《機器人運動學》ppt課件

1、運動學研究的問題： 手在空間的運動與各個關節(jié)的運動之間的關系。正問題： 已知關節(jié)運動，求手的運動。逆問題： 已知手的運動，求關節(jié)運動。,數(shù)學模型： 手的運動→位姿變化→位姿矩陣M 關節(jié)運動→參數(shù)變化→關節(jié)變量qi，i=1，…，n運動學方程： M=f(qi)， i=1，…，n正問題：已知qi，求M。逆問題：已知M，求qi。,2.1 機器人的位姿描述

2、2.2 齊次變換及運算2.3 機器人運動學方程2.4 機器人微分運動 習題,2.1.1 機器人位姿的表示2.1.2 機器人的坐標系,2.1 機器人的位姿描述,2.1.1 機器人位姿的表示　　機器人的位姿主要是指機器人手部在空間的位置和姿態(tài)，有時也會用到其它各個活動桿件在空間的位置和姿態(tài)。,2.1 機器人的位姿描述,2.1.1 機器人位姿的表示　　位置可以用一個3×1的位置矩陣來描述。,2.1 機器人的位姿描

3、述,2.1.1 機器人位姿的表示　　姿態(tài)可以用坐標系三個坐標軸兩兩夾角的余弦值組成3×3的姿態(tài)矩陣來描述。,2.1 機器人的位姿描述,2.1.1 機器人位姿的表示 例：右圖所示兩坐標系的姿態(tài)為：,2.1 機器人的位姿描述,2.1.2 機器人的坐標系手部坐標系——參考機器人手部的坐標系，也稱機器人位姿坐標系，它表示機器人手部在指定坐標系中的位置和姿態(tài)。機座坐標系——參考機器人機座的坐標系，它是機器人各活

4、動桿件及手部的公共參考坐標系。桿件坐標系——參考機器人指定桿件的坐標系，它是在機器人每個活動桿件上固定的坐標系，隨桿件的運動而運動。絕對坐標系——參考工作現(xiàn)場地面的坐標系，它是機器人所有構件的公共參考坐標系。,2.1 機器人的位姿描述,2.1.2 機器人的坐標系手部坐標系{h}機座坐標系{0} 桿件坐標系{i} i=1，…，n絕對坐標系{B},2.1 機器人的位姿描述,2.2.1 直角坐標變換2.2.2 齊次

5、坐標變換,2.2 齊次變換及運算,2.2.1 直角坐標變換,坐標之間的變換關系：平移變換旋轉變換,2.2 齊次變換及運算,1、平移變換 設坐標系{i}和坐標系{j}具有相同的姿態(tài)，但它倆的坐標原點不重合，若用 矢量表示坐標系{i}和坐標系{j}原點之間的矢量，則坐標系{j}就可以看成是由坐標系{i}沿矢量 平移變換而來的，所以稱矢量 為平移變換矩陣，它是一個3×1的矩陣，即：,2.2 齊次變換及運算,2.2.

6、1 直角坐標變換,1、平移變換 若空間有一點在坐標系{i}和坐標系{j}中分別用矢量 和 表示，則它們之間有以下關系：稱上式為坐標平移方程。,2.2 齊次變換及運算,2.2.1 直角坐標變換,2、旋轉變換 設坐標系{i}和坐標系{j}的原點重合，但它倆的姿態(tài)不同。則坐標系{j}就可以看成是由坐標系{i}旋轉變換而來的，旋轉變換矩陣比較復雜，最簡單的是繞一根坐標軸的旋轉變換。下面以此來對旋轉變

7、換矩陣作以說明。,2.2 齊次變換及運算,2.2.1 直角坐標變換,2、旋轉變換繞z軸旋轉θ角 坐標系{i}和坐標系{j}的原點重合，坐標系{j}的坐標軸方向相對于坐標系{i}繞軸旋轉了一個θ角。 θ角的正負一般按右手法則確定，即由z軸的矢端看，逆時鐘為正。,2.2 齊次變換及運算,2.2.1 直角坐標變換,2、旋轉變換繞z軸旋轉θ角——變換矩陣推導 若空間有一點p，則其在坐標系{i}和

