圖像處理中的變分PDE和稀疏表示的理論與算法研究.pdf

1、圖像科學(xué)是一門集多學(xué)科于一體的交叉學(xué)科，與相關(guān)學(xué)科(特別是數(shù)學(xué)學(xué)科)的基礎(chǔ)理論在該學(xué)科的成功應(yīng)用密不可分。在圖像處理中，無論是圖像模型的建立，圖像特征的描述，圖像處理算子的設(shè)計，還是圖像優(yōu)化處理中的范函極小化，最終都?xì)w結(jié)為一個數(shù)學(xué)理論問題。特別是近年來，以變分偏微分方程(PDE)方法和稀疏表示為代表的數(shù)學(xué)工具活躍在圖像處理的各個研究領(lǐng)域，并逐步為人們所接受。本文在對變分PDE及稀疏表示的理論進(jìn)行深入研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步討論了它們在圖像處

2、理中的聯(lián)合應(yīng)用問題，得到了一些新的有意義的算法。 本文的研究成果主要有以下幾個方面： 1.用直接的偏微分方程提出了一種新的半離散的非線性圖像增強方法； 針對Perona-Malik(P-M)各向異性擴(kuò)散方程在去噪的同時不能保留尖峰及邊緣細(xì)節(jié)的缺點，借助彈簧體模型和穩(wěn)定的逆擴(kuò)散方程(SIDEs)不連續(xù)右端的基本思想，將P-M方程的右端修正為一種不連續(xù)的形式，提出了一種新的半離散的非線性圖像增強方法。同時，對該擴(kuò)散方

3、法提出了兩種數(shù)值求解方案：顯式方案和可加算子分裂(AOS)的迭代格式。在顯式方案中，通過一個特殊的矩陣分解能大大減少濾波過程的運算量；在AOS方案中，對時間步長沒有限制，從而可以選擇較大的時間步長，提高了運算效率。實驗表明，該擴(kuò)散進(jìn)程既有很好的平滑效果，又能增強圖像邊緣，且運算時間較短。 2.結(jié)合變分PDE和小波(Wavelet)這兩個數(shù)學(xué)工具，分別在圖像盲復(fù)原、圖像去噪和圖像去模糊領(lǐng)域提出了三種新的算法； 結(jié)合變分PD

4、E和小波這兩個數(shù)學(xué)工具，提出了一種新的圖像盲復(fù)原方法，即基于Besov空間的圖像盲復(fù)原算法。該算法用一個B11,1，項代替BV，采用交替最小化的思想在小波域上求解，將全變差盲復(fù)原中求解復(fù)雜的偏微分方程轉(zhuǎn)化為簡單的小波軟閾值問題，提高了算法的運算效率，減少了圖像的階梯現(xiàn)象。 結(jié)合Tadmor，Nezzar和Vese的多尺度圖像分解的想法和Jiniun Xu等人的迭代方案，做了如下工作：提出了一種用于圖像去噪的基于小波的多尺度迭代正

5、則化和非線性逆尺度空間的方法，該方法可以參考Jinjun Xu等人的方法，得到軟硬閾值結(jié)合的迭代方案；進(jìn)一步提出了一種用于圖像去模糊的基于小波的多尺度迭代正則化方法，該方法利用凸分析里面的一些重要結(jié)論，得到了一個由去模糊的梯度下降方程和小波軟閾值組成的迭代方案。新方法的核心是利用權(quán)參數(shù)λ在迭代程序中的單調(diào)增加，加快了收斂速度，提高了圖像的信噪比，有較好的視覺效果。此外，也給出了新方法的停止標(biāo)準(zhǔn)和一些好的性質(zhì)，如單調(diào)性和收斂性等。實驗表明

6、了它的有效性。 3.圍繞著變分圖像分解模型出現(xiàn)的不足，提出了三種圖像分解算法； 首先從對偶范數(shù)的角度提出了兩種自適應(yīng)的圖像分解方法。它們在變分的框架下用自適應(yīng)的正則化范數(shù)表示結(jié)構(gòu)和紋理部分，這種自適應(yīng)的特點不僅很好地保護(hù)了圖像的特征而且減少了光滑區(qū)域的階梯現(xiàn)象。模型的數(shù)值計算是通過最小化一類凸函數(shù)，交替迭代變量來實現(xiàn)的：其次從曲線波(Curvelet)變換和變分相結(jié)合的角度提出了一種基于Curvelet域的圖像復(fù)原和分解

7、算法。首先在負(fù)指數(shù)Hilbert-Sobolev空間推廣了Daubechies-Teschke模型，接著對推廣的模型在Curvelet域上進(jìn)行處理。實驗結(jié)果表明該模型不僅可以很好地分解圖像、去除噪聲，而且可以去模糊，使圖像有較好的視覺效果。 4.結(jié)合變分PDE和稀疏表示的理論，分別在圖像分解和圖像修補領(lǐng)域提出了三種快速有效的算法。 針對Starck等人提出的形態(tài)學(xué)成分分析方法(MCA)的不足，提出了三種快速有效的算法。三

8、種算法的基本思想都是用兩個適當(dāng)?shù)淖值洌阂粋€用來描述紋理部分一對偶樹復(fù)小波變換，另一個用來描述結(jié)構(gòu)部分一第二代曲線波變換。在三種算法中，對紋理部分的處理方法相同，而對于附加的TV罰項的處理方法略有不同： 第一種算法是在投影正則化方法的基礎(chǔ)上，將TV罰項和第二代曲線波結(jié)合起來，得到了一種結(jié)合優(yōu)化稀疏表示和投影正則化的圖像分解方法： 第二種算法是將TV罰項用空間G1/2 1,1的范數(shù)代替，把結(jié)構(gòu)部分的分解在曲線波域上進(jìn)行處理，