負pinched流形中平行平均曲率子流形的剛性定理.pdf

1、J.Simons在1968年證明了以下著名的剛性定理：設Mn為n+p維單位球面Sn+p中的n維緊致極小子流形。若S≤n/2-p-1，則S≡0，即為全測地大球面，或S≡n/2-p-1。Chern-doCamo-Kobayashi在1970年證明下面定理：單位球面Sn+p(1)中滿足S≡n/(2-p-1)的n維緊致極小子流形只有下面兩種：1.S4(1)中Veronese曲面，這時n=p=2，2.Sn+1(1)中的Clifford極小超曲面。

2、H.B.Lawson也獨立得到了關于極小超曲面的類似結果。1998年Shiohama-Xu證明了完備子流形的廣義剛性定理：設Mn是n+p維完備單連通黎曼流形Nn+p中n維完備可定向的平行平均曲率子流形。設H和S分別為Mn的平均曲率和第二基本形式模長的平方，H≥0.則存在一個僅與n，p有關的正常數τ(n，p)∈(0，1)，使得當τ(n，p)≤KN≤1，且nH2+A1(n,p)(1-c)+A2(n,p)[(H2+1)H]1/2(1-c)1/

3、4≤S≤C(n,p,H)-B1(n,p)(1-c)-B2(n,p)[(H2+1)H]1/2(1-c)1/4,其中c=infKN，Nn+p必整體等距于Sn+p(1)。更進一步，1.如果supMS＜α(n，H)，那么Mn為n維球面Sn(1/(√H2+1))或S4(1/(H2)+1)中Veronese曲面。2.如果Mn是緊致黎曼流形，那么Mn為下述情形之一：(1)Sn(1/(1+H2))，(2)Sn+1(1)中的等參超曲面Sn-1(1/(1+

4、μλ2))×S1(λ/(1+λ2))，(3)Sn+1(1)中的Clifford極小超曲面Sk((k/n))×Sn-k((n-k)/n)，k=1，…，n-1.(4)S3(r)中平均曲率為常數H0的Clifford環(huán)面S1(r1)×S1(r2)，其中r1，r2=[2(1+H2)±2H0(1+H2)1/2-1/2，r=(1+H2-H20)-1/2，0≤H0≤H.(5)S4(1/(1+H2))中的Veronese曲面。這里λ=2(n+1/2(n

5、+1)[nH+(n2H2+4(n-1))],C(n,p,H)={A(n,H),forp=1,orp=2andH≠0,min{A(n,H),1/3(2n+5nH2)},forp≥3,orp=2andH=0,A(n,H)=n+2(n3/2n-1)H2-n(n-2)/2(n-1)(n2H4+4(n-1)H2).最近，許洪偉和顧娟如([14])證明：設Mn是n+p維完備單連通黎曼流形Nn+p中n維完備的平行平均曲率子流形.設KN是N的截曲率，滿

6、足c：=infKN≤0，d：=supKN≥0，且c+H2＞0，則存在常數τ1(n，p，H)(≤0)，τ2(n,p，H)(≥0)，其中τ21(n，p，H)+τ22(n，p，H)≠0，使得當τ(n，p，H)≤KN≤τ(n，p，H)，且nH2+A1(n，p)(d-c)+A2(n，p)[n(n-1)-1H3]1/2(d-c)1/4≤S≤Co(n，p，H)-B1(n，p)(d-c)-B2(n，p)[n(n-1)-1H3]1/2(d-c)1/4時，

7、Nn+p必等距于Rn+p.進一步地，若supMS＜α0(n，H)，則M必為全臍球面Sn(1/H)，或S4(1/H)中的Veronese曲面.這里常數Co(n，p，H)如下定義：C0(n,p,H)=α0(n，H)，若n≥3，或n=2且p≤2，10/3H2，若n=2且p≥3，其中α0(n，H)=n2H2/n-1.其余A1(n，p)，A2(n，p)，B1(n，p)，B2(n，p)是僅與n，p有關的非負常數.本文證明了下述主要定理：設Mn是n+

8、p維完備單連通黎曼流形Nn+p中n維完備可定向的平行平均曲率子流形。設H和S分別為Mn的平均曲率和第二基本形式模長的平方，且H＞1.則存在一個僅與n，p和H有關的負常數τ(n，p，H)∈(-1，0)，使得當-1≤KN≤τ(n，p，H)，且nH2+A1(n,p)(1+c)+A2(n,p)[(H2-1)H]1/2(1+c)1/4≤S≤C(n,p,H)-B1(n,p)(1+c)-B2(n,p)[(H2-1)H]1/2(1+c)1/4,其中c：