8、坐標系{j}中的坐標分量之間就有以下關系：,2.2 齊次變換及運算,2.2.1 直角坐標變換,2、旋轉變換繞z軸旋轉θ角 若補齊所缺的有些項，再作適當變形，則有：,2.2 齊次變換及運算,2.2.1 直角坐標變換,2、旋轉變換繞z軸旋轉θ角 將上式寫成矩陣的形式，則有：,2.2 齊次變換及運算,2.2.1 直角坐標變換,2、旋轉變換①繞z軸旋轉θ角 再將其寫成矢量形式，則有： 稱上式

9、為坐標旋轉方程，式中： ——p點在坐標系{i}中的坐標列陣（矢量）； ——p點在坐標系{j}中的坐標列陣（矢量）； ——坐標系{j}變換到坐標系{i}的旋轉變換矩陣，也稱為方向余弦矩陣。,2.2 齊次變換及運算,2.2.1 直角坐標變換,2、旋轉變換①繞z軸旋轉θ角 ——旋轉變換矩陣，也稱為方向余弦矩陣，是一個3×3的矩陣，其中的每個元素就是坐標系{i}和坐標系{j}相應坐

10、標軸夾角的余弦值，它表明坐標系{j}相對于坐標系{i}的姿態(tài)（方向）。,2.2 齊次變換及運算,2.2.1 直角坐標變換,2、旋轉變換①繞z軸旋轉θ角 旋轉變換矩陣：,2.2 齊次變換及運算,2.2.1 直角坐標變換,2、旋轉變換②繞x軸旋轉α角的 旋轉變換矩陣為：,2.2 齊次變換及運算,2.2.1 直角坐標變換,2、旋轉變換③繞y軸旋轉β角的 旋轉變換矩陣為：,2.2 齊次變換及運算,2.2.1 直角坐標變換

11、,2、旋轉變換旋轉變換矩陣的逆矩陣 旋轉變換矩陣的逆矩陣既可以用線性代數(shù)的方法求出，也可以用逆向的坐標變換求出。 以繞z軸旋轉θ角為例，其逆向變換即為繞z軸旋轉-θ角，則其旋轉變換矩陣就為：,2.2 齊次變換及運算,2.2.1 直角坐標變換,,2、旋轉變換旋轉變換矩陣的逆矩陣 比較以下兩式： 結論：,2.2 齊次變換及運算,2.2.1 直角坐標變換,3、聯(lián)合變換 設坐標系{i}和坐

12、標系{j}之間存在先平移變換，后旋轉變換，則空間任一點在坐標系{i}和坐標系{j}中的矢量之間就有以下關系： 稱上式為直角坐標系中的坐標聯(lián)合變換方程。,2.2 齊次變換及運算,2.2.1 直角坐標變換,例：已知坐標系{B}的初始位置與坐標系{A}重合，首 先坐標系{B}沿坐標系{A}的x軸移動12個單位， 并沿坐標系{A}的y

13、軸移動6個單位，再繞坐標系 {A}的z軸旋轉30°，求平移變換矩陣和旋轉變換 矩陣。假設某點在坐標系{B}中的矢量為： ，求該點在坐標系{A}中的矢量？,,2.2 齊次變換及運算,2.2.1 直角坐標變換,解：由題意可得平移變換矩陣和旋轉變換矩陣分別為： 則：,2.2 齊次變換及運算,2.2.1 直角坐標變換,3、聯(lián)合變換 若坐

14、標系{i}和坐標系{j}之間是先旋轉變換，后平移變換，則上述關系是應如何變化？問題： 當坐標系之間存在多次變換時，直角坐標變換就無法用同一規(guī)整的表達式表示了！,2.2 齊次變換及運算,2.2.1 直角坐標變換,2.2.2 齊次坐標變換,1、齊次坐標的定義 空間中任一點在直角坐標系中的三個坐標分量用 表示，若有四個不同時為零的數(shù)與三個直角坐標分量之間存在以下關系：,2.2 齊次變換及運算,則

