。雖然1.6與錯(cuò)誤答案1.5只相差0.1，但卻是兩回事。解：解：151524（6060－1515）＝54003375＝1.6（厘米）1.6＋24＝25.6（厘米）答：答：露出水面的鐵塊上被水浸濕的部分長(zhǎng)25.6厘米。小麥

9、斯：將提起鐵塊的過(guò)程進(jìn)行慢鏡頭分析，明白提起24厘米的鐵塊體積，必須等于鐵塊周圍的下降的體積，這正是正確解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵。例5、一個(gè)長(zhǎng)、寬和高分別是21厘米、15厘米和12厘米的長(zhǎng)方體，現(xiàn)從它的上面盡可能大地切下一個(gè)正方體，然后從剩余的部分再盡可能大地切下一個(gè)正方體，最后再?gòu)牡诙问Ｓ嗟牟糠直M可能大地切下一個(gè)正方體，剩下的體積是多少立方厘米？思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥丁丁：一共切了三次，每次切下的都是盡可能大的正方體。但沒(méi)有實(shí)物，又不是平面圖形

10、，采取什么方法比較合適呢？小麥斯：可以將立體圖形化歸成平面圖形來(lái)思考。因?yàn)殚L(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬和高分別為21厘米、15厘米和12厘米，可以推得第一次切下的盡可能大的正方體的棱長(zhǎng)是12厘米，它的體積是121212＝1728（立方厘米）。這時(shí)還剩余立體的底面形狀如下圖1，它的高為12厘米。很明顯，第二次切下盡可能大的正方體的棱長(zhǎng)是9厘米，它的體積是999＝729（立方厘米）。機(jī)靈猴：第二次切完以后，這時(shí)剩余立體圖形底面可分成兩部分：一部分的底面形