微積分(中)

1、55第4章積分計(jì)算積分計(jì)算我們知道，對(duì)于比較簡(jiǎn)單的被積函數(shù)，容易觀察到被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，利用微積分第一基本定理，就可以直接求出定積分。但是我們往往遇到的被積函數(shù)都比較復(fù)雜，很難這樣直接求解。因此本章中，我們要介紹積分計(jì)算的分部積分法和換元法，運(yùn)用這些方法，可以解決比較復(fù)雜的被積函數(shù)的積分計(jì)算問題。此外，我們還介紹反常積分，即定積分的積分上限與下限無窮限或被積函數(shù)在積分區(qū)間上存在瑕點(diǎn)情形的積分計(jì)算問題。4.14.1不定積分不定積分?jǐn)?shù)學(xué)

2、中很多運(yùn)算都有其逆運(yùn)算，例如加法與減法、乘法與除法﹑開方與冪運(yùn)算等。我們已學(xué)習(xí)了如何求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，本節(jié)就是要討論求一個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，這種求一個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算被稱為求這個(gè)函數(shù)的原函數(shù)。原函數(shù)原函數(shù)()()()()FxfxxIFxfxI???若，，則稱函數(shù)是函數(shù)在區(qū)間上的原函數(shù)。函數(shù)是的一個(gè)原函數(shù)，因?yàn)?。我們發(fā)現(xiàn)：3()3xFx?2()fxx?32()3xx?，等等。故并不是的唯一原函333222(2)(2)(4)333xxxxx

3、x???????，，3()3xFx?2()fxx?數(shù)。事實(shí)上，（其表示的是一簇函數(shù)，如下圖所示）都是的3()3xFxCCR????2()Fxx?原函數(shù)，滿足。32()3xCx??圖4.1.1我們可以得出結(jié)論，若為的原函數(shù)，則也是的原函數(shù)。()Fx()fx()FxCCR???()fx由兩個(gè)原函數(shù)得到的差是不是常數(shù)呢？請(qǐng)看如下定理：57(3)25(23)()xxfxx???解：(1)55(347)347xxdxxdxxdxdx???????

4、??623()4()762xxxC????621272xxxC????(2)(5sin8cos)5sin8costtdttdttdt??????5(cos)8sin5cos8sinttCttC????????(3)122255(23)4129[]xxxxxdxdxxx????????9345272342(4129)292474xxxxdxxxxxC???????????????????下面我們通過幾個(gè)例子來說明求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)方法的實(shí)

5、際應(yīng)用。例2已知曲線，其斜率為，并且曲線經(jīng)過點(diǎn)，求的表達(dá)()yfx?2dyxdx?(25)()yfx?式。解：由題可知，函數(shù)為的一個(gè)原函數(shù)，則。又時(shí)，()yfx?2x22yxdxxC????2x?。這樣我們便得出函數(shù)的表達(dá)式為：。y=5?1C?21yx??例3某廣播電臺(tái)希望通過策劃一系列的廣告活動(dòng)來增加其聽眾，管理人員希望聽眾()St的增長(zhǎng)率為，是自策劃實(shí)施后的天數(shù)。電臺(tái)目前的聽眾為27000人，如果電臺(tái)12()60Stt?t希望其聽眾

6、達(dá)到41000人，那么要實(shí)施多久這樣的計(jì)劃？解：12()60Stt??313222()60604032tSttdtCtC???????，可得32(0)40(0)27000SC???又27000C?。32()4027000()4100049.664419SttStt??????，令因此計(jì)劃要實(shí)施50天，觀眾才能達(dá)到41000人。例4若火箭運(yùn)行的速度(單位:米秒)，已知2秒鐘時(shí)距離地面高度為30米，試給23vt?出火箭距離地面高度關(guān)于時(shí)間的