15、稱 是空間該點的齊次坐標。,1、齊次坐標的定義齊次坐標的幾點說明：Ⅰ.空間中的任一點都可用齊次坐標表示；Ⅱ.空間中的任一點的直角坐標是單值的，但其對應的齊次坐標是多值的；Ⅲ.k是比例坐標，它表示直角坐標值與對應的齊次坐標值之間的比例關系；Ⅳ.若比例坐標k=1，則空間任一點(x, y, z)的齊次坐標為(x, y, z, 1) ，以后用到齊次坐標時，一律默認k=1 。,2.2 齊次變換及運算,2.2.2 齊次

16、坐標變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣）,若坐標系{j}是{i}先沿矢量平移，再繞z軸旋轉θ角得到的，則空間任一點在坐標系{i}和坐標系{j}中的矢量和對應的變換矩陣之間就有 ，寫成矩陣形式則為：,2.2 齊次變換及運算,2.2.2 齊次坐標變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣）再用坐標分量等式表示，則有：,2.2 齊次變換及運算,2.2.2 齊次坐標變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣）引入齊次坐標，補

17、齊所缺各項，再適當變形，則有：,2.2 齊次變換及運算,2.2.2 齊次坐標變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣）再將其寫成矩陣形式則有：,2.2 齊次變換及運算,2.2.2 齊次坐標變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣）由此可得聯(lián)合變換的齊次坐標方程為：,2.2 齊次變換及運算,2.2.2 齊次坐標變換,——齊次坐標變換矩陣， 它是一個4×4的矩陣。,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣）①齊次坐標變換矩陣的意義若將齊次

18、坐標變換矩陣分塊，則有：,2.2 齊次變換及運算,2.2.2 齊次坐標變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣）①齊次坐標變換矩陣的意義意義： 左上角的3×3矩陣是兩個坐標系之間的旋轉變換矩陣，它描述了姿態(tài)關系。 右上角的3×1矩陣是兩個坐標系之間的平移變換矩陣，它描述了位置關系。 所以齊次坐標變換矩陣又稱為位姿矩陣。,2.2 齊次變換及運算,2.2.2 齊次坐標變換,,,2、齊次變換矩

19、陣（D-H矩陣）①齊次坐標變換矩陣的意義齊次變換矩陣的通式為： ——{j}的原點在{i}中的坐標分量； ——{j}的x軸對{i}的三個方向余弦； ——{j}的y軸對{i}的三個方向余弦； ——{j}的z軸對{i}的三個方向余弦。,2.2 齊次變換及運算,2.2.2 齊次坐標變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣）②單獨

20、的平移或旋轉齊次坐標變換矩陣 平移變換的齊次矩陣為：,2.2 齊次變換及運算,2.2.2 齊次坐標變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣）②單獨的平移或旋轉齊次坐標變換矩陣 旋轉變換的齊次矩陣為：,2.2 齊次變換及運算,2.2.2 齊次坐標變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣）②單獨的平移或旋轉齊次坐標變換矩陣 同理可得：,2.2 齊次變換及運算,2.2.2 齊次坐標變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣）③聯(lián)合變換與單步齊次變換矩

21、陣的關系觀察以下三個齊次變換矩陣的關系：,2.2 齊次變換及運算,2.2.2 齊次坐標變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣）③聯(lián)合變換與單步齊次變換矩陣的關系經(jīng)觀察可得：,2.2 齊次變換及運算,2.2.2 齊次坐標變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） ③聯(lián)合變換與單步齊次變換矩陣的關系 任何一個齊次坐標變換矩陣均可分解為一個平移變換矩陣與一個旋轉變換矩陣的乘積，即：,2.2 齊次變換及運算,2.2.2 齊次坐標變

22、換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） ③聯(lián)合變換與單步齊次矩陣的關系 當空間有n個坐標系時，若已知相鄰坐標系之間的齊次變換矩陣，則： 由此可知，建立機器人的坐標系，將機器人手部在空間的位姿用齊次坐標變換矩陣描述出來，從而建立機器人的運動學方程。,2.2 齊次變換及運算,2.2.2 齊次坐標變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） ④相對變換 坐標系之間多步齊次變換

