畢業(yè)論文---對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法應(yīng)用性的探討

1、<p><b>　　畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）</b></p><p>　　題目：對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法應(yīng)用性的探討</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　摘要I</b></p><p>　　Abstract:II</p>

2、<p><b>　　1 引言1</b></p><p>　　2正項(xiàng)級(jí)數(shù)相關(guān)概念1</p><p><b>　　2.1 定義1</b></p><p>　　2.2 正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別的充要條件1</p><p>　　2.3 三個(gè)重要比較級(jí)數(shù)2</p><p&g

3、t;　　2.3.1 幾何級(jí)數(shù)2</p><p>　　2.3.2 調(diào)和級(jí)數(shù)3</p><p>　　2.3.3 P-級(jí)數(shù)3</p><p>　　3 正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法4</p><p>　　3.1 判別發(fā)散的簡(jiǎn)單方法4</p><p>　　3.2 比較判別法4</p><p>　　3.

4、2.1 定理及其推論4</p><p>　　3.2.2 活用比較判別法6</p><p>　　3.2.3 歸納總結(jié)8</p><p>　　3.3 柯西判別法與達(dá)朗貝爾判別法8</p><p>　　3.3.1 柯西判別法8</p><p>　　3.3.2 達(dá)朗貝爾判別法10</p>&l

5、t;p>　　3.3.3 比值判別法和根值判別法失效的情況11</p><p>　　3.4 拉貝判別法13</p><p>　　3.5 積分判別法14</p><p>　　3.6 兩種新方法16</p><p>　　3.7 判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性方法的總結(jié)18</p><p>　　4 在判別級(jí)數(shù)斂

6、散性中的作用18</p><p>　　4.1 證明負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性18</p><p>　　4.2 證明變號(hào)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂19</p><p>　　4.3 證明函數(shù)級(jí)數(shù)收斂20</p><p><b>　　5 結(jié)束語(yǔ)21</b></p><p><b>　　致謝22&l

7、t;/b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn):22</b></p><p>　　對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法應(yīng)用性的探討</p><p><b>　　尹委紅</b></p><p>　　（重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)2006級(jí) 重慶萬(wàn)州 404000）</p><

8、p>　　摘要:正項(xiàng)級(jí)數(shù)是級(jí)數(shù)內(nèi)容中的一種重要級(jí)數(shù),它的斂散性是其基本性質(zhì).本文主要探討正項(xiàng)級(jí)數(shù)的各種斂散性判別法,主要有積分判別法、比較判別法、柯西判別法、達(dá)朗貝爾判別法、拉貝判別法.探討了它們的證明過(guò)程及應(yīng)用其解決相關(guān)的例題.并簡(jiǎn)單介紹了它們之間的關(guān)系,如強(qiáng)弱性的比較,不同形式的適合用哪種方法來(lái)證明其斂散性更為簡(jiǎn)單.最后介紹了正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法在判別級(jí)數(shù)斂散性中的作用.</p><p>　　關(guān)鍵詞: 正

9、項(xiàng)級(jí)數(shù);判別法;斂散性 </p><p>　　Positive Series Convergence Criterion of applicability</p><p>　　YIN Wei-hong</p><p>　　(Grade 2006, Mathematics and Applied Mathematics, College of Mathematics

10、and Computer Science, Chongqing Three Gorges University, Wanzhou, Chongqing 404000 )</p><p>　　Abstract: Series is a series of positive content is an important series,convergence and Divergence of its basic n

11、ature of its. This paper discusses the positive series all Convergence Criterion, There are Integral Test, Comparison Tests, Cauchy Criterion, Criterion big Lambert, Rabe Criterion. Discussed their certification process

12、and application of relevant examples of its solution. And briefly describes the relationships between them, such as comparison of the strength of、suitable for differen</p><p>　　Keywords: positive series; cri

13、terion; convergence </p><p><b>　　1 引言</b></p><p>　　級(jí)數(shù)是數(shù)學(xué)分析這門(mén)學(xué)科中的一個(gè)重要部分,而正項(xiàng)級(jí)數(shù)又是級(jí)數(shù)中最簡(jiǎn)單從而也是級(jí)數(shù)中最基本的一種級(jí)數(shù).證明級(jí)數(shù)的斂散性是級(jí)數(shù)的一種重要性質(zhì),解決級(jí)數(shù)的問(wèn)題多半要設(shè)計(jì)到討論級(jí)數(shù)的斂散性.由于正項(xiàng)級(jí)數(shù)在級(jí)數(shù)中的基礎(chǔ)地位,所以討論正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性是級(jí)數(shù)的一個(gè)基礎(chǔ)內(nèi)容,也

