區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項(xiàng)式逼近的性態(tài)畢業(yè)設(shè)計(jì)

1、<p>　　區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項(xiàng)式逼近的性態(tài)</p><p>　　摘 要：在實(shí)際的應(yīng)用中，經(jīng)常遇到這樣的問(wèn)題：為解析式子比較復(fù)雜的函數(shù)尋找一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)近似代替它，并要求其誤差在某種度量下意義下最?。@就是用多項(xiàng)式來(lái)逼近函數(shù)問(wèn)題的研究</p><p>　　本文主要討論了區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項(xiàng)式逼近的性態(tài)．首先給出了在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項(xiàng)式逼近的相關(guān)結(jié)論——Weierstrass逼

2、近定理，是Weierstrass于1885年提出的，這條定理保證了閉區(qū)間上的任何連續(xù)函數(shù)都能用多項(xiàng)式以任意給定的精度去逼近．通過(guò)引用Bernstein多項(xiàng)式和切比雪夫多項(xiàng)式給出了相應(yīng)的證明．其次列出了Bernstein多項(xiàng)式以及由Bernstein算子推廣得到的Kantorovich算子它們的概念、一些具體的性質(zhì)以及推廣和應(yīng)用． 最后，引進(jìn)推廣到無(wú)窮區(qū)間上的S．Bernstein多項(xiàng)式，進(jìn)一步研究了無(wú)窮區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項(xiàng)式逼近的性態(tài)，

3、并得到了相關(guān)結(jié)論．</p><p>　　關(guān)鍵詞： Weierstrass逼近定理；Bernstein多項(xiàng)式；Kantorovich算子；S．Bernstein多項(xiàng)式；無(wú)窮區(qū)間</p><p>　　Polynomial approximation of continuous</p><p>　　functions on the interval property<

4、;/p><p>　　Abstract：In practical applications， often encounter this problem: to find a polynomial to approximate the more complex function of the analytical formula， and requested the minimum of the error is som

5、e kind of metric significance． This is the polynomial approximation function problems．</p><p>　　This article focuses on the behavior of interval polynomial approximation of continuous functions． Firstly， the

6、 conclusions continuous function on a closed interval with a polynomial approximation - Weierstrass approximation theorem， is weierstrass 1885， which Article theorem guarantees of any continuous function on the closed in

7、terval can use polynomials to approximate any given accuracy． Through quoted the Bernstein multinomial and the Chebyshev multinomial has given the corresponding proof． N</p><p>　　Key words：Weierstrass approx

8、imation theorem， Bernstein polynomials; Kantorovich operator; S．Bernstein polynomial; infinite interval</p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　第1章緒論1</b></p><p>　　

9、1．1 區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項(xiàng)式逼近的性態(tài)研究的背景1</p><p>　　1．2 區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項(xiàng)式逼近的性態(tài)研究的意義1</p><p>　　第2章Weierstrass逼近定理的證明及應(yīng)用3</p><p>　　2．1 Weierstrass逼近定理的第一種證明3</p><p>　　2．1．1 Weierstras

10、s逼近定理的Bernstein證明3</p><p>　　2．1．2 閉區(qū)間上的weierstrass逼近定理6</p><p>　　2．2 Weierstrass逼近定理的第二種證明6</p><p>　　2．3 Weierstrass逼近定理的推廣9</p><p>　　2．3．1 Weierstrass第二定理9<

11、;/p><p>　　2．3．2 Weierstrass-Stone定理10</p><p>　　2．3．3 Weierstrass逼近定理的逆定理11</p><p>　　第3章Bernstein多項(xiàng)式和Kantorovich算子13</p><p>　　3．1 Bernstein多項(xiàng)式13</p><p>

12、;　　3．1．1 Bernstein多項(xiàng)式的定義13</p><p>　　3．1．2 Bernstein算子的一些性質(zhì)14</p><p>　　3．2 Kantorovich算子19</p><p>　　3．2．1 Kantorovich算子的定義19</p><p>　　3．2．2 Kantorovich算子的性質(zhì)20&

13、lt;/p><p>　　3．2．3 Lebesgue可積函數(shù)的Kantorovich算子逼近21</p><p>　　3．2．4 加權(quán)的Kantorovich算子22</p><p>　　第4章S．Bernstein多項(xiàng)式在無(wú)窮區(qū)間上的推廣25</p><p>　　4．1 無(wú)窮區(qū)間上S．Bernstein多項(xiàng)式的定義25</

14、p><p>　　4．2 無(wú)窮區(qū)間上S．Bernstein多項(xiàng)式逼近定理25</p><p>　　第5章結(jié) 論33</p><p>　　參考文獻(xiàn)…………………………………………………………………………………35</p><p><b>　　致 謝37</b></p><p><b&

15、gt;　　緒論</b></p><p>　　1．1 區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項(xiàng)式逼近的性態(tài)研究的背景</p><p>　　眾所周知，逼近的思想和方法滲透于幾乎所有的科學(xué)，其中包括自然學(xué)科和人文學(xué)科．逼近論是一門(mén)研究各類(lèi)函數(shù)性質(zhì)的學(xué)科，同時(shí)它又是計(jì)算數(shù)學(xué)、科學(xué)工程計(jì)算諸多數(shù)值方法（包括函數(shù)計(jì)算、數(shù)值微分、微分、積分方程數(shù)值解，曲線、曲面生成以及數(shù)據(jù)處理等等）的理論基礎(chǔ)和方法根據(jù)．&l