23、矩陣等于每次單獨變換的齊次變換矩陣的乘積，而相對變換則決定這些矩陣相乘的順序，其分為左乘和右乘： Ⅰ.若坐標系之間的變換是始終相對于原來的參考坐標系，則齊次坐標變換矩陣左乘； Ⅱ.若坐標系之間的變換是相對于當前新的坐標系，則齊次坐標變換矩陣右乘。,2.2 齊次變換及運算,2.2.2 齊次坐標變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣）④相對變換 例：已知坐標系{B}是繞坐標系{A}的zA軸旋轉90°

24、，再繞{A}的xA軸旋轉90°，最后沿矢量： 平移得到的，求坐標系{A}與坐標系{B}之間的齊次坐標變換矩陣。,2.2 齊次變換及運算,2.2.2 齊次坐標變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） ④相對變換解：由題意可知滿足左乘原則，即有：,2.2 齊次變換及運算,2.2.2 齊次坐標變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） ④相對變換解：若滿足右乘原則，則有：,2.2 齊次變換及運算,2.2.

25、2 齊次坐標變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） ⑤逆變換 已知{i}通過先平移，后旋轉變成{j}，則變換矩陣為：,2.2 齊次變換及運算,2.2.2 齊次坐標變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） ⑤逆變換逆變換時：變換順序顛倒 先平移，后旋轉→先旋轉，后平移變換參數(shù)取反 旋轉（θ） →（ -θ） 平移（px，py，pz） →（-px，-py，-pz）,2.2 齊次變換及運算,2.2.2 齊次坐標變換

26、,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） ⑤逆變換 則{j}到{i}的變換矩陣為：,2.2 齊次變換及運算,2.2.2 齊次坐標變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） ⑤逆變換,2.2 齊次變換及運算,2.2.2 齊次坐標變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） ⑤逆變換,2.2 齊次變換及運算,2.2.2 齊次坐標變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） ⑤逆變換 若齊次變換矩陣為： 則：,2.2 齊次變換

27、及運算,2.2.2 齊次坐標變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） ⑤逆變換 若齊次變換矩陣為：,2.2 齊次變換及運算,2.2.2 齊次坐標變換,2.3.1 運動學方程建立步驟 1、建立坐標系 2、確定參數(shù) 3、相鄰桿件的位姿矩陣 4、建立方程2.3.2 運動學方程的解,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,回顧：運動學方程的模型： M=f(qi)， i=1

28、，…，n M——機器人手在空間的位姿 qi——機器人各個關節(jié)變量,2.3 機器人運動學方程,1、建立坐標系 ①機座坐標系{0} ②桿件坐標系{i} i=1，2，…，n ③手部坐標系{h}注意：桿件編號關節(jié)編號,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,1、建立坐標系①機座坐標系{0}建立原則：z軸垂直， x軸水平，方向指向手部所在平面。,2.3 機器人運動學

29、方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,1、建立坐標系②桿件坐標系{i}，i=1，2，…，n 建立原則： z軸與關節(jié)軸線重合， x軸與兩關節(jié)軸線的距離重合，方向指向下一個桿件。桿件坐標系有兩種： 第一種： z軸與i+1關節(jié)軸線重合 第二種： z軸與i關節(jié)軸線重合,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,1、建立坐標系②桿件坐標系{i}第一種坐標系： z軸與i+1關節(jié)軸

30、線重合。,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,1、建立坐標系②桿件坐標系{i}第二種坐標系： z軸與i關節(jié)軸線重合。,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,1、建立坐標系③手部坐標系{h} 在第一種桿件坐標系下，{h}與末端桿件坐標系{n}重合。,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,1、建立坐標系③手部坐標系{h} 在第二種桿件坐標系下，{h

31、}建立在手部中心，方向與末端桿件坐標系{n}保持一致。,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,2、確定參數(shù)①桿件幾何參數(shù)（不變）I、桿件長度li：——兩關節(jié)軸線的距離。II、桿件扭角αi：——兩關節(jié)軸線的夾角。,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,2、確定參數(shù)②關節(jié)運動參數(shù)I、關節(jié)平移量di：——相鄰桿件的長度在關節(jié)軸線上的距離。II、關節(jié)回轉量θi：——相鄰桿件的長度在

