微積分定理歸納

1、第一章第一章函數(shù)與極限函數(shù)與極限1、函數(shù)的有界性在定義域內(nèi)有f(x)≥K1則函數(shù)f(x)在定義域上有下界，K1為下界；如果有f(x)≤K2，則有上界，K2稱為上界。函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有界的充分必要條件是在定義域內(nèi)既有上界又有下界。2、數(shù)列的極限定理(極限的唯一性)數(shù)列xn不能同時(shí)收斂于兩個(gè)不同的極限。定理(收斂數(shù)列的有界性)如果數(shù)列xn收斂，那么數(shù)列xn一定有界。如果數(shù)列xn無(wú)界，那么數(shù)列xn一定發(fā)散；但如果數(shù)列xn有界，卻不能斷定

2、數(shù)列xn一定收斂，例如數(shù)列1，1，1，1，(1)n1…該數(shù)列有界但是發(fā)散，所以數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件而不是充分條件。定理(收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系)如果數(shù)列xn收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂于a.如果數(shù)列xn有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限，那么數(shù)列xn是發(fā)散的，如數(shù)列1，1，1，1，(1)n1…中子數(shù)列x2k1收斂于1，xnk收斂于1，xn卻是發(fā)散的；同時(shí)一個(gè)發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列也有可能是收斂的。3、函數(shù)的極限函數(shù)極限的定義中00

3、(或A0(或f(x)0)，反之也成立。函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限右極限各自存在并且相等，即f(x00)=f(x00)，若不相等則limf(x)不存在。一般的說(shuō)，如果lim(x→∞)f(x)=c，則直線y=c是函數(shù)y=f(x)的圖形水平漸近線。如果lim(x→x0)f(x)=∞，則直線x=x0是函數(shù)y=f(x)圖形的鉛直漸近線。4、極限運(yùn)算法則定理有限個(gè)無(wú)窮小之和也是無(wú)窮?。挥薪绾瘮?shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮??；常數(shù)

4、與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮??；有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.5、極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限lim(x→0)(sinxx)=1；lim(x→∞)(11x)x=1.夾逼準(zhǔn)則如果數(shù)列xn、yn、zn滿足下列條件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，對(duì)于函數(shù)該準(zhǔn)則也成立。單調(diào)有界數(shù)列必有極限。6、函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)

5、x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限存在，且等于它在點(diǎn)x0處的函數(shù)值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。不連續(xù)情形：1、在點(diǎn)x=x0沒(méi)有定義；2、雖在x=x0有定義但lim(x→x0)f(x)不存在；3、雖在x=x0有定義且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)時(shí)則稱函數(shù)在x0處不連續(xù)或間斷。如果x0是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)，但左

6、極限及右極限都存在，則稱x0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(diǎn)(左右極限相等者稱可去間斷點(diǎn)，不相等者稱為跳躍間斷點(diǎn))。非第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)都稱為第二類間斷點(diǎn)(無(wú)窮間斷點(diǎn)和震蕩間斷點(diǎn))。定理有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和、積、商(分母不為0)是個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)。定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加或減少且連續(xù)，那么它的反函數(shù)x=f(y)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間Iy=y|y=f(x)，x∈Ix上單調(diào)增加或減少且連續(xù)。反三角函數(shù)在他們的定義域內(nèi)都是連續(xù)

7、的。定理(最大值最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)，那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值和最小值。定理(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界，即m≤f(x)≤M.定理(零點(diǎn)定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)(即f(a)f(b)函數(shù)在該點(diǎn)處連續(xù)；函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)≠在該點(diǎn)可導(dǎo)。即函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)

8、的必要條件而不是充分條件。3、原函數(shù)可導(dǎo)則反函數(shù)也可導(dǎo)，且反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。4、函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可微=函數(shù)在該點(diǎn)處可導(dǎo)；函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可微的充分必要條件是函數(shù)在該點(diǎn)處可導(dǎo)。第三章第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1、定理(羅爾定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，分∫acf（x）dx與∫cbf（x）dx都收斂，則定義∫abf（x）dx=

9、∫acf（x）dx∫cbf（x）dx，否則（只要其中一個(gè)發(fā)散）就稱廣義積分∫abf（x）dx發(fā)散。第六章第六章定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用求平面圖形的面積(曲線圍成的面積)直角坐標(biāo)系下(含參數(shù)與不含參數(shù))極坐標(biāo)系下(r，θ，x=rcosθ，y=rsinθ)(扇形面積公式S=R2θ2)旋轉(zhuǎn)體體積(由連續(xù)曲線、直線及坐標(biāo)軸所圍成的面積繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)而成)(且體積V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲線的方程)平行截面面積為已知的立體體積

