關(guān)于復(fù)方陣的行列式值域.pdf

1、符號(hào)矩陣?yán)碚撌墙M合矩陣論的一個(gè)新興研究分支，是近年來(lái)在組合數(shù)學(xué)中較為活躍的一個(gè)研究方向。該理論主要研究矩陣的僅與其符號(hào)模式有關(guān)的定性性質(zhì)。符號(hào)矩陣?yán)碚撟钤缙鹪从诮?jīng)濟(jì)學(xué)中對(duì)某些問(wèn)題的定性性質(zhì)的研究。其開(kāi)創(chuàng)性工作是由諾貝爾獎(jiǎng)獲得者、經(jīng)濟(jì)學(xué)家P.Samuelson作出的(參見(jiàn)文獻(xiàn)[16])。由于符號(hào)矩陣?yán)碚撛诮?jīng)濟(jì)學(xué)中有著重要的應(yīng)用背景，從而引起了經(jīng)濟(jì)學(xué)家，數(shù)學(xué)家及計(jì)算機(jī)理論專(zhuān)家的廣泛關(guān)注。1995年，R.A.Brualdi與B.L.Shade

2、r的關(guān)于符號(hào)矩陣論的專(zhuān)著《Matrices of Sign-solvable Linear Systems》([5])的問(wèn)世極大地推動(dòng)了符號(hào)矩陣?yán)碚摰陌l(fā)展，它全面系統(tǒng)地總結(jié)了在符號(hào)矩陣?yán)碚摲矫娴难芯砍晒?，同時(shí)給出了許多新的結(jié)論，從而使符號(hào)矩陣?yán)碚摮蔀榻M合數(shù)學(xué)的一個(gè)新興的研究熱點(diǎn)。 近年來(lái)，符號(hào)矩陣?yán)碚摰难芯坑兄鴱膶?shí)數(shù)域向復(fù)數(shù)域推廣的趨勢(shì)。1997年，J.J. McDonald，D. D. Olesky M. J. Tsatsom

3、eros和P. van den Driessche在文獻(xiàn)[14]中將符號(hào)模式矩陣的概念推廣到ray模式矩陣，并研究了ray模式矩陣的ray非奇異性及ray模式矩陣類(lèi)的行列式值域的問(wèn)題。1998年，C. A. Eschenbach，F(xiàn). J. Hall，and Z.Li.等在文獻(xiàn)[6]中從另一個(gè)方面對(duì)符號(hào)模式矩陣的概念做了推廣，即所謂的“復(fù)符號(hào)模式矩陣”。在以上兩種推廣下都有一個(gè)基本問(wèn)題有待解決，即ray非異陣或復(fù)符號(hào)非異陣的特征刻畫(huà)。為

4、了便于研究這個(gè)問(wèn)題，在文獻(xiàn)[14]中McDonald等同時(shí)提出了行列式值域的概念。2005年，在文獻(xiàn)[20]中Jia-Yu Shao和Hai-YingShan對(duì)行列式值域問(wèn)題進(jìn)行了深入的研究，給出了一些行列式值域的必要條件，并據(jù)此列出了所有可能成為某一個(gè)矩陣在復(fù)符號(hào)模式下的行列式值域的區(qū)域形狀。對(duì)于ray模式矩陣的行列式值域，他們定義了一個(gè)和行列式值域的形狀密切相關(guān)的參數(shù)：行列式值域的葉數(shù)，并關(guān)于葉數(shù)這個(gè)參數(shù)提出了如下一些問(wèn)題。

5、 問(wèn)題1：葉數(shù)是否一定有限? 問(wèn)題2：如果葉數(shù)有上界，確定葉數(shù)的上確界，同時(shí)給出不同葉數(shù)的行列式值域的特征。 對(duì)于復(fù)符號(hào)模式可以提出類(lèi)似的問(wèn)題。 本文將主要對(duì)葉數(shù)這個(gè)參數(shù)進(jìn)行研究。在文中我們定義了一種矩陣間的距離，利用這個(gè)概念我們證明復(fù)方矩陣在ray模式下行列式值域的葉數(shù)一定有限，并且最大可能值是2，然后我們證明葉數(shù)為2的矩陣行列式值域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。利用上述結(jié)論我們列出了所有可能的ray模式下的行列式值域的形