32、關節(jié)軸線上的夾角。,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,2、確定參數(shù)②關節(jié)運動參數(shù)關節(jié)變量： di——平移關節(jié)； θi——回轉關節(jié)。,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,3、相鄰桿件位姿矩陣①第一種坐標系 建立坐標系{i-1}、{i}。試分析{i-1}→{i}的變換過程!,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,3、相鄰桿件位姿矩陣①第一

33、種坐標系I、{i-1}→{i}變換過程a、Trans（0，0，di）；b、Rot（z，θi）；c、Trans（li，0，0）；d、Rot（x，αi）。,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,3、相鄰桿件位姿矩陣①第一種坐標系 II、單步齊次變換矩陣,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,a、Trans（0，0，di）,b、Rot（z，θi）,,,3、相鄰桿件位姿矩陣①第

34、一種坐標系 II、單步齊次變換矩陣,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,c、Trans（li，0，0）,,d、Rot（x，αi）,,3、相鄰桿件位姿矩陣①第一種坐標系 III、相鄰桿件的位姿矩陣,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,3、相鄰桿件位姿矩陣①第一種坐標系 III、相鄰桿件的位姿矩陣,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,

35、3、相鄰桿件位姿矩陣①第一種坐標系注意：特例！??！,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,3、相鄰桿件位姿矩陣②第二種坐標系 建立坐標系{i-1}、{i}。 試分析{i-1}→{i}的變換過程！,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,3、相鄰桿件位姿矩陣②第二種坐標系I、{i-1}→{i}變換過程a、Trans（li-1，0，0）；b、Rot（x，αi-1）；

36、c、Trans（0，0，di）；d、Rot（z，θi）。,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,3、相鄰桿件位姿矩陣②第二種坐標系 II、單步齊次變換矩陣,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,a、Trans（li-1，0，0）,b、Rot（x，αi-1）,,,3、相鄰桿件位姿矩陣②第二種坐標系 II、單步齊次變換矩陣,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學

37、方程建立步驟,c、Trans（0，0，di）,,d、Rot（z，θi）,,3、相鄰桿件位姿矩陣②第二種坐標系 III、相鄰桿件的位姿矩陣,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,3、相鄰桿件位姿矩陣②第二種坐標系 III、相鄰桿件的位姿矩陣,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,4、建立方程,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,例：已知三自由度平面關

38、節(jié)機器人如圖所示。 設機器人桿件1、2、3的長度為l1，l2，l3。試建立機器人的運動學方程。,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,解：（1）建立坐標系(第一種) a、機座坐標系｛0｝ b、桿件坐標系｛i｝ c、手部坐標系｛h｝ （與末端桿件坐 標系｛n｝重合）,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,解：（2）確定參數(shù)（第

39、一種）di——相鄰坐標系x軸之間的距離；θi——相鄰坐標系x軸之間的夾角；li——相鄰坐標系z軸之間的距離；αi——相鄰坐標系z軸之間的夾角。注意：根據(jù)方向確定參數(shù)的正負！,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,解：（2）確定參數(shù)（第一種）,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,解：（3）相鄰桿件位姿矩陣（第一種）,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,解：（3）

40、相鄰桿件位姿矩陣（第一種）,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,解：（3）相鄰桿件位姿矩陣（第一種）,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,解：（4）建立方程（第一種）將相鄰桿件位姿矩陣依次相乘，則有：,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,解：（4）建立方程（第一種）若用矩陣形式表示，則為：,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,解：（4）建立方程（

41、第一種）若用方程組形式表示，則為：,,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,解：（1）建立坐標系(第二種) a、機座坐標系｛0｝ b、桿件坐標系｛i｝ c、手部坐標系｛h｝ （與末端桿件坐 標系｛n｝方向 一致）,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,解：（2）確定參數(shù)（第

42、二種）li-1——相鄰坐標系z軸之間的距離；αi-1——相鄰坐標系z軸之間的夾角；di——相鄰坐標系x軸之間的距離；θi——相鄰坐標系x軸之間的夾角。注意：根據(jù)方向確定參數(shù)的正負！,解：（2）確定參數(shù)(第二種）,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,解：（3）相鄰桿件位姿矩陣（第二種）,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,解：（3）相鄰桿件位姿矩陣（第二種）,2.3 機器人運動學方

