具有平行平均曲率子流形的幾何剛性定理.pdf

1、本文著重研究常曲率流形中具有平行平均曲率和正曲率子流形的拼擠問題。證明了關(guān)于截面曲率、數(shù)量曲率以及Ricci曲率等內(nèi)蘊(yùn)量的幾何剛性定理；推廣了S.T.Yau、T.Itoh著名的剛性定理以及N.Ejili、A.Li、J.Li和孫自琪等相關(guān)工作，部分Pinching常數(shù)達(dá)到最佳。 在第3章里主要進(jìn)行了對(duì)下述定理的證明: 定理3.1.設(shè)Mn為Fn+p(c)中n維具有平行平均曲率的緊致定向黎曼子流形(H≠0)。如果KM＞0，那么

2、(i)若p≤2，則Mn是Fn+p(c)中一個(gè)全臍球Sn(1/√c+H2)。(ii)若p≥3，而且KM＞(c+H2)min{[1/2-1/3(p-1)],n/2(n+1)}，則Mn是Fn+p(c)中一個(gè)全臍球Sn(1/√c+H2)。 定理3.2.設(shè)Mn為Fn+p(c)中n維具有平行平均曲率的緊致定向黎曼子流形(H≠0)，p≥2且c+H2＞0。若KM≥(c+H2)min{[1/2-1/3(p-1)]，n/2(n+1)}，則Mn是一個(gè)

3、全臍球Sn(1/√c+H2)，或者兩個(gè)低維球的直積標(biāo)準(zhǔn)浸入，或者S4(1/√c+H2)中的Veronese曲面。 在第4章里，證明了在一般的常曲率黎曼流形Fn+p(c)中具有平行平均曲率子流形的剛性定理，對(duì)A.M.Li、J.M.Li[8]，N.Ejili[4]以及Z.Q.Sun的有關(guān)數(shù)量曲率和Ricci曲率等Pinching理論工作進(jìn)行了更深一步的研究和推廣，主要證明了： 定理4.1.設(shè)Mn→Fn+p(c)是等距浸入，M

4、n為n維具有平行平均曲率的緊致偽臍子流形。p＞1，c+H2＞0。若Mn的數(shù)量曲率不小于1/3n(3n-5)(c+H2)，則Mn是全臍的，或者當(dāng)n=2時(shí)為S4(1/√c+H2)中的Veronese曲面。 定理4.2.設(shè)Mn→Fn+p(c)是等距浸入，Mn為n維具有平行平均曲率的緊致偽臍子流形。p＞1，c+H2＞0，n≥4。若Mn的Ricci曲率大于(n-2)(c+H2)，則Mn是全臍的。 根據(jù)Z.Q.Sun的文獻(xiàn)，本文作了

5、如下推廣 定理4.3.設(shè)Mn(∪)Fn+p(c)為具有平行平均曲率的緊致連通子流形，p＞1，n≥4。若Mn的Ricci曲率不小于n(n-2)/(n-1)(c+H2)，則Mn是全臍的。 注.上述定理中，當(dāng)c=1時(shí)，正是Z.Q.Sun的結(jié)論。 定理4.4.設(shè)Mn(∪)Fn+p(c)為具有平行平均曲率的緊致連通子流形，p＞1，n≥4，c+H2＞0。若Mn的Ricci曲率不小于(n-2)c-(7n+8)/2H2+1/2(