10、(V=∫abA(x)dx，其中A(x)為截面面積)功、水壓力、引力函數(shù)的平均值(平均值y=1(ba)∫abf(x)dx)第七章第七章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用1、多元函數(shù)極限存在的條件極限存在是指P(x，y)以任何方式趨于P0(x0，y0)時(shí)，函數(shù)都無(wú)限接近于A，如果P(x，y)以某一特殊方式，例如沿著一條定直線或定曲線趨于P0(x0，y0)時(shí)，即使函數(shù)無(wú)限接近某一確定值，我們還不能由此斷定函數(shù)極限存在。反過(guò)來(lái)，如果當(dāng)

11、P(x，y)以不同方式趨于P0(x0，y0)時(shí)，函數(shù)趨于不同的值，那么就可以斷定這函數(shù)的極限不存在。例如函數(shù)：f(x，y)=0(xy)(x^2y^2)x^2y^2≠02、多元函數(shù)的連續(xù)性定義設(shè)函數(shù)f(x，y)在開(kāi)區(qū)域(或閉區(qū)域)D內(nèi)有定義，P0(x0，y0)是D的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)且P0∈D，如果lim(x→x0，y→y0)f(x，y)=f(x0，y0)則稱f(x，y)在點(diǎn)P0(x0，y0)連續(xù)。性質(zhì)(最大值和最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多

12、元連續(xù)函數(shù)，在D上一定有最大值和最小值。性質(zhì)(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩個(gè)值之間的任何值至少一次。3、多元函數(shù)的連續(xù)與可導(dǎo)如果一元函數(shù)在某點(diǎn)具有導(dǎo)數(shù)，則它在該點(diǎn)必定連續(xù)，但對(duì)于多元函數(shù)來(lái)說(shuō)，即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在，也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。這是因?yàn)楦髌珜?dǎo)數(shù)存在只能保證點(diǎn)P沿著平行于坐標(biāo)軸的方向趨于P0時(shí)，函數(shù)值f(P)趨于f(P0)，但不能保證點(diǎn)P按任何方式趨于P0

13、時(shí)，函數(shù)值f(P)都趨于f(P0)。4、多元函數(shù)可微的必要條件一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在是微分存在的充分必要條件，但多元函數(shù)各偏導(dǎo)數(shù)存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件，即可微=可偏導(dǎo)。5、多元函數(shù)可微的充分條件定理(充分條件)如果函數(shù)z=f(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)存在且在點(diǎn)(x，y)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分。6.多元函數(shù)極值存在的必要、充分條件定理(必要條件)設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)(x0，y0)處有極

14、值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必為零。定理(充分條件)設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，令fxx(x0，y0)=0=A，fxy(x0，y0)=B，fyy(x0，y0)=C，則f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處是否取得極值的條件如下：(1)ACB20時(shí)具有極值，且當(dāng)A0時(shí)有極小值；(2)ACB20時(shí)沒(méi)有極值；(3)ACB2=0時(shí)可能有也可能沒(méi)有。7、多元

15、函數(shù)極值存在的解法(1)解方程組fx(x，y)=0，fy(x，y)=0求的一切實(shí)數(shù)解，即可求得一切駐點(diǎn)。(2)對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)(x0，y0)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B、C.(3)定出ACB2的符號(hào)，按充分條件進(jìn)行判定f(x0，y0)是否是極大值、極小值。注意：在考慮函數(shù)的極值問(wèn)題時(shí)，除了考慮函數(shù)的駐點(diǎn)外，如果有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，那么對(duì)這些點(diǎn)也應(yīng)當(dāng)考慮在內(nèi)。第八章第八章二重積分二重積分1、二重積分的一些應(yīng)用曲頂柱體的體積曲面的面積(A=∫∫

16、√[1f2x(x，y)f2y(x，y)]dσ)平面薄片的質(zhì)量平面薄片的重心坐標(biāo)(x=1A∫∫xdσ，y=1A∫∫ydσ；其中A=∫∫dσ為閉區(qū)域D的面積。平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(Ix=∫∫y2ρ(x，y)dσ，Iy=∫∫x2ρ(x，y)dσ；其中ρ(x，y)為在點(diǎn)(x，y)處的密度。平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力(FxFyFz)2、二重積分存在的條件當(dāng)f(x，y)在閉區(qū)域D上連續(xù)時(shí)，極限存在，故函數(shù)f(x，y)在D上的二重積分必定存在。3、二重積分的