16、t;/p><p>　　函數(shù)逼近論是一門(mén)歷史悠久內(nèi)容豐富而且實(shí)踐性很強(qiáng)的學(xué)科，是數(shù)學(xué)中最蓬勃發(fā)展的領(lǐng)域之一．其發(fā)展經(jīng)歷了一個(gè)相當(dāng)漫長(zhǎng)的時(shí)期．早在十九世紀(jì)五十年代，人們已經(jīng)對(duì)函數(shù)逼近論有了深入的研究．1859年Chebyshev提出的最佳逼近的特征定理、1885年Weierstrass所建立的關(guān)于連續(xù)函數(shù)可以用多項(xiàng)式逼近的著名定理，使得函數(shù)逼近成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支．</p><p>　　但函

17、數(shù)逼近論作為一門(mén)獨(dú)立的學(xué)科得以蓬勃發(fā)展卻是上個(gè)世紀(jì)Jackson，Bernstein以及蘇聯(lián)學(xué)派的一系列深刻工作所推動(dòng)的．Bernstein多項(xiàng)式在函數(shù)逼近論中是一個(gè)古典的工具，也是迄今為止最受人們注意的正線性算子．它在逼近論中的地位，顯然是由Bernstein收斂定理確立的．但是遺憾的是，它的收斂速度十分緩慢． 此外，由Bernstein算子變形產(chǎn)生了許多算子．</p><p>　　沈燮昌對(duì)函數(shù)逼近論的發(fā)展做了

18、一個(gè)較為詳盡的總結(jié)和概括，其中說(shuō)函數(shù)逼近論不僅研究實(shí)變函數(shù)域多項(xiàng)式的逼近問(wèn)題，而且還研究其他函數(shù)系諸如有理函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、無(wú)理函數(shù)、逐段多項(xiàng)式的最佳逼近以及復(fù)數(shù)域上各種函數(shù)系的最佳逼近．</p><p>　　本文通過(guò)證明Weierstrass逼近定理，以及對(duì)Bernstein多項(xiàng)式和由Bernstein算子推廣得到Kantorovich算子的研究，引入S．Bernstein多項(xiàng)式將對(duì)連續(xù)函數(shù)用多項(xiàng)式逼近的性態(tài)的研

19、究閉區(qū)間推廣到無(wú)窮區(qū)間等．</p><p>　　1．2 區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項(xiàng)式逼近的性態(tài)研究的意義</p><p>　　在計(jì)算機(jī)的時(shí)代，逼近論正以前所未有的速度，迅速地向前發(fā)展著．函數(shù)逼近問(wèn)題是從繪圖學(xué)、機(jī)械設(shè)計(jì)等實(shí)際需要中提出來(lái)的．函數(shù)逼近理論的研究具有悠久的歷史，其研究的核心為用簡(jiǎn)單函數(shù)來(lái)逼近一類(lèi)較為復(fù)雜的函數(shù)，其中心問(wèn)題是研究各類(lèi)函數(shù)的光滑性與逼近程度的相互關(guān)系．</p>

20、;<p>　　多項(xiàng)式問(wèn)題的研究是一個(gè)古老但非常有意義的問(wèn)題，它在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中占有重要地位．多項(xiàng)式逼近是數(shù)值分析中的最重要的方法之一，因?yàn)槎囗?xiàng)式便于計(jì)算，便于求導(dǎo)數(shù)，求積分．因此多項(xiàng)式逼近在數(shù)學(xué)分析和數(shù)值逼近理論中一直占有十分重要的位置，人們不斷從各個(gè)角度研究其逼近的方法和應(yīng)用．隨著數(shù)學(xué)理論研究的深入和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，由于電子計(jì)算機(jī)只能做算術(shù)運(yùn)算，因此，在計(jì)算機(jī)上計(jì)算函數(shù)必須用其他簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)逼近（例如用多項(xiàng)式來(lái)逼近函數(shù)），

21、且用它來(lái)代替原來(lái)精確的函數(shù)計(jì)算．多項(xiàng)式函數(shù)由于其計(jì)算上的簡(jiǎn)單性 ，在數(shù)值近似理論以及工程計(jì)算方面有著廣泛的應(yīng)用．</p><p>　　在實(shí)際的應(yīng)用中，經(jīng)常遇到這樣的問(wèn)題：為解析式子比較復(fù)雜的函數(shù)尋找一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)近似代替它，并要求其誤差在某種度量下意義下最?。@就是用多項(xiàng)式來(lái)逼近函數(shù)問(wèn)題的研究．在現(xiàn)實(shí)生活中，對(duì)于某些具體問(wèn)題，我們可以觀察很多數(shù)據(jù)，用觀察法很難發(fā)現(xiàn)規(guī)律，但利用多項(xiàng)式逼近來(lái)研究實(shí)際問(wèn)題的規(guī)律，往往能簡(jiǎn)

