第十一節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

1、二、 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用,習(xí)題課,一、 微分中值定理及其應(yīng)用,中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,,一、 微分中值定理及其應(yīng)用,1. 微分中值定理及其相互關(guān)系,羅爾定理,,,,柯西中值定理,,,,2. 微分中值定理的主要應(yīng)用,(1) 研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài),(2) 證明恒等式或不等式,(3) 證明有關(guān)中值問題的結(jié)論,3. 有關(guān)中值問題的解題方法,利用逆向思維 , 設(shè)輔助函數(shù) .,一般解題方法:,（1）證明含一個中值的等式或根的存在 ,,(2) 若結(jié)論中涉及

2、到含同一中值的兩個不同函數(shù) ,,(3) 若結(jié)論中含兩個或兩個以上的中值 ,,可用原函數(shù)法找輔助函數(shù) .,多用羅爾定理,,可考慮用,柯西中值定理 .,必須多次應(yīng)用,中值定理 .,(4) 若已知條件中含高階導(dǎo)數(shù) , 多考慮用泰勒公式 ,,(5) 若結(jié)論為不等式 , 要注意適當(dāng)放大或縮小的技巧.,有時也可考慮對導(dǎo)數(shù)用(多次應(yīng)用)中值定理 .,例1. 設(shè)函數(shù),在,內(nèi)可導(dǎo), 且,證明,在,內(nèi)有界.,證: 取點,再取異于,的點,對,為端點的區(qū)間上

3、用拉氏中值定理,,得,(定數(shù)),可見對任意,即得所證 .,,例2. 設(shè),在,內(nèi)可導(dǎo), 且,證明至少存在一點,使,上連續(xù), 在,證: 問題轉(zhuǎn)化為證,設(shè)輔助函數(shù),顯然,在 [ 0 , 1 ] 上滿足羅爾定理條件,,故至,使,即有,少存在一點,,例3.,且,試證存在,證: 欲證,因 f ( x ) 在 [ a , b ] 上滿足拉氏中值定理條件,,故有,將①代入② , 化簡得,故有,①,②,即要證,,例4. 設(shè)實數(shù),滿足下述等式,證明方程

4、,在 ( 0 , 1) 內(nèi)至少有一,個實根 .,證: 令,則可設(shè),且,由羅爾定理知存在一點,使,即,,例5.,設(shè)函數(shù) f (x) 在[0, 3] 上連續(xù), 在(0, 3) 內(nèi)可導(dǎo), 且,分析: 所給條件可寫為,試證必存在,想到找一點 c , 使,,證: 因 f (x) 在[0, 3]上連續(xù),,所以在[0, 2]上連續(xù), 且在,[0, 2]上有最大值 M 與最小值 m,,故,,由介值定理, 至少存在一點,,由羅爾定理知, 必存在,,證:

5、,證明存在 使得,因此,對 分別在 和 應(yīng)用拉格朗日中值定理可得,由于,所以,再對 分別在 上應(yīng)用拉格朗日中值定理有,從而,,二、 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用,1. 研究函數(shù)的性態(tài):,增減 ,,極值 ,,凹凸 ,,拐點 ,,漸近線 ,,2. 解決最值問題,目標(biāo)函數(shù)的建立與簡化,最值的判別問題,3. 其他應(yīng)用 :,求不定式極限 ;,證明等式;,證明

6、不等式 ;,研究方程實根等.,的連續(xù)性及導(dǎo)函數(shù),例7. 填空題,(1) 設(shè)函數(shù),其導(dǎo)數(shù)圖形如圖所示,,單調(diào)減區(qū)間為 ;,極小值點為 ;,極大值點為 .,提示:,的正負作 f (x) 的示意圖.,單調(diào)增區(qū)間為 ;,.,

7、在區(qū)間 上是凸弧 ;,拐點為,提示:,的正負作 f (x) 的示意圖.,形在區(qū)間 上是凹弧;,則函數(shù) f (x) 的圖,(2) 設(shè)函數(shù),的圖形如圖所示,,,,,例8. 證明,在,上單調(diào)增加.,證:,令,在 [ x , x +1 ]上利用拉氏中值定理,,,,故當(dāng) x > 0 時,,從而,在,上單調(diào)增.,得,例9. 證明,

8、證: 設(shè),, 則,故,時,,單調(diào)增加,從而,即,思考: 證明,時, 如何設(shè)輔助,函數(shù)更好 ?,提示:,,例10. 設(shè),且在,上,存在 , 且單調(diào),遞減 , 證明對一切,有,證: 設(shè),則,所以當(dāng),令,得,即所證不等式成立 .,,,,例11.,證: 只要證,利用一階泰勒公式, 得,故原不等式成立.,,例12,證,,又設(shè) 在 內(nèi)取最大值,證明:,例13,證明:由題意知,存在,由中值定理知存在

9、,滿足,因此由 知,設(shè)函數(shù) 在 內(nèi)兩次可導(dǎo),,例14,解,奇函數(shù),.,列表如下:,,,,極大值,拐點,,極小值,,,,作圖,P182 2; 5 ; 7 ; 8 ; 9; 10 ; 11; 12；20.,作業(yè),26,第一章 總練習(xí)題,27,第一章 總練習(xí)題,28,第一章 1-8,29,第二章 總練習(xí)題,30,31,習(xí)