43、程,2.3.1 運動學方程建立步驟,解：（3）相鄰桿件位姿矩陣（第二種）,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,解：（3）相鄰桿件位姿矩陣（第二種）,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,解：（4）建立方程（第二種）將相鄰桿件位姿矩陣依次相乘，則有：,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,解：（4）建立方程（第二種）若用矩陣形式表示，則為：,2.3 機器人運動學方程,2.3

44、.1 運動學方程建立步驟,解：（4）建立方程（第二種）若用方程組形式表示，則為：,2.3 機器人運動學方程,2.3.1 運動學方程建立步驟,回顧：運動學方程的模型： M0h=f(qi)， i=1，…，n正問題：已知關節(jié)變量qi的值，求手在空間的位姿M0h。逆問題：已知手在空間的位姿M0h，求關節(jié)變量qi的值。,2.3.2 運動學方程的解,2.3 機器人運動學方程,1、運動學方程的正解

45、 正問題：已知關節(jié)變量qi的值， 求手在空間的位姿M0h。 正解特征：唯一性。 用處：檢驗、校準機器人。,2.3 機器人運動學方程,2.3.2 運動學方程的解,2、運動學方程的逆解逆問題：已知手在空間的位姿M0h，求關節(jié)變量qi的值。逆解特征分三種情況：多解、唯一解、無解。多解的選擇原則：最接近原則。計算方法：遞推逆變換法，即,2

46、.3 機器人運動學方程,2.3.2 運動學方程的解,例：已知四軸平面關節(jié)SCARA機器人如圖所示。試計算：（1）機器人的運動學方程；（2）當關節(jié)變量取qi=[30°，-60°，－120，90°]T時，機器人手部的位置和姿態(tài)；（3）機器人運動學逆解的數(shù)學表達式。,2.3 機器人運動學方程,2.3.2 運動學方程的解,解：（1）運動學方程a、建立坐標系（第一種） 機座坐標系｛0｝

47、 桿件坐標系｛i｝ 手部坐標系｛h｝,2.3 機器人運動學方程,2.3.2 運動學方程的解,解：（1）運動學方程b、確定參數(shù)（第一種）,2.3 機器人運動學方程,2.3.2 運動學方程的解,解：（1）運動學方程c、相鄰桿件位姿矩陣（第一種）,2.3 機器人運動學方程,2.3.2 運動學方程的解,解：（1）運動學方程 c、相鄰桿件位姿矩陣（第一種）,2.3 機器人運動學方程,2.3.2 運動學方程的解

48、,解：（1）運動學方程 c、相鄰桿件位姿矩陣（第一種）,2.3 機器人運動學方程,2.3.2 運動學方程的解,解：（1）運動學方程 c、相鄰桿件位姿矩陣（第一種）,2.3 機器人運動學方程,2.3.2 運動學方程的解,解：（1）運動學方程d、建立方程（第一種）,2.3 機器人運動學方程,2.3.2 運動學方程的解,解：（2）已知qi=[30°，-60°，－120，90°]T，

49、 代入（1）中的運動學方程，則得：,2.3 機器人運動學方程,2.3.2 運動學方程的解,解：（3）逆解數(shù)學表達式已知運動學方程，用通式表示為：,2.3 機器人運動學方程,2.3.2 運動學方程的解,解：（3）逆解數(shù)學表達式 聯(lián)立方程：,2.3 機器人運動學方程,2.3.2 運動學方程的解,解：（3）逆解數(shù)學表達式由上面（a）、（b）兩式可得 ：,2.3 機器人運動學方程,2.3.2

50、 運動學方程的解,解：（3）逆解數(shù)學表達式由上面（c）、（d）兩式平方再相加可得 ：,2.3 機器人運動學方程,2.3.2 運動學方程的解,解：（3）逆解數(shù)學表達式由上面（c）、（d）兩式展開可得 ：,2.3 機器人運動學方程,2.3.2 運動學方程的解,解：（3）逆解數(shù)學表達式由上面兩式可得 ：,2.3 機器人運動學方程,2.3.2 運動學方程的解,解：（3）逆解數(shù)學表達式由上面兩式可得 ：,2.3 機器人運動學方程,2