22、化用來(lái)擬合觀測(cè)數(shù)據(jù)的復(fù)雜函數(shù)，使得問(wèn)題簡(jiǎn)化，從而多項(xiàng)式逼近問(wèn)題在數(shù)學(xué)領(lǐng)域和實(shí)際生活領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用．因此，研究區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項(xiàng)式逼近的性態(tài)，進(jìn)而對(duì)其進(jìn)一步研究有著十分重要的意義．</p><p>　　Weierstrass逼近定理的證明及應(yīng)用</p><p>　　在一致逼近的理論中，遇到的第一個(gè)問(wèn)題是:在預(yù)先給定的精度下，能否用多項(xiàng)式逼近任意給定的連續(xù)函數(shù)? 1985年，Weier

23、strass對(duì)這個(gè)問(wèn)題給出了肯定回答．Weierstrass逼近定理是函數(shù)逼近論中的重要定理之一，該定理闡述了在預(yù)先給定的精度下，可以用多項(xiàng)式逼近任意給定的閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)．</p><p>　　Weierstrass逼近定理 </p><p>　　設(shè) ，則存在多項(xiàng)式 ，</p><p>　　使 ．</p>

24、;<p>　　2．1 Weierstrass逼近定理的第一種證明</p><p>　　2．1．1 Weierstrass逼近定理的Bernstein證明 </p><p>　　對(duì)于這個(gè)著名的定理，有多種不同的證明方法．下面將給出Bernstein的證明．</p><p>　　定義2.1 設(shè)，的第個(gè)Bernstein多項(xiàng)式由下式給出:</p

25、><p>　　． （2-1）</p><p><b>　　顯見(jiàn)．</b></p><p>　　引理2.1 下列恒等式成立:</p><p><b>　　(1)，</b></p><p><b>　　(2)，</b></p>

26、<p><b>　　(3)．</b></p><p>　　引理2.2 對(duì)任意給定的 及，有</p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中求和號(hào)表示對(duì)固定的滿足不等式的求和．</p><p>　　該引理的意義在于當(dāng)很大時(shí)，在和式中，起主要作用的只是滿足條件的那些值所對(duì)應(yīng)的

27、項(xiàng)的和，而其余的項(xiàng)對(duì)和的值無(wú)多大影響．</p><p>　　證明： 我們從(1)知，</p><p><b>　　因此兩邊同時(shí)乘以有</b></p><p><b>　　．</b></p><p><b>　　對(duì)任意，我們有</b></p><p>&l

28、t;b>　　+．</b></p><p>　　由于在處連續(xù)，對(duì)任給，存在，使得</p><p>　　當(dāng) 時(shí)，，</p><p><b>　　故第一個(gè)和式</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　又由在

29、上連續(xù)，所以存在，使得</p><p><b>　?。?</b></p><p>　　故由引理2.2，第二個(gè)和</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　因此，對(duì)任何，先取，使得</p><p>　　當(dāng) 時(shí)，</p>

30、;<p>　　然后固定，再取充分大，就有．證畢． </p><p>　　注意到我們?cè)诙ɡ淼淖C明中，對(duì)第一個(gè)和只用到在處連續(xù)，對(duì)第二個(gè)和只用到在上有界．因此有</p><p>　　Bernstein定理 ： 設(shè)在上有界，則在任何的連續(xù)點(diǎn)成立．如果，則極限在上一致成立．</p><p>　　注 (1) 若有界函數(shù)在點(diǎn)處存在有限的二階導(dǎo)數(shù)，</p

31、><p><b>　　則，其中．</b></p><p>　　(2) 若在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則一致收斂于．</p><p>　　(3) 設(shè)，那么在上一致地成立．</p><p>　　(4) 若，，那么，，．</p><p>　　(5) 若在上是非減的，那么在上也是非減的．</p><

32、p>　　(6) 若在上是凸的，那么在上也是凸的．</p><p>　　由以上的推論可知，一個(gè)連續(xù)函數(shù)的Bernstein多項(xiàng)式逼近與被逼近函數(shù)的極值和高階導(dǎo)數(shù)有關(guān)，并且單調(diào)的和凸的函數(shù)分別產(chǎn)生單調(diào)的和凸的逼近．</p><p>　　2．1．2 閉區(qū)間上的weierstrass逼近定理</p><p>　　設(shè)，則存在多項(xiàng)式，使得</p><

33、p>　?。?（2-2）</p><p><b>　　證明： 令，則有．</b></p><p>　　因?yàn)?，所以是定義在上的連續(xù)函數(shù)，</p><p>　　于是由Weierstrass逼近定理知存在多項(xiàng)式，使得對(duì)于一切，有</p><p><b>　?。?lt;/b>&

34、lt;/p><p>　　也就是 ．證畢．</p><p>　　2．2 Weierstrass逼近定理的第二種證明</p><p>　　首先引入切比雪夫多項(xiàng)式(Chebyshev’s polynomials)的一個(gè)多項(xiàng)式核．</p><p>　　引理2.3 恒等式cos為真，</p><p><b&g

35、t;　　其中為某些常數(shù)．</b></p><p>　　推論2.3 當(dāng)時(shí)，恒等式</p><p><b>　　成立．</b></p><p>　　定義2.2 稱(chēng)多項(xiàng)式為次切比雪夫多項(xiàng)式．</p><p>　　設(shè)是次切比雪夫多項(xiàng)式，對(duì)任意，在 上令</p><p>　　，其中．

