退化解析系統(tǒng)正規(guī)形的計(jì)算及應(yīng)用.pdf

1、在非線性微分方程定性分析的研究中，正規(guī)形是一種有效的研究方法。正規(guī)形理論的基本思想是:對(duì)于給定的非線性微分方程，利用一個(gè)合適的變量變換，把所給的微分方程在形式上變得盡可能的簡(jiǎn)單，而且使得系統(tǒng)的局部定性性質(zhì)在變換前后保持相同。計(jì)算正規(guī)形是正規(guī)形理論中的一個(gè)重要內(nèi)容，并且當(dāng)微分方程的線性化矩陣非零時(shí)正規(guī)形的計(jì)算已經(jīng)比較成熟，應(yīng)用成果也比較豐碩，雖然有時(shí)對(duì)所做的變量變換仍然難以求得。然而，在應(yīng)用學(xué)科中經(jīng)常出現(xiàn)線性化矩陣為零的非線性微分方程（本

2、文也稱之為退化非線性微分方程），對(duì)這類微分方程定性性質(zhì)的研究具有重要的理論與應(yīng)用價(jià)值。本世紀(jì)以來(lái)，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者利用正規(guī)形理論開(kāi)始研究退化非線性微分方程的一些經(jīng)典理論問(wèn)題（如可積性問(wèn)題、單值性問(wèn)題、逆積分因子存在性問(wèn)題等）與一些應(yīng)用問(wèn)題（如分支問(wèn)題、行波解的存在性問(wèn)題等）。因此給定一個(gè)退化非線性微分方程，如何計(jì)算其正規(guī)形并研究其定性性質(zhì)是一個(gè)比較新的研究課題。
　　對(duì)于退化非線性微分方程，本文給出了其主微分方程的保守-耗散分解，并

3、證明了這種分解的幾個(gè)性質(zhì)。利用這些性質(zhì)把求定義在（擬）齊次向量場(chǎng)空間上的同調(diào)算子Lr+k值域補(bǔ)空間轉(zhuǎn)化為求定義在（擬）齊次多項(xiàng)式空間上李導(dǎo)數(shù)算子lr+k值域補(bǔ)空間。在主微分方程是哈密爾頓的并且哈密爾頓函數(shù)在復(fù)多項(xiàng)式環(huán)C[x，y]上的因式僅為單因式的假設(shè)下，為求得正規(guī)形只需求有限多個(gè)定義在（擬）齊次多項(xiàng)式空間上李導(dǎo)數(shù)算子值域補(bǔ)空間，并給出遞推公式。最后用這種方法求出一類廣義Hopf奇點(diǎn)的正規(guī)形，并利用李三角形方法（即遞歸算法）給出正規(guī)形的

4、系數(shù)與原微分方程系數(shù)之間的關(guān)系。
　　文章由如下五章內(nèi)容組成:
　　第一章主要介紹文章研究背景與意義、目前國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀、本論文研究的結(jié)構(gòu)與安排。
　　第二章介紹基于Algaba等利用李括號(hào)方法建立起來(lái)的擬齊次軌道等價(jià)正規(guī)形理論的一般框架，主要是修正了一些關(guān)鍵引理（比如引理2.10、引理2.16等）中的筆誤并給出詳細(xì)的證明;同時(shí)對(duì)正規(guī)形進(jìn)一步簡(jiǎn)化（以消去更多的系統(tǒng)參數(shù)）。
　　第三章介紹擬齊次共軛等價(jià)與軌道等價(jià)正