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1、本文主要對(duì)帶自由界面的三層平面光波導(dǎo)中泄漏模的漸近解進(jìn)行了一定的分析。 首先,由于原始問題中的x是無界的,不能用數(shù)值方法有效地解決,因此就人為引進(jìn)邊界條件,將無界問題轉(zhuǎn)化為有界問題。 由于要研究的問題在一般情況下是個(gè)彎曲界面,分析過程是比較復(fù)雜的。因此,為了突出漸近分析,首先在平坦界面下對(duì)問題進(jìn)行研究,一方面,平坦界面情形下,可以比較容易地導(dǎo)出精確的特征方程,使得我們能把更多的精力放在漸近方法的研究上;另一方面,研究彎曲
2、界面的時(shí)候,可以將平坦界面情形的結(jié)果作為衡量曲線情形結(jié)果的一個(gè)尺度,理論上,當(dāng)曲線退化為直線時(shí),曲線情形下的結(jié)果應(yīng)該跟直線情形一致。 在研究自由彎曲界面時(shí),可以用傳統(tǒng)的方法如折線法,可是這種方法如果分段比較粗容易產(chǎn)生比較大的誤差,而如果分段太細(xì)則計(jì)算量又太大,因此不是很理想的方法。所以,在各層采用局部正交坐標(biāo)變換,將彎曲界面“拉直”,從而使得轉(zhuǎn)化后的問題具有平坦界面。 在局部正交變換中,構(gòu)造函數(shù):使它們滿足正交條件和邊界
3、(界面)條件,同時(shí),為了使變換后的方程不含有V<,z>項(xiàng),令u=WV,即得到的變換之后的方程為:,然后考慮其特征方程:,由于界面曲線波動(dòng)非常小,可以近似認(rèn)為β≈0,這樣一來,特征方程就被近似轉(zhuǎn)化為接著,利用WKB方法近似處理這個(gè)特征方程。代入特征方程后,在假設(shè)之下,可以得到特征方程的近似解,這個(gè)近似解中含有兩個(gè)未知參數(shù),當(dāng)然也含有特征值。由于在所劃分的四層中,變換各不相同,近似解中含有的未知參數(shù)也各不相同,這樣就有了八個(gè)未知參數(shù),需要八
4、個(gè)方程來確定。除了給定的邊界條件和界面條件一共六個(gè)外,還人為再加了一個(gè)界面條件,這個(gè)條件其實(shí)也是很顯然的。對(duì)這八個(gè)方程進(jìn)行了處理后,推出一個(gè)比較復(fù)雜的僅含特征值的方程,所幸,這個(gè)特征值方程的形式與平坦界面下的特征值方程的形式非常相似,于是就仿造平坦界面的處理方式對(duì)它進(jìn)行了處理。其中,為了使最后的漸近解具有比較好的形式,做了一定近似處理,但是這些近似都是誤差很小的,因而也是可行的。 導(dǎo)出漸近解后,一方面考察它在極限情形下與直線的一
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