36、 （2-3）</p><p>　　如上定義的在定理證明中將起到多項(xiàng)式核的作用．它具有下列性質(zhì):</p><p>　　性質(zhì)1 是次多項(xiàng)式，且是偶數(shù)．</p><p>　　性質(zhì)2 由定義顯然有下面的恒等式．</p><p>　　性質(zhì)3 對(duì)于 何，及都有．</p><p>　　證明：由第一種證明可知，我們只需證明的情

37、況即可．首先將連續(xù)開(kāi)拓到上．</p><p>　　例如，我們令 顯然，在上一致連續(xù)．</p><p>　　對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，以為核構(gòu)造函數(shù)</p><p>　?。?(2-4)</p><p>　　由于 是次多項(xiàng)式，故．所以</p><p><b>　　，</b>

38、</p><p>　　其中是常數(shù)，故而是一個(gè)次的多項(xiàng)式．</p><p>　　令，(2-4)就變?yōu)?lt;/p><p><b>　　(2-5)</b></p><p><b>　　由性質(zhì)2，可得</b></p><p><b>　　=</b></p&g

39、t;<p><b>　　+</b></p><p><b>　　+</b></p><p><b>　　+．</b></p><p>　　將上式中最后所得三個(gè)積分依次記為．</p><p>　　由于在上一致連續(xù)，故對(duì)任意，存在．當(dāng)時(shí)必有， (2-

40、6)</p><p>　　所以 ．</p><p><b>　　設(shè)，那么</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　所以

41、 ．</p><p>　　因此，對(duì)任意，先取定，使(2-6)成立，然后固定，再取充分大就有．證畢．</p><p>　　2．3 Weierstrass逼近定理的推廣</p><p>　　2．3．1 Weierstrass第二定理</p><p>　　Weierstrass逼近定理說(shuō)明了可以用多項(xiàng)式來(lái)逼近上的連續(xù)函數(shù)，Weierstras

42、s第二定理將給出關(guān)于三角多項(xiàng)式和周期連續(xù)函數(shù)的一個(gè)相應(yīng)的結(jié)論．</p><p>　　設(shè)，對(duì)任意，存在三角多項(xiàng)式，使得對(duì)于一切實(shí)數(shù)，都有．其中表示上以為周期的連續(xù)函數(shù)集合．</p><p>　　也就是說(shuō)，任何具有周期的連續(xù)函數(shù)都能用三角多項(xiàng)式一致地逼近．</p><p>　　引理2.4 若，則對(duì)于任何，等式都成立．</p><p>　　引理2.

43、5 對(duì)任何有下面的恒等式．</p><p>　　引理2.6 對(duì)于一切實(shí)數(shù)，一致地有 ．</p><p><b>　　其中，．</b></p><p>　　要想由此推得Weierstrass第二定理，只須證明是一個(gè)三角多項(xiàng)式即可．為此，我們需要下列引理．</p><p>　　定義2.3 若，則稱(chēng)三角多項(xiàng)式</p>

44、;<p>　　的階為． （2-7）</p><p>　　引理2.7 兩個(gè)三角多項(xiàng)式的乘積仍為一個(gè)三角多項(xiàng)式，且其階等于兩因子階之和．</p><p>　　引理2.8 若三角多項(xiàng)式為一偶函數(shù)，即，則</p><p>　　它可以表示成的形式，即式中不含倍角的正弦．</p><p>　　2．3．2 Weierstr

45、ass-Stone定理 </p><p>　　設(shè)是某個(gè)度量空間中的任意子集，它至少包含兩個(gè)不同的元素，并且在上成立有限覆蓋定理．設(shè)定義在上的實(shí)函數(shù)系組成一個(gè)線性空間，且構(gòu)成一個(gè)環(huán)，這個(gè)環(huán)包含常數(shù)，且對(duì)于中任意兩個(gè)不同的元素，，在環(huán)中存在函數(shù)，使，于是對(duì)于上定義的任意一個(gè)實(shí)連續(xù)函數(shù)，對(duì)于任給，在上存在元素，使得有</p><p><b>　?。?lt;/b></p&g

46、t;<p>　　利用Stone定理可以得到很多有用的逼近定理，例如下面的有理函數(shù)逼近定理</p><p>　　設(shè)，則任給，存在有理函數(shù)， 使</p><p><b>　　，．</b></p><p>　　其中表示分子的次數(shù)不大于分母次數(shù)的全體實(shí)系數(shù)有理函數(shù)空間．</p><p>　　2．3．3 Weie

47、rstrass逼近定理的逆定理</p><p>　　Weierstrass逼近定理從正面闡述了連續(xù)函數(shù)可以用多項(xiàng)式來(lái)逼近的重要性質(zhì)，反之，如果一個(gè)定義在閉區(qū)間上的函數(shù)能用多項(xiàng)式逼近，則該函數(shù)必然是連續(xù)函數(shù)．</p><p>　　定理 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)定義在閉區(qū)間上的函數(shù)，如果滿足對(duì)，都存在這樣的多項(xiàng)式，使不等式</p><p>　　成立，那么函數(shù)必然是連續(xù)函數(shù)．&l

