變量為二次型的除數(shù)函數(shù)和自守L函數(shù)傅里葉系數(shù)均值問題.pdf

1、二次型G(m1,m2）:=m21+m22,G(m1,m2,m3):=m21+m22+m23,G(m1,m2,m3,m4):=m21+m22+m23+m24,…，在數(shù)論研究中十分重要.許多學(xué)者圍繞二次型作了很多相關(guān)研究工作。
　　在二元二次型方面，余剛[41]研究了與除數(shù)問題相關(guān)的均值問題并且得到了∑1≤m1,m2≤x d(m21+m22)=A1x2logx+A2x2+O(x3/2+(∈)).(0.1)
　　在三元二次型方面，

2、數(shù)論中一個(gè)重要問題就是跟球內(nèi)整點(diǎn)相關(guān)的素?cái)?shù)分布問題.Vinogradov[39]和陳景潤[3]分別獨(dú)立地證明了∑m21+m22+m23≤x mj(∈)Z1=4/3πx3/2+O（x2/3）.上式余項(xiàng)中x的指數(shù)被Chamizo和Iwaniec[2]改進(jìn)為29/44隨后Heath-Brown[12]將這一結(jié)果進(jìn)一步改進(jìn)為21/32.在[6]中，F(xiàn)riedlander和Iwaniec證明了π3(x):=∑m21+m22+m23=p≤xmj(∈

3、)Z1～4π/3x3/2/log x.郭汝庭和翟文廣[9]進(jìn)一步證明了對于任意給定的A＞0，πΛ（x）:=∑m21+m22+m23≤xΛ(m21+m22+m23)=8C3I3x3/2+O(x3/2log-Ax)，其中C3和I3分別是該問題中的奇異級數(shù)和奇異積分.由上式可以得到π3(x)=12C3I3∫x2t1/2/log t dt+O(x3/2log-A x).在[1]中，Calderón和Velasco研究了與除數(shù)函數(shù)有關(guān)的均值問題并

4、證明了S(x):=∑1≤m1,m2,m3≤x d(m21+m22+m23)=8ξ(3)/5ξ(4)x3logx+O(x3).郭汝庭和翟文廣[9]將上述結(jié)果改進(jìn)為S(x)=2C1I1x3logx+(C1I2+C2I1)x3+O(x8/3+(ε)),其中Ci，Ii(i=1,2)是常數(shù).趙立璐[43]將上式中的余項(xiàng)進(jìn)一步改進(jìn)為x2log7x.
　　在本文中，我們首先研究了變量為四元二次型的相關(guān)問題以及該問題的幾乎相等問題，其次我們研究了

5、變量為三元二次型的自守L-函數(shù)傅里葉系數(shù)均值問題.本文的主要結(jié)果如下:
　　定理1令S（x):=∑1≤m1,m2,m3,m4≤x d（m21+m22+m23+m24).那么對于x≥2,我們有漸進(jìn)公式S(x)=2K1L1x4log x+(K1L2+K2L1)x4+O(x7/2+(ε)),其中K1=2ξ(2)/7ξ(3),K2=4ξ(2)/7ξ(3)（y+12/7+2ξ(2)/ξ(2)-2ξ'(3)/ξ(3)），L1:=∫∞-∞I1(

6、λ)dλ，L2:=∫∞-∞I2(λ)dλ，I1(λ):=(∫10e(u2λ)du)4∫40e(-uλ)du,I2(λ):=(∫10e(u2λ)du)4∫40e(-uλ)log udu.
　　定理2令πΛ（x):=∑m21+m22+m23+m24≤xΛ(m21+m22+m23+m24）.那么對于任意的A＞0，我們有漸進(jìn)公式πΛ（x）=16K3L3x2+O(x2log-Ax)(x≥2），(0.2)其中K3:=∞∑q=11/q4ψ(q)

7、∑0≤a≤q(a,q)=1G4（a，0，q）Cq（-a），L3:=∫∞-∞I3(λ)dλ,I3(λ):=(∫10e(u2λ)du)4∫10e(-uλ)du.對于定理1,2相關(guān)的“幾乎相等”問題，令S(x,y)=∑|mi-x|≤y d(m21+m22+m23+m24),其中y=xθ+(ε)并且0＜θ＜1.我們有以下結(jié)果:
　　定理3當(dāng)θ≥6/7+(ε)時(shí)，我們有S(x，y)=2ξ(2)/7ξ(3)L1(x,y)+4ξ(2)/7ξ(3

8、)（γ+12/7+2ξ'(2)/ξ(2)-2ξ'(3)/ξ(3)）L2(x，y)+O(y4-(ε))，其中Lj(x,y)=-1/8∑4（x-y）2＜n≤4(x+y）2(log n)2-j∑(x-y)2＜mi≤(x+y)2m1+m2+m3+m4=n(m1m2m3)-1/2,并且滿足L1(x，y)(x)y4log y，L2(x，y)(x)y4.
　　定理4當(dāng)θ=4/5時(shí)，我們有S(x，y)=2ξ(2)/7ξ(3)L1(x，y)+4ξ(

9、2)/7ξ(3)(γ+12/7+2ξ'(2)/ξ(2)-2ξ'(3)/ξ(3)）L2(x，y)+O(y7/2+(∈))，其中Li(x，y)與定理3中一致.
　　本文中，我們還考慮了幾乎相等的四個(gè)整數(shù)的平方和表素?cái)?shù)的問題.這一問題可以確切地表述為πΛ(x，y)=∑|mi-x|≤yΛ(m21+m22+m23+m24)，其中y=xδ(0＜δ≤1).我們證明了以下結(jié)果:
　　定理5設(shè)δ≥15/23+2(ε).則對于任意的A＞0，πΛ

10、(x,y)=16(G)y4+O(y4L-A),其中(G)是由(1.1)定義的奇異級數(shù).
　　定理6設(shè)y=xδ滿足15/23+2(ε)≤δ≤1.定義π4（x,y）=∑|mi-x|≤y m21+m22+m23+m24=p1.那么，對于任意的A＞0，我們有π4(x,y)=1/16(G)(n)+O(y4L-A)，其中(n)=∑(x-y)2＜mi≤(x+y)2(m1m2m3m4)-1/2∑4(x-y)2＜n≤4(x+y)2m1+m2+m3+

11、m4=n1/log n(x)y4/log x.
　　本文最后研究了變量為三元二次型的自守L-函數(shù)傅里葉系數(shù)均值問題，令λ(n)和a(n)分別表示Maass尖形式和全純尖形式的傅里葉系數(shù)，我們證明了以下結(jié)果:
　　定理7定義πλ,Λ（x）:=∑m21+m22+m23≤xλ(m21+m22+m23)Λ(m21+m22+m23).我們有πλ.Λ(x)=O(x3/2logc x),其中c＞0是一個(gè)固定的常數(shù).
　　定理8定義π