實空間形式中具有平行Blaschke張量的子流形.pdf

1、本文討論實空間形式中子流形的共形微分幾何，重點是對具有平行的某種共形不變量的超曲面或子流形進行完全的分類.其內(nèi)容可分為兩大部分:一是對于de Sitter空間中具有平行的仿Blaschke張量的正則類空超曲面進行分類;二是對于球面中具有平行Blaschke張量及消失M(o)bius形式的無臍點子流形的完全分類.得到的主要定理如下:
　　定理0.1（見第一章定理1.3）.設(shè)x:Mm→Sm+11是de Sitter空間Sm+11中的一

2、個正則類空超曲面，m≥2.如果對于某個常數(shù)λ，x相應的仿Blaschke張量Dλ是平行的，則x局部共形等價于下述的超曲面之一:
　　1.Sm+11中的一個具有常數(shù)量曲率和常平均曲率的正則類空超曲面;
　　2.Rm+11中的一個具有常數(shù)量曲率和常平均曲率的正則類空超曲面在Ψoσ0下的像;
　　3.Hm+11中的一個具有常數(shù)量曲率和常平均曲率的正則類空超曲面在Ψoσ-1下的像;
　　4.Sm-k(a)×Hk（-1/a

3、2-1）(∈)Sm+11，a＞1，k=1，…m-1;
　　5.Hk（-1/a2）×Rm-k(∈)Rm+11在Ψoσ0下的像，a＞0，k=1，…m-1;
　　6.Hk（-1/a2）×Hm-k（-1/1-a2）(∈)Hm+11在Ψoσ-1下的像，0＜a＜1，k=1，…m-1;
　　7.超曲面WP(p，q，a)(∈)Qm+11在Ψ下的像，其中p，g，a是確定的常數(shù)（見例3.1）;
　　8.由例3.2給出的一個正則類空超

4、曲面;
　　9.由例3.3給出的一個正則類空超曲面.
　　定理0.2（見第一章定理1.9）.設(shè)x:Mm→Sm+p是單位球面Sm+p中的一個Blaschke平行子流形.如果x具有消失的M(o)bius形式C，則它一定M(o)bius等價于下述四種浸入子流形之一:
　　(1)一個具有平行平均曲率向量和常數(shù)量曲率的偽平行無臍點浸入(x):Mm→ Sm+p;
　　(2)一個具有平行平均曲率向量和常數(shù)量曲率的偽平行無臍點浸

5、入(x):Mm→Rm+p在σ下的像;
　　(3)一個具有平行平均曲率向量和常數(shù)量曲率的偽平行無臍點浸入(x):Mm→Hm+p在τ下的像;
　　(4)對于某組參數(shù)m1，p1，r，μ，由例4.2所給出的子流形LS(m1，p1，r，μ)，或?qū)τ谀辰M多重參數(shù)m，p，τ，μ，由例5.2所給出的子流形LS(m，p，τ，μ).
　　本論文共分為五章，具體的結(jié)構(gòu)介紹如下:
　　第一章是緒論部分，分為兩節(jié)，主要介紹本文的研究背景及

6、所得到的具體結(jié)果.
　　第二章是預備知識，分為兩節(jié):第一節(jié)介紹Lorentz空間形式中子流形的共形微分幾何，包括基本的共形不變量的定義等;第二節(jié)介紹球面中子流形的M(o)bius幾何，重點是基本的M(o)bius不變量.
　　第三章的目的是完成對de Sitter空間中具有平行仿Blaschke張量的類空超曲面的分類工作.該章分為兩節(jié):第一節(jié)給出滿足條件的例子;第二節(jié)用于證明定理0.1.
　　第四章和第五章目的是完成對

7、球面中具有平行Blaschke張量及消失M(o)bius形式的一般子流形的分類工作.其中第四章分為三節(jié)，第五章分為兩節(jié).具體地，第四章針對兩種特殊的情況進行討論:第一節(jié)介紹例子，后兩節(jié)分別證明兩個分類定理(分別見定理1.6和定理1.7):一個假設(shè)子流形有兩個不同的Blaschke特征值，另一個假設(shè)子流形有三個不同的Blaschke特征值;第五章則首先在第一節(jié)中給出更一般的例子，然后在第二節(jié)里針對具有t(≥4)個不同Blaschke特征值