48、t;/p><p>　　由此，我們得到如下結(jié)論，這可以作為Weierstrass逼近定理的補(bǔ)充或充要條件．</p><p>　　結(jié)論1 的充分必要條件是: </p><p>　　對(duì)，都存在一個(gè)多項(xiàng)式使不等式 成立．</p><p>　　結(jié)論2 函數(shù)是連續(xù)函數(shù)或是與一個(gè)連續(xù)函數(shù)幾乎處處相等的函數(shù)的充分必</p><p>　

49、　要條件是:對(duì)，都存在一個(gè)多項(xiàng)式使不等式</p><p>　　成立．這里為零測(cè)度集．</p><p>　　例1: 設(shè)函數(shù)定義在閉區(qū)間上，且在該區(qū)間上與一個(gè)連續(xù)函數(shù)幾乎處處相等，則</p><p><b>　　，</b></p><p>　　成立的充分必要條件是在上幾乎處處成立．</p><p>　

50、　證明： 充分性顯然，只需證明必要性．</p><p>　　由條件有，，其中是上的零測(cè)度集． 所以</p><p><b>　　0=</b></p><p><b>　　==</b></p><p><b>　　因此可得，</b></p><p>　　注

51、意當(dāng)時(shí)， ，所以，．證畢．</p><p><b>　　注 設(shè)函數(shù)．則</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　成立的充分必要條件是: ，．</p><p>　　Bernstein多項(xiàng)式和Kantorovich算子</p><p>　　3．1

52、Bernstein多項(xiàng)式</p><p>　　3．1．1 Bernstein多項(xiàng)式的定義</p><p>　　Bernstein多項(xiàng)式在函數(shù)逼近論中是一個(gè)古典的工具，也是迄今為止最受人們注意的正線性算子．它在逼近論中的地位，顯然是由Bernstein收斂定理確立的．但是遺憾的是，它的收斂速度十分緩慢．</p><p>　　Bernstein逼近，就是利用著名的Be

53、rnstein算子:</p><p>　　對(duì)函數(shù)進(jìn)行逼近，這是一類(lèi)經(jīng)典而豐富的研究課題，它可以追溯</p><p>　　到1912年，從那時(shí)起已有近千篇關(guān)于這一課題的論文出版．從提供計(jì)算工具的觀</p><p>　　點(diǎn)來(lái)看，由顯式表示出來(lái)的算子(即在計(jì)算上具有能行性的算子)一般最受歡</p><p>　　迎．Bernstein算子作為具有顯式

54、表示的正線性算子，以其結(jié)構(gòu)形式的簡(jiǎn)單優(yōu)美</p><p>　　及許多良好的性質(zhì)吸引了許多人去研究推廣它．羅馬尼亞數(shù)學(xué)家D．D．Stancu是</p><p>　　研究Bernstein算子的大專(zhuān)家，它引進(jìn)的一類(lèi)廣義Bernstein算子具有豐富的概括性，由于它所構(gòu)造的都是顯式表示的線性算子，所以在實(shí)際計(jì)算上都是可用的，而且也有逼近偏差的估計(jì)．此外，由Bernstein算子變形產(chǎn)生了許多算子

55、，諸如:</p><p>　　Szasz一Mirakjan算子: </p><p>　　BaskakoV算子: </p><p>　　Kantorovich算子: 等等．</p><p>　　設(shè)．對(duì)于任意的，定義多項(xiàng)式</p><p><b>　?。?-1）</b></p><

56、p>　　稱(chēng)它為f的n次Bernstein多項(xiàng)式，這中多項(xiàng)式是1912年由Bernstein給出的，他并且證明了：當(dāng)f在上連續(xù)時(shí)</p><p><b>　　（3-2）</b></p><p><b>　　對(duì)一致地成立．</b></p><p>　　Bernstein多項(xiàng)式一直是函數(shù)逼近論中的重要工具和研究對(duì)象．我們討

57、論連續(xù)函數(shù)f．由Bernstein逼近定理．當(dāng)n充分大時(shí)，是f的一個(gè)很好的逼近，f稱(chēng)為被逼近函數(shù)．</p><p>　　3．1．2 Bernstein算子的一些性質(zhì) </p><p>　　由Bernstein形式的已知性質(zhì)得</p><p><b>　?。?-3）</b></p><p>　　這就是說(shuō)，在區(qū)間的兩

58、端，插值于被逼近函數(shù)f．由端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，可以得到</p><p><b>　?。?-4） </b></p><p>　　我們從變換的觀點(diǎn)來(lái)看Bernstein多項(xiàng)式，把看成一個(gè)算子，的作用是把函數(shù)f映射成多項(xiàng)式．則是一個(gè)線性算子，也就是說(shuō)，對(duì)定義在上的函數(shù)f與g以及任何實(shí)數(shù)與，我們有</p><p><b>　?。?lt;/b>

59、;</p><p>　　如果對(duì)成立，那么對(duì)成立，這表明是正線性算子．</p><p>　　定理3．1 如果f是上的上升（下降）函數(shù)，那么也是上的上升（下降）函數(shù)．</p><p>　　證明： 設(shè)f在上是上升的，特別地</p><p>　?。?由</p><p>　　，

