線性代數(shù)

1、性質(zhì)1,按定義計(jì)算行列式較麻煩, 因此有必要討論行列式的性質(zhì)以簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算.,n 階行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.,,,1.3、行列式的性質(zhì),,,如：,則.,即,,,,由上節(jié)例 5 及性質(zhì) 1 還可知,,,上三角行列式,下三角行列式,,三角行列式,,,性質(zhì)2,互換 n 階行列式的任意兩行 ( 列 ) , 行列式僅改變符號(hào).,即,,,證,這是因?yàn)樾辛惺?D 的這兩行互換后得 D = ? D, 從而 D = 0.,

2、如二階行列式,而,兩者異號(hào).,推論1,若 n 階行列式有兩行 ( 列 ) 的對(duì)應(yīng)元素相同, 則行列式為零.,,,性質(zhì)3,n 階行列式D等于它的任意一行 ( 列 )的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和。,即,,,,,,推論1,行列式D某一行 ( 列 ) 元素全為零, 則行列式D＝0.,,,推論2,行列式某一行 ( 列 ) 元素與另一行對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零,,則,,,,性質(zhì)4,把行列式的某行(列)的所有元素同乘以數(shù) k

3、, 等于該行列式乘以數(shù) k .,即,,,由性質(zhì) 3 可知, 若行列式某行 ( 列 ) 有公因式則可提出來(lái)。,例如,,,,右邊,上式左邊按第二行展開(kāi)得：,,,若 行列式D有兩行(列)對(duì)應(yīng)元素成比例,則 D＝0,,,性質(zhì)5,例如,,則,,,性質(zhì)6,若 n 階行列式的某行(列)的各元素是兩個(gè)數(shù)的和,則該行列式等于兩個(gè)行列式的和.,例如,,,,如,= ?10 ,,而,即,證,,,性質(zhì)7,把 n 階行列式的某行 ( 列 ) 的各元素乘以數(shù)

4、 k 后加到另一行 ( 列 )的對(duì)應(yīng)元素上去,行列式的值不變.,性質(zhì) 7 可由性質(zhì) 6 及性質(zhì) 5 得出.,,,,,如,兩者相等.,,,行列式還有兩條推論：,1. 行列式 D 有兩行 ( 列 ) 各元素對(duì)應(yīng)相同，則 D = 0 ；,6. 行列式 D 有兩行 ( 列 ) 各元素對(duì)應(yīng)成比例，則 D = 0 ；,2. 行列式 D 有某行 ( 列 )各元素全為零，則 D = 0 .,小結(jié)：,1. DT = D ;,2. 互換行列

5、式的兩行 ( 列 ) ，行列式僅變號(hào);,3. 行列式某行 ( 列 ) 的公因式可提出；,4. 行列式某行 ( 列 ) 的元素均為兩數(shù)之和，則原行列式等于另兩行列式之和；,5. 行列式某行 ( 列 ) 的各元素乘以數(shù) k 后加到另一行 ( 列 ) 對(duì)應(yīng)元素上去，行列式的值不變.,行列式有七條性質(zhì)：,7 行列式D等于它的任意一行 ( 列 )的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和。,,,由上節(jié)例 5可知三角行列式簡(jiǎn)單易求, 因此對(duì)任一行列式,

6、可利用行列式的性質(zhì), 將其化為 一個(gè)與之相等的三角行列式, 從而簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算.,為表達(dá)簡(jiǎn)捷,計(jì)算行列式時(shí), 以 ri 表示每 i 行, ci,以 k 加到第 i 行記作 ri+krj .,將第 j 行乘,表第 i 列, 交換 i, j 兩行記作,,,例6. 計(jì)算,= 72.,解：,,,例7. 計(jì)算,解：,,,,例8,計(jì)算行列式,解,,,,,,總結(jié)n階行列式的計(jì)算 行列式的計(jì)算主要有如下幾種方法： 1