51、.3.2 運動學方程的解,解：（3）逆解數(shù)學表達式已知θ1，θ2可得 ：,2.3 機器人運動學方程,2.3.2 運動學方程的解,解：（3）逆解數(shù)學表達式最后由（e)式可得 ：,2.3 機器人運動學方程,2.3.2 運動學方程的解,解：（3）逆解數(shù)學表達式,2.3 機器人運動學方程,2.3.2 運動學方程的解,2.4.1 微分變換2.4.2 雅可比矩陣,2.4 機器人微分運動,設機器人運動鏈中某一桿件相對于機座坐標系的位姿為

52、 ，經(jīng)過微運動后該桿件的位姿變?yōu)?，若位姿是某個變量q的函數(shù)，則： 若位姿是若干個變量的函數(shù)，則：,2.4.1 微分變換,2.4 機器人微分運動,例：已知一個2自由度機器人及其坐標系如圖所示。若因桿件1下關節(jié)軸承裝配或制造不當，使桿件1沿關節(jié)軸線有0.05單位的偏差，又由于兩桿件的執(zhí)行器運動不準確，旋轉執(zhí)行器使桿件1多轉一個0.01rad的偏差角，移動執(zhí)行器使桿件2移

53、動了一個0.1單位的偏差距離。若桿件1的長度l1=5單位，試求當機器人關節(jié)變量取 θ1=90°，d2=10單位時，機器人手部位姿的偏差。,2.4 機器人微分運動,2.4.1 微分變換,由圖示坐標系可得機器人手部的位姿為：,2.4 機器人微分運動,2.4.1 微分變換,由已知條件可得：,2.4 機器人微分運動,2.4.1 微分變換,由已知條件可得：,2.4 機器人微分運動,2.4.1 微分變換,機器人手部位姿的偏

54、差為：,2.4 機器人微分運動,2.4.1 微分變換,1、微分變換矩陣微分平移變換矩陣：,2.4 機器人微分運動,2.4.1 微分變換,1、微分變換矩陣微分旋轉變換矩陣： 繞三根坐標軸旋轉的微分變換矩陣分別為：,2.4 機器人微分運動,2.4.1 微分變換,1、微分變換矩陣微分旋轉變換矩陣： 繞三根坐標軸旋轉的微分變換矩陣分別為：,2.4 機器人微分運動,2.4.1 微分變換,1、微分變換矩

55、陣微分旋轉變換矩陣： 繞三根坐標軸旋轉的微分變換矩陣分別為：,2.4 機器人微分運動,2.4.1 微分變換,1、微分變換矩陣微分旋轉變換矩陣： 上述三個微分旋轉變換矩陣按任意順序相乘，只要略去高階微量，其結果均為：,2.4 機器人微分運動,2.4.1 微分變換,1、微分變換矩陣綜上所述，微分變換矩陣即為：,2.4 機器人微分運動,2.4.1 微分變換,2、兩坐標系間微分運動的關系

56、 設任意兩個坐標系{i}和{j} 之間的變換關系為Mij。若相對于坐標系{i}進行的微運動用微分變換矩陣△i表示，相對于坐標系{j}用△j表示，即：,2.4 機器人微分運動,2.4.1 微分變換,2、兩坐標系間微分運動的關系同理可得：,2.4 機器人微分運動,2.4.1 微分變換,當所有關節(jié)均有微分運動時，它們在機器人坐標系{n}中引起的總微分變換矩陣則為：,2.4.2 雅可比矩陣,2.4 機器人微分運動,若將微分變換矩陣用

57、微分運動矢量來表示，則上式就變化為：,2.4 機器人微分運動,2.4.2 雅可比矩陣,若令Jn為：,則稱Jn為機器人的雅克比矩陣，它反映了機器人手部坐標系的微分運動與各關節(jié)微分運動的關系，不同坐標系之間可以有不同的雅克比矩陣。,2.4 機器人微分運動,2.4.2 雅可比矩陣,雅可比矩陣構造的具體步驟為：,a.計算機器人相鄰桿件的位姿矩陣； b.計算機器人各桿件相對于末端桿件的位姿矩陣： c.計算的