60、 可得結(jié)論，證畢． </p><p>　　定理3．2 設(shè)f是上的凸函數(shù)，于是</p><p><b>　　對(duì)于，在上是凸的；</b></p><p><b>　　對(duì)及成

61、立；</b></p><p>　　如果f在上連續(xù)，那么由，可以導(dǎo)出f是子區(qū)間，，上的線性函數(shù)；</p><p>　　如果f在上連續(xù)，則對(duì)及成立．</p><p>　　證明: 1．由f的凸性可知</p><p>　　對(duì)成立，由此導(dǎo)出對(duì)成立，故 是</p><p><b>　　凸函數(shù)；</b&g

62、t;</p><p><b>　　2．由升階公式得</b></p><p><b>　　因此</b></p><p><b>　?。?-5）</b></p><p><b>　　由于f在上凸，則有</b></p><p><b

63、>　　，</b></p><p><b>　　由（3-5）可得</b></p><p><b>　　，． </b></p><p>　　3．由條件和f的凸性推知</p><p><b>　?。?-6）</b></p><p>　　對(duì)成立

64、．因?yàn)閒是凸函數(shù)，在子區(qū)間中，，曲線</p><p>　　應(yīng)不在由與兩點(diǎn)所確定的直線段的上方．但</p><p>　　是（3-6）表明曲線上的點(diǎn)恰在這一段直線上，所以曲線必定與</p><p><b>　　這一段直線重合．</b></p><p>　　4．對(duì)于任何固定的，由已經(jīng)證明的第二個(gè)結(jié)論可知:任何則</p&g

65、t;<p><b>　　，． </b></p><p>　　令，根據(jù)f的連續(xù)性以及Bernstein收斂定理得，</p><p><b>　　其中．證畢．</b></p><p>　　Bernstein多項(xiàng)式序列的單調(diào)下降性蘊(yùn)含著其被逼近函數(shù)f的凸性． </p><p>　　定理3．3

66、 凸性逆定理（L．Kosmak）設(shè)f：有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)并且</p><p><b>　?。?-7）</b></p><p>　　對(duì)以及成立，那么f必然是上的凸函數(shù)．</p><p>　　證明: 首先，給出均差的概念，函數(shù)f在兩點(diǎn)，處的一階均差定</p><p><b>　　義為</b></

67、p><p>　?。?（3-8）</p><p>　　當(dāng)f有一階導(dǎo)數(shù)時(shí)，由微分學(xué)中值定理可知：存在著與之間的一個(gè)實(shí)數(shù)使得</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　f的一階均差的均差稱(chēng)為二階均差：</p><p><b>　?。?lt;/b>&

68、lt;/p><p>　　當(dāng)f有二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，二階均差與二階導(dǎo)數(shù)有以下關(guān)系</p><p>　　， （3-9）</p><p>　　其中介于的最小值與最大值之間．利用均差的記號(hào)，（3-5）右邊的Bernstein</p><p><b>　　系數(shù)可以寫(xiě)為</b></p>

69、<p><b>　　，</b></p><p>　　從二階均差的性質(zhì)可知，有一點(diǎn)，以及，使得</p><p><b>　　，．</b></p><p>　　則，（3-5）可以改寫(xiě)為</p><p><b>　　（3-10）</b></p><p&g

70、t;　　觀察上式可以發(fā)現(xiàn)，如果在它的右邊用來(lái)代替，那么除了一個(gè)數(shù)量因子</p><p>　　之外便是的次Bernstein多項(xiàng)式．這里我們指出，在n無(wú)限增</p><p>　　大至無(wú)窮的過(guò)程中，這種代替對(duì)于極限函數(shù)是沒(méi)有影響的，事實(shí)上，由于</p><p>　　對(duì)都成立，由在上的一致連續(xù)性，存在：</p><p><b>　　使得，

71、對(duì)任何，則有</b></p><p>　　， (3-11)</p><p>　　其中為任意給定的正數(shù)．因此，當(dāng)時(shí)</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　將（3-10）改寫(xiě)為</p><p><b>　

72、　，</b></p><p>　　上式右端的第一項(xiàng)將隨而趨向于，第二項(xiàng)趨于零．則得到</p><p>　　由于條件（3-7），由上式可得對(duì)，成立．由此可知</p><p>　　在上是非負(fù)的，因此f是凸函數(shù)． 證畢．</p><p>　　3．2 Kantorovich算子</p><p>　　3．2．1

73、Kantorovich算子的定義</p><p>　　在逼近問(wèn)題中，對(duì)于不同的目標(biāo)函數(shù)，采用的逼近算子也有所不同，Kantorovich算子是Bernstein算子的一種推廣．</p><p>　　在討論函數(shù)逼近問(wèn)題時(shí)，所逼近的目標(biāo)函數(shù)往往僅為L(zhǎng)ebesgue可積的．這時(shí)通常采用的是Kantorovich算子．</p><p>　　設(shè)，，Kantorovich算子定

74、義為：</p><p>　　，， (3-12)</p><p><b>　　并且有</b></p><p><b>　　．</b></p><p>　　其中，D是微分算子，S是定積分算子，即</p><p><b>　　，．</b></p&g

