微積分入門

1、序中國戰(zhàn)國時代（公元前7世紀(jì)），我國的莊周所著的《莊子》一書的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，即老莊哲學(xué)中所有的無限可分性和極限思想；公元前4世紀(jì)《墨經(jīng)》中有了有窮、無窮、無限?。ㄗ钚o內(nèi)）、無窮大（最大無外）的定義和極限、瞬時等概念。這是樸素的、也是很典型的極限概念。而極限理論便是微分學(xué)的基礎(chǔ)。古希臘時期（公元前3世紀(jì)），阿基米德用內(nèi)接正多邊形的周長來窮盡圓周長，而求得圓周率愈來愈好的近似值，也用一連串的三角形來填

2、充拋物線的圖形，以求得其面積。這是窮盡法的古典例子之一，可以說是積分思想的起源。17世紀(jì)，許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn)。17世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國大科學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這

3、只是十分初步的工作。19世紀(jì)初，法國科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首，對微積分的理論進(jìn)行了認(rèn)真研究，建立了極限理論，后來又經(jīng)過德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進(jìn)一步的嚴(yán)格化，使極限理論成為了微積分的堅定基礎(chǔ)。才使微積分進(jìn)一步的發(fā)展開來。1874年，德國數(shù)學(xué)家外爾斯特拉斯構(gòu)造了一個沒有導(dǎo)數(shù)的連續(xù)函數(shù)，即構(gòu)造了一條沒有切線的連續(xù)曲線，這與直觀概念是矛盾的。它使人們認(rèn)識到極限概念、連續(xù)性、可微性和收斂性對實數(shù)系的依賴比人們想象的要深奧得多。外爾斯特拉斯最終完

4、成了對實數(shù)系更深刻的性質(zhì)的理解，使得數(shù)學(xué)分析完全由實數(shù)系導(dǎo)出，脫離了知覺理解和幾何直觀。人類對自然的認(rèn)識永遠(yuǎn)不會止步，微積分這門學(xué)科在現(xiàn)代也一直在發(fā)展著，人類認(rèn)識微積分的水平在不斷深化?！⒎e分學(xué)(Calculus拉丁語意為用來計數(shù)的小石頭)是研究極限、微分學(xué)、積分學(xué)和無窮級數(shù)的一個數(shù)學(xué)分支，并成為了現(xiàn)代大學(xué)教育的重要組成部分。歷史上，微積分曾經(jīng)指無窮小的計算。更本質(zhì)的講，微積分學(xué)是一門研究變化的科學(xué)，正如幾何學(xué)是研究空間的科學(xué)一樣。微

5、積分的主要內(nèi)容及其他微積分的主要內(nèi)容及其他研究函數(shù)，從量的方面研究事物運動變化是微積分的基本方法。這種方法叫做數(shù)學(xué)分析。本來從廣義上說，數(shù)學(xué)分析包括微積分、函數(shù)論等許多分支學(xué)科，但是現(xiàn)在一般已習(xí)慣于把數(shù)學(xué)分析和微積分等同起來，數(shù)學(xué)分析成了微積分的同義詞，一提數(shù)學(xué)分析就知道是指微積分。微積分的基本概念和內(nèi)容包括微分學(xué)和積分學(xué)。微分學(xué)的主要內(nèi)容包括：極限理論、導(dǎo)數(shù)、微分極限理論、導(dǎo)數(shù)、微分等。積分學(xué)的主要內(nèi)容包括：定積分、不定積分定積分、不

6、定積分等。微積分是與科學(xué)應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來的。最初，牛頓應(yīng)用微積分學(xué)及微分方程對第谷浩瀚的天文觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析運算，得到了萬有引力定律，并進(jìn)一步導(dǎo)出了開普勒行星運動三定律。此后，微積分學(xué)成了推動近代數(shù)學(xué)發(fā)展強大的引擎，同時也極大的推動了天文學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個分支中的發(fā)展。并在這些學(xué)科中有越來越廣泛的應(yīng)用，特別是計算機的出現(xiàn)更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展。微積分主要有三大類分支：極限、

7、微分學(xué)、積分學(xué)。微積分的基本理論表明了微分和積分是互逆運算。牛頓和萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了這個定理以后才引起了其他學(xué)者對于微積分學(xué)的狂熱的研究。這個發(fā)現(xiàn)使我們在微分和積分之間互相轉(zhuǎn)換。這個基本理論也提供了一個用代數(shù)計算許多積分問題的方法，該方法并不真正進(jìn)行極限運算而是通過發(fā)現(xiàn)不定積分。該理論也可以解決一些微分方程的問題，解決未知數(shù)的積分。微分問題在科學(xué)領(lǐng)域無處不在。微積分的基本概念還包括函數(shù)、無窮序列、無窮級數(shù)和連續(xù)等，運算方法主要有符號運算技巧