工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版

1、,,,,,用消元法解二元線性方程組,,,一、二階行列式的引入,方程組的解為,,,由方程組的四個(gè)系數(shù)確定.,由四個(gè)數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數(shù)表,定義,即,記住,,,,主對(duì)角線,副對(duì)角線,對(duì)角線法則,二階行列式的計(jì)算,,若記,對(duì)于二元線性方程組,系數(shù)行列式,,列標(biāo),行標(biāo),,,,,,,,,,則二元線性方程組的解為,注意 分母都為原方程組的系數(shù)行列式.,例1,解,二、三階行列式,定義,記,（6）式稱為數(shù)表（5）所確定的三

2、階行列式.,記住,三階行列式的計(jì)算,對(duì)角線法則,,,,,,,說明1 對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式．,利用三階行列式求解三元線性方程組,如果三元線性方程組,注意 與主對(duì)角線平行的三元素的乘積冠以正號(hào)，,與副對(duì)角線平行的三元素的乘積冠以負(fù)號(hào)．,的系數(shù)行列式,若記,,,,,,,或,,,記,,,,,,,即,,,,,得,,,,,得,,則三元線性方程組的解為:,例２,解,按對(duì)角線法則，有,例3,解,不等式左端,例4 解線性方程組,

3、解,由于方程組的系數(shù)行列式,,,,,,,同理可得,故方程組的解為:,一、概念的引入,引例,用1、2、3三個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？,解,1 2 3,1,2,3,百位,3種放法,十位,1,2,3,1,個(gè)位,1,2,3,2種放法,1種放法,種放法.,共有,,,,二、全排列及其逆序數(shù),問題,定義,把 個(gè)不同的元素排成一列，叫做這 個(gè)元素的全排列（或排列）.,個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù)，通常用

4、 表示.,由引例,同理,在一個(gè)排列 中，若數(shù) 則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序.,例如 排列32514 中，,定義,我們規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序, n 個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.,排列的逆序數(shù),3 2 5 1 4,定義 一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù).,例如 排列32514 中，,3

5、2 5 1 4,,,,,逆序數(shù)為3,,,1,,,,,故此排列的逆序數(shù)為3+1+0+1+0=5.,計(jì)算排列逆序數(shù)的方法,方法1,分別計(jì)算出排在 前面比它大的數(shù)碼之和即分別算出 這 個(gè)元素的逆序數(shù)，這個(gè)元素的逆序數(shù)的總和即為所求排列的逆序數(shù).,逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列;,逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.,排列的奇偶

6、性,分別計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼個(gè)數(shù)之和，即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)，這每個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù).,方法2,解,在排列32514中,,例1 求排列32514的逆序數(shù).,例2 計(jì)算下列排列的逆序數(shù)，并討論它們的奇偶性.,解,,,此排列為偶排列.,解,當(dāng) 時(shí)為偶排列；,當(dāng) 時(shí)為奇排列.

7、,解,當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，排列為偶排列，,當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，排列為奇排列.,一、概念的引入,三階行列式,說明,（1）三階行列式共有 6 項(xiàng)，即 3！ 項(xiàng)．,（2）每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的乘積．,（4）各項(xiàng)的正負(fù)號(hào)與列標(biāo)的排列對(duì)照．帶正號(hào)：123（0），231（2），312（2） 偶排列帶負(fù)號(hào)：321（3），213（1），132（1） 奇排列,二、n階行列式的定義,定義,說明,1、行列式是一種特定的算

8、式，它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的;,2、 階行列式是 項(xiàng)的代數(shù)和;,3、 階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同列 個(gè)元素的乘積;,4、 一階行列式 不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆;,5、 的符號(hào)為,例1　計(jì)算對(duì)角行列式,分析,展開式中項(xiàng)的一般形式是,從而這個(gè)項(xiàng)為零，,所以 只能等于 ,,同理可得,解

9、,即行列式中不為零的項(xiàng)為,,例2 計(jì)算上三角行列式,分析,展開式中項(xiàng)的一般形式是,所以不為零的項(xiàng)只有,解,,例3,,同理可得下三角行列式,,例4 證明對(duì)角行列式,證明,第一式是顯然的,下面證第二式.,若記,則依行列式定義,證畢,練習(xí)：,已知,解答,解,含 的項(xiàng)有兩項(xiàng),即,,,對(duì)應(yīng)于,一、對(duì)換的定義,定義,在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余元素不動(dòng)，這種作出新排列的手續(xù)叫做對(duì)換．,將相鄰兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，叫做相鄰對(duì)換．,例如,

10、,,二、對(duì)換與排列的奇偶性的關(guān)系,定理1　一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性．,證明,設(shè)排列為,除 外，其它元素的逆序數(shù)不改變.,當(dāng) 時(shí)，,經(jīng)對(duì)換后 的逆序數(shù)不變 ， 的逆序數(shù)減少1.,因此對(duì)換相鄰兩個(gè)元素，排列改變奇偶性.,設(shè)排列為,當(dāng) 時(shí)，,現(xiàn)來對(duì)換 與,所以一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性.,,,推論,奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成

11、標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù).,定理2 階行列式也可定義為,其中 為行標(biāo)排列 的逆序數(shù).,證明,由定理1知對(duì)換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù),,而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列(逆序數(shù)為0),因此,知推論成立.,證明,按行列式定義有,記,對(duì)于D中任意一項(xiàng),總有且僅有 中的某一項(xiàng),與之對(duì)應(yīng)并相等;,反之,,對(duì)于 中任意一項(xiàng),也總有且僅有D中的某一項(xiàng),與之對(duì)應(yīng)并相等,,于是D與,中的項(xiàng)可以一一對(duì)應(yīng)并相等,,從而,定理3

12、 階行列式也可定義為,其中 是兩個(gè) 級(jí)排列， 為行標(biāo)排列逆序數(shù)與列標(biāo)排列逆序數(shù)的和.,解,下標(biāo)的逆序數(shù)為,所以 是六階行列式中的項(xiàng).,下標(biāo)的逆序數(shù)為,所以 不是六階行列式中的項(xiàng).,例2 在六階行列式中，下列兩項(xiàng)各應(yīng)帶什么符號(hào).,解,431265的逆序數(shù)為,所以