75、t;<p>　　由此，可以把Bernstein算子的一些性質(zhì)傳遞到Kantorovich算子．觀察Bernstein算子，可以發(fā)現(xiàn)將其中的換為區(qū)間上的值，就可以得到Kantorovich算子．</p><p>　　3．2．2 Kantorovich算子的性質(zhì)</p><p>　　特別的，當(dāng)時(shí)，Kantorovich算子具有如下性質(zhì)：</p><p>

76、　　性質(zhì)3.1 若f在上單調(diào)，則也在上單調(diào)．</p><p>　　性質(zhì)3.2 為凹連續(xù)?！?】，滿足</p><p><b>　　， ，</b></p><p><b>　　則對(duì)于一切有</b></p><p><b>　　， ．</b></p><p

77、>　　性質(zhì)3.3 設(shè)，對(duì)于一切成立</p><p><b>　　，．</b></p><p><b>　　若為凹連續(xù)模，則有</b></p><p><b>　　，．</b></p><p>　　性質(zhì)3.4 若f是Lipschitz函數(shù)，則對(duì)于一切，也是Lipschi

78、tz函數(shù)．</p><p>　　3．2．3 Lebesgue可積函數(shù)的Kantorovich算子逼近</p><p>　　先考慮Kantorovich算子對(duì)連續(xù)函數(shù)的逼近情況，有下面定理成立．</p><p><b>　　定理3．4 設(shè)，</b></p><p><b>　　，</b></

79、p><p>　　那么對(duì)于任意給定的，總可以找到一個(gè)充分大的，使得當(dāng)時(shí)，恒有</p><p><b>　　，成立．</b></p><p>　　然而，只有當(dāng)目標(biāo)函數(shù)僅為L(zhǎng)ebesgue可積時(shí)，Kantorovich算子的作用才能真正的得以發(fā)揮．</p><p>　　考慮空間 內(nèi)的可測(cè)函數(shù)，即存在．對(duì)于任意的，它們之間的距離定義

80、為．</p><p>　　并且有Minkowski不等式成立</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　以及</b></p><p><b>　　，，，，</b></p><p><b>　　若，上式可化為</b

81、></p><p>　　如果，，那么，我們說(shuō)強(qiáng)收斂于．</p><p>　　所以，對(duì)于，Kantorovich算子強(qiáng)收斂于．</p><p>　　定理3．5 設(shè)是緊的，對(duì)，</p><p>　　則對(duì)任意給定的，總可以找到一個(gè)充分大的，使得當(dāng)時(shí)，存在上具有緊支集的連續(xù)函數(shù)，有</p><p>　　， ，． (3

82、-13)</p><p>　　3．2．4 加權(quán)的Kantorovich算子</p><p>　　在這些Kantorovich算子逼近性質(zhì)的基礎(chǔ)上，我們可以對(duì)Kantorovich算子進(jìn)行推廣，從而得到加權(quán)的Kantorovich算子．</p><p>　　函數(shù)的積分可以看成在上的平均值，而在某些情形下，考慮f的不同的平均值也是很重要的．例如考慮，這也是f的一種平均

83、，但此時(shí)在中接近于1的點(diǎn)與接近于0的點(diǎn)上，對(duì)f求平均時(shí)的分量是不同的（3為正規(guī)化常數(shù)）．這種“偏重”的平均一般用一個(gè)“權(quán)”函數(shù)</p><p>　　來(lái)描述，即f在上的加權(quán)平均為．由此，定義加權(quán)的Kantorovich算子為：</p><p>　　，， （3-14）</p><p>　　注 若，，（）為與t無(wú)關(guān)的常數(shù)，則有．</p><p>

84、;　　設(shè)（）在上有上界和下界，分別記為M和m，且，則得到下面定理．</p><p>　　定理3．6 設(shè)，如（3-14）式，那么對(duì)于任意給定的，總可以找到一個(gè)充分大的，使得當(dāng)時(shí)，恒有</p><p><b>　　，，．</b></p><p><b>　　證明： </b></p><p>　　由定理3

85、．4對(duì)于任意給定的，總可以找到一個(gè)充分大的，使得當(dāng)時(shí)，恒成立</p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　取，則</b></p><p><b>　?。C畢．</b></p><p>　　S．Bernstein多項(xiàng)式在無(wú)窮區(qū)間上的推廣</p>

86、;<p>　　4．1 無(wú)窮區(qū)間上S．Bernstein多項(xiàng)式的定義</p><p>　　引進(jìn)推廣到無(wú)窮區(qū)間上的S．Bernstein多項(xiàng)式的更一般的形式</p><p><b>　?。?-1）</b></p><p>　　其中是定義在上函數(shù)，為正整數(shù)． 證明了，在的任一連續(xù)點(diǎn)處，有</p><p>　　由

87、于（4-1）式中是任意的正整數(shù)，故可根據(jù)已知函數(shù)結(jié)構(gòu)適當(dāng)?shù)倪x擇，使得的S．Bernstein多項(xiàng)式的形式簡(jiǎn)單．</p><p>　　4．2 無(wú)窮區(qū)間上S．Bernstein多項(xiàng)式逼近定理</p><p><b>　　首先介紹三個(gè)引理．</b></p><p>　　引理 4.1 設(shè)是定義在上的函數(shù)，在任一有限區(qū)間上有界， 為的連續(xù)點(diǎn)，則對(duì)于任意

