曲線曲面設(shè)計與逼近的若干前沿問題研究.pdf

1、曲線曲面是計算機輔助幾何設(shè)計(CAGD)中的主要研究對象，CAGD中的大多數(shù)操作都是以曲線曲面為基礎(chǔ)的．而不論是參數(shù)曲線或者數(shù)據(jù)點的逼近問題，還是形狀可控的曲線曲面的設(shè)計問題，它們都在實際生產(chǎn)中具有十分重要的實用價值，因而一直成為人們關(guān)注的熱點之一．本文圍繞這兩類問題展開了深入的研究，取得了以下豐富的創(chuàng)新性理論成果：
　　 1．有理曲線任意高階導(dǎo)矢的hybrid多項式逼近：對于有理Bézier曲線的Hybrid多項式逼近問題，證

2、明了當(dāng)有理Bézier曲線的Hybrid逼近曲線滿足收斂性條件時，那么Hybrid多項式曲線的任一高階導(dǎo)數(shù)均一致收斂到有理Bézier曲線的同階導(dǎo)數(shù)．這個結(jié)論保證了當(dāng)我們用Hybrid逼近曲線來近似有理Bézier曲線的同時，使得其具有更高的幾何接觸階，從而令有理Bézier曲線的逼近效率大大提高，逼近對象急劇擴展．其主要方法是利用Hybrid多項式在不同次數(shù)下的遞推關(guān)系，將逼近的誤差分析轉(zhuǎn)化為對2s次Bernstein基函數(shù)以及一條n

3、次有理Bézier曲線的高階導(dǎo)矢的估計，此有理曲線的控制頂點依賴于Hybrid多項式曲線移動控制頂點的控制頂點，以及其凸包內(nèi)的任意固定一點．
　　 2．參數(shù)曲線曲面的漸進迭代逼近：給定初始數(shù)據(jù)點，通過不斷的迭代調(diào)整混合曲線或曲面的控制頂點，由此得到一組曲線序列或者曲面序列，隨著迭代次數(shù)的增加，參數(shù)曲線和數(shù)據(jù)點的距離越來越近，從而使得極限曲線或曲面能夠插值初始的控制頂點，這一方法被稱為漸進迭代逼近方法．如果只是插值給定數(shù)據(jù)點中的一

4、部分而非全部，就得到局部漸進迭代逼近方法．本文將這一方法推廣到三角域上，得出在均勻參數(shù)下三角Bézier曲面也具有這一漸進迭代逼近性質(zhì)．主要的方法是利用多元Bernstein算子的特征值與單元Bernstein算子的特征值相同這一事實，得到三角Bernstein基函數(shù)在均勻參數(shù)處的配置矩陣的特征值取值范圍．與此同時，本文創(chuàng)新地給出漸進迭代逼近曲線曲面的顯式表示，不但計算簡單且直接，而且其結(jié)果是精確值．另外，為了得到較快的收斂速度，文中還

5、分析了帶權(quán)局部漸進迭代逼近與三角Bézier曲面的帶權(quán)漸進迭代逼近．在相同的迭代次數(shù)下，改進的方法具有更小的逼近誤差．以往的討論主要集中在基函數(shù)是全正基的情形，對于非全正基的情形，本文作了初步的探討．
　　 3．過給定測地線的近似極小曲面設(shè)計：測地線是CAGD中一類具有重要應(yīng)用價值的空間曲線．給定測地線，過給定測地線的曲面設(shè)計由于其廣泛的應(yīng)用前景，近年來被許多學(xué)者所關(guān)注．另一方面，極小曲面或者近似極小曲面在工程中也有重要的地位．

6、鑒于在服裝鞋帽制造業(yè)及材料剪裁中廣泛地采用過給定測地線且具有近似極小面積的曲面，本文把以上兩種技術(shù)加以有機的結(jié)合，給出了簡單、可行的方法來設(shè)計此種曲面，分別在弧長參數(shù)和一般參數(shù)下進行了討論．最后，還有一些具體的實例驗證了算法的正確與有效．
　　 4．兩類帶形狀參數(shù)的多項式曲線設(shè)計：在CAGD/CAD系統(tǒng)中，參數(shù)曲線曲面的表示及其形狀控制一直都受到廣泛的關(guān)注和研究，而這之中，基函數(shù)的選擇又是至關(guān)重要的．基于Bernstein基函數(shù)

7、的一些優(yōu)良性質(zhì)，它在CAGD/CAD系統(tǒng)中扮演著重要的角色．近年來，有不少文獻研究了帶形狀參數(shù)的參數(shù)化曲線曲面．本文改進了Han等人[HMH08]提出的一類廣義Bernstein基函數(shù)，不僅繼承了傳統(tǒng)Bernstein基函數(shù)的大部分性質(zhì)，也保留了原廣義Bernstein基函數(shù)的形狀參數(shù)性質(zhì)，同時還給出了其與傳統(tǒng)Bernstein基函數(shù)的轉(zhuǎn)化公式和升階公式，給出了由改組基構(gòu)造的新的Q-Bézier曲線曲面及其相應(yīng)性質(zhì)．與此同時，本文構(gòu)造了