Virasoro-like代數(shù)和頂點代數(shù).pdf

1、眾所周知，Virasoro代數(shù)及頂點代數(shù)在數(shù)學和物理的許多分支上都有重要的應用。單變量羅朗多項式環(huán)的導子李代數(shù)稱為Witt代數(shù)，而Witt代數(shù)的泛中心擴張就是Virasoro代數(shù)．Virasoro代數(shù)的表示在仿射Kac—Moody代數(shù)的可積模構造及其結構分析和可積模的分類中起著重要作用([G01]，[002])。由Borcherds引進的頂點代數(shù)在理論物理中的共形場論及弦論中都有廣泛研究和應用([GSW])，格頂點代數(shù)是頂點代數(shù)理論中重

2、要的一類，這些代數(shù)在moonshine模及其頊點代數(shù)的理論發(fā)展中扮演著極其重要的角色。 Virasoro—like代數(shù)W，可以看作是無中心Virasoro代數(shù)的推廣，它的基元為{D(m)｜m∈Z2＼{0}}，其中m=(m1，m2)，李關系為[D(m)，D(n)]=(m2n1—m1n2)D(m+n)． 我們可以從如下兩種不同角度把它看作是“Virasoro代數(shù)”，首先，在(x，y)平面上，對m=(m1，m2)，令D(m)

3、=ei(m1y+m2x)利用Poisson積{f，g)=(()f/()y)(()g/()x)—(()f/()x)(()g/()y)．我們得到對D(m1，m2)=ei(m2x+m1y)及D(n1，n2)=ei(n2x+n1y)，有[D(m1，m2)，D(n1，n2)]={ei(m2x+m1y)，ei(n2x+n1y)}=(im1)ei(m2x+m1y)(in2)ei(n2x+n1y)—(im2)ei(m2x+m1y)(in1)ei(n2x

4、+n1y)=(m2n1—m1n2)ei((m2+n2)x+(m1+n1)y)=(m2n1—m1n2)D(m1十n1，m2十n2)． 另外，W也可以按如下方式看作平面上的多項式向量場，令D(m1，m2)=xm11+xm21(m2x1()/()x1—m1x2()/()x2)，易知，[D(m1，m2)，D(n1，n2)]=D(m1，m2)D(n1，n2)—D(n1，n2)D(m1，m2)=(m2n1—m1n2)D(m1+n1，m2+n

5、2)，(見[KPS])． 記L=W⊕Cd1⊕Cd2，其中d1，d2是度導子．在[LT1]中，作者構造了從sl2—模V到兩個變量的量子環(huán)面上skew導子李代數(shù)Lq—模Fαg(V)上的一族函子Fαg，并研究了skew導子李代數(shù)Lq的模Fαg(V)，當q=1時，Lq就是Virasoro—like代數(shù)L，Lq—模就是L—模Fα(V)．本文第一章主要研究Virasom—like代數(shù)L到它的模Fα(V)上的導子，其中V為有限維不可約sl2—

6、模．同時，給出了一上同調(diào)群H1(L，F(xiàn)α(V))． 記Diff0R2為二維平面上保持面積不變的微分同胚代數(shù)([Ba])，Diff0R2的基元為： 其中Diff+0R2由{fm，n｜m∈Z，n≥0)生成，H由{fm，—1=xm+1｜m∈Z)生成，Diff—0R2由{fm，n｜m∈Z，n＜—1)生成．李代數(shù)Diff+0R2⊕ H和Diff+0R2也稱為Block型李代數(shù)，它們是Block在他1958年文章[B1]中引入的一類

7、特征為零域上的無窮維單李代數(shù)的推廣．因為這類代數(shù)和Virasoro代數(shù)很接近，所以也常稱為Virasoro—like代數(shù)．在[Sul]中，作者研究了李代數(shù)Diff+0R2⊕H的泛中心擴張的擬有限維表示．在[Ba]中，Bakas研究了Diff+0R2的unitary表示，并討論了它在量子場理論中的重要運用．在本文第二，三章我們研究Diff+0R2代數(shù)的Leibniz擴張及其表示． 記(B)=spanC{Lm，n｜m，n∈Z，n≥0

8、)，則(B)=Diff+0R2．本文第二章我們給出了(B)的Leibniz二上同調(diào)群，我們發(fā)現(xiàn)它與(B)的二上同調(diào)群是相同的．因此，(B)的泛中心擴張B=(B)⊕Ck由(B)上的二上圈β定義： 其中m，mˊ∈Z，n，nˊ≥0，κ是中心元。顯然，B包含—個子代數(shù)，基元為{Lm，0，k｜m∈Z)，它與 Virasoro代數(shù)同構．在[M]中，作者證明了Virasoro代數(shù)上的Harish—Chandra模為最高權模，最低權?；蛑虚g系列

9、模． 在一系列文章[KL，KS，KWY，LT2，LT3，Su1，Su2，Su3]中，作者都在研究權空間維數(shù)有限的這一類模。如在[Sul]中，作者研究了Block型李代數(shù)(B)的泛中心擴張Bˊ=(B)⊕Ck的擬有限維表示，其中(B)=spanC：{Lm，n｜m，n∈Z，n≥—1)，李關系為 作者證明了擬有限維不可約Bˊ—模是最高權?；蜃畹蜋嗄＃疚牡谌挛覀兛紤] Block型李代數(shù)(B)的子代數(shù)(B)，它們有不同的泛中心擴