88、的，對(duì)任一正整數(shù)存在，使得當(dāng)</p><p>　　時(shí)，有；且對(duì)于任意的，當(dāng)時(shí)，有</p><p><b>　　其中．</b></p><p>　　引理4.2 （，）</p><p>　　引理4.3 對(duì)，有</p><p><b>　　，．</b></p

89、><p>　　定理 4.1 設(shè)函數(shù)在上有定義 ，對(duì)每一個(gè)，在上有界，且存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，，</p><p>　　那么在的任一連續(xù)點(diǎn)處，有</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　證明：當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立．</p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，記，</b>&l

90、t;/p><p>　　由于當(dāng)時(shí)，，于是對(duì)于固定的，當(dāng)充分大時(shí)，有</p><p>　　， （為常數(shù)）</p><p><b>　　因此當(dāng)充分大時(shí)，有</b></p><p>　　由收斂，于是有收斂，于是得到</p><p><b>　　故只需證明</b></p&g

91、t;<p><b>　　我們有</b></p><p><b>　?。?-2）</b></p><p>　　應(yīng)用引理4.1和引理4.2，并采用前面的記號(hào)，選取，使得，則有</p><p><b>　　（4-3）</b></p><p><b>　　對(duì)于&

92、lt;/b></p><p><b>　?。?-4）</b></p><p>　　由于在點(diǎn)連續(xù)及引理4.1，則有</p><p><b>　?。?-5）</b></p><p>　　對(duì)于，由已知，即存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有</p><p>　　又由已知條件存在，使得對(duì)任意

93、，有，以及引理4.3，當(dāng)充分大時(shí)，</p><p><b>　?。?-6）</b></p><p>　　由于以及（4-2）、（4-3）、（4-4）、(4-5)、（4-6）式得，當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立．證畢．</p><p>　　定理4.2 若在上滿足條件</p><p><b>　　，</b></p

94、><p>　　其中為常數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)于一切，</p><p><b>　　，</b></p><p>　　那么當(dāng)時(shí)，若及，有，對(duì)成立;</p><p><b>　　若，，對(duì)成立．</b></p><p><b>　　證明：當(dāng)時(shí)，</b></p>

95、<p><b>　　所以</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　當(dāng)時(shí)，若，結(jié)論顯然成立．</p><p>　　若，應(yīng)用引理4.2及已知條件</p><p>　　當(dāng)時(shí)，對(duì)一切對(duì)，由上述推導(dǎo)有</p><p>　　所以，對(duì)于一切，

96、（）證畢．</p><p><b>　　結(jié) 論</b></p><p>　　多項(xiàng)式問(wèn)題的研究是一個(gè)古老但非常有意義的問(wèn)題，它在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中占有重要地位． 為解析式子比較復(fù)雜的函數(shù)尋找一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)近似代替它，并要求其誤差在某種度量下意義下最小，這就是用多項(xiàng)式來(lái)逼近函數(shù)問(wèn)題的研究．多項(xiàng)式逼近是數(shù)值分析中的最重要的方法之一，由于多項(xiàng)式便于計(jì)算，便于求導(dǎo)數(shù)，求積分．因此多項(xiàng)式逼

97、近在數(shù)學(xué)分析和數(shù)值逼近理論中一直占有十分重要的位置，人們不斷從各個(gè)角度研究其逼近的方法和應(yīng)用．</p><p>　　本文主要是研究區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項(xiàng)式逼近的性態(tài)．首先給出了在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項(xiàng)式逼近的相關(guān)結(jié)論——Weierstrass逼近定理： </p><p>　　設(shè)，則存在多項(xiàng)式，使</p><p><b>　　． </b></

98、p><p>　　該定理是Weierstrass于1885年提出的， 保證了閉區(qū)間上的任何連續(xù)函數(shù)都能用多項(xiàng)式以任意給定的精度去逼近．通過(guò)引用Bernstein多項(xiàng)式</p><p><b>　　和切比雪夫多項(xiàng)式</b></p><p>　　分別給出了相應(yīng)的證明．其次了解Bernstein多項(xiàng)式以及由Bernstein算子推廣得到的Kantorovi

99、ch算子</p><p><b>　　，，</b></p><p>　　它們的概念、一些具體的性質(zhì)以及推廣． 最后，引進(jìn)推廣到無(wú)窮區(qū)間上的S．Bernstein多項(xiàng)式</p><p><b>　　，</b></p><p>　　進(jìn)一步研究了無(wú)窮區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項(xiàng)式逼近的性態(tài)，并得到了相關(guān)結(jié)論．&l

100、t;/p><p>　　由于時(shí)間和能力的有限，對(duì)上述問(wèn)題只進(jìn)行了簡(jiǎn)單的分析總結(jié)．</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 林成森 數(shù)值分析[M] 北京:科學(xué)出版社，2006．</p><p>　　[2] 裴禮文 數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法[M] 北京:高等教育出版社1993．<

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