同濟(jì)大學(xué)線性代數(shù)教案第五章線性空間與線性變換

1、線性代數(shù)教學(xué) 線性代數(shù)教學(xué)教案 教案第五章 第五章 線性空間與線性變換 線性空間與線性變換授課序號(hào) 授課序號(hào) 01 01教 學(xué) 基 本 指 標(biāo)教學(xué)課題 教學(xué)課題 第五章 第一節(jié) 線性空間的定義與性質(zhì) 線性空間的定義與性質(zhì) 課的類型 課的類型 新知識(shí)課教學(xué)方法 教學(xué)方法 講授、課堂提問(wèn)、討論、啟發(fā)、自學(xué) 教學(xué)手段 教學(xué)手段 黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn) 線性空間與子空間的概念、線性空間的性質(zhì) 教學(xué)難點(diǎn) 教學(xué)難點(diǎn)

2、 線性空間、子空間的判定參考教材 參考教材 同濟(jì)版《線性代數(shù)》 作業(yè)布置 作業(yè)布置 課后習(xí)題大綱要求 大綱要求 了解線性空間和子空間的概念；了解線性空間的性質(zhì)。教 學(xué) 基 本 內(nèi) 容一、 一、 線性空間的定義： 線性空間的定義：定義 定義 1：設(shè) 是一個(gè)非空集合， 為實(shí)數(shù)域. 對(duì)于任意兩個(gè)元素 ，在 中總有唯一確定的一個(gè)元素 V A ? , V ? ? V與之對(duì)應(yīng)，稱為 與 的和，記作 . 對(duì)于 中任一

3、數(shù) 與 中任一元素 ，在 中總有唯一 ? ? ? ? ? ? ? ? A ? V ? V確定的一個(gè)元素 與之對(duì)應(yīng)，稱為 與 的數(shù)量乘積，記作 .如果這兩種運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算規(guī)律 ? ? ? ? ? ? ?(設(shè) ): ? ? ? ? A , , ; , V ? ? ?(i) 加法交換律： ； ? ? ? ? ? ? ?(ii) 加法結(jié)合律：； ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(iii) 在 中存在零元素 ；對(duì)于

4、任何 ，都有是 ； V 0 ?V ? ? ? 0 ? ?(iv) 負(fù)元素：對(duì)于任何 ，都有是 的負(fù)元素 ，使 ； ?V ? ? ?V ? ? ? 0 ? ?(v) ； ? 1 ? ?(vi) ； ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?(vii) ； ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?也是實(shí)數(shù)域上的線性空間.例 4 次多項(xiàng)式的全體 n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 1 0 , , ,

5、 , 0 , nn n n n Q x p a x a x a a a a R a 且對(duì)于通常的多項(xiàng)式加法和乘數(shù)運(yùn)算不構(gòu)成線性空間. 例 5 個(gè)有序?qū)崝?shù)組成的數(shù)組的全體 對(duì)于通常的有序數(shù)組的 n ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 , , , , , ,T nn n S x x x x x x x R加法及如下定義的乘法? ? ? ? ? ? ? ? ? 1, , 0, ,0T Tn x x不構(gòu)成線性空間.例 6

6、正實(shí)數(shù)的全體，記作 ，在其中定義加法及乘數(shù)運(yùn)算為 ? A ? ?? ? ? ? , , a b ab a b R驗(yàn)證對(duì)上述加法與乘數(shù)運(yùn)算構(gòu)成線性空間. ? ?? ? ? ? ? ? ? ? , , a a R a R例 7 在實(shí)數(shù)域 上線性空間 A? ? ? ?11 12 121 22 21 21 ,nnn ijn m nna a aa a a M A a i j na a a? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

7、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? A A ? ? ??中，對(duì)角矩陣所成的集合? ? ? ?1122 1 n iinnaa D A a i na? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?A A ?是 的非空子集，且 關(guān)于 的加法和數(shù)乘是封閉的，所以 是 的一個(gè)子空 ? ? n M A ? ? n D A ? ? n M A ?