14、是一個(gè)十分重要的內(nèi)容,故正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法在數(shù)學(xué)分析中有著重要的作用.</p><p><b>　　2正項(xiàng)級(jí)數(shù)相關(guān)概念</b></p><p><b>　　2.1 定義</b></p><p>　　設(shè)有數(shù)列,即 將此數(shù)列的項(xiàng)依次用加號(hào)連接起來(lái),即 或 ，稱(chēng)為數(shù)值級(jí)數(shù),其中稱(chēng)為級(jí)數(shù)的第n項(xiàng)或通項(xiàng).級(jí)數(shù)就是無(wú)限多個(gè)數(shù)的和

15、.若級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)的符號(hào)都是正,則稱(chēng)級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù).取級(jí)數(shù)前項(xiàng)的和為,即 或 ,稱(chēng)為級(jí)數(shù)的項(xiàng)部分和.</p><p>　　若一級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列收斂,設(shè)或 ,則稱(chēng)此級(jí)數(shù)收斂,是級(jí)數(shù)的和,表為 .若部分和數(shù)列發(fā)散,則稱(chēng)該級(jí)數(shù)發(fā)散,此時(shí)級(jí)數(shù)沒(méi)有和.</p><p>　　2.2 正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別的充要條件</p><p>　　正項(xiàng)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都為正的基本特點(diǎn)導(dǎo)致正項(xiàng)級(jí)數(shù)

16、部分和數(shù)列單調(diào)增加,從而有正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的基本判別定理:</p><p>　　定理1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂它的部分和數(shù)列有上界.</p><p>　　證明 由于,所以是遞增數(shù)列.而單調(diào)數(shù)列收斂的充要條件是該數(shù)列有界(單調(diào)有界定理),從而本定理得證.</p><p>　　基本判別定理解決了一個(gè)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題,不必研究,而粗略地估計(jì)的值當(dāng)時(shí)是否保持有界就可以了,這樣就避開(kāi)了

17、冠以的復(fù)雜的表達(dá)式.它是判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂（或發(fā)散）的最基本方法,幾乎所有其它的判別法都是由它導(dǎo)出,但是在具體應(yīng)用時(shí)不大方便.</p><p>　　由正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的基本判別定理可以推導(dǎo)出正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性常用判別定理——積分判別法、比較判別法、柯西判別(又叫根值判別法)、達(dá)朗貝爾判別法(又叫比值判別法).</p><p>　　2.3 三個(gè)重要比較級(jí)數(shù)</p><p>　

18、　在正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別中往往需要用到一個(gè)比較因子,用比較因子的斂散性來(lái)判斷一個(gè)級(jí)數(shù)收斂還是發(fā)散.常用的比較因子有三個(gè)重要的正項(xiàng)級(jí)數(shù)——幾何級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù)、p-級(jí)數(shù).下面簡(jiǎn)單介紹這三個(gè)級(jí)數(shù),及其它們斂散性的證明,便于后面能更好的應(yīng)用.</p><p>　　2.3.1 幾何級(jí)數(shù)(等比級(jí)數(shù))</p><p>　　討論幾何級(jí)數(shù)的斂散性,其中是公比.</p><p>　　解

19、：1）當(dāng)時(shí),已知幾何級(jí)數(shù)的項(xiàng)部分和</p><p>　?。╥）當(dāng)時(shí),存在極限,且</p><p>　　因此,當(dāng)時(shí),幾何級(jí)數(shù)收斂,其和是,即.</p><p>　?。╥i）當(dāng)時(shí),不存在極限,且</p><p>　　因此,當(dāng)時(shí),幾何級(jí)數(shù)發(fā)散.</p><p><b>　　當(dāng)時(shí),有兩種情況:</b>&l

20、t;/p><p>　　(ⅰ)當(dāng)時(shí),幾何級(jí)數(shù)是 </p><p><b>　　即部分和數(shù)列發(fā)散.</b></p><p>　?。áⅲ┊?dāng)時(shí),幾何級(jí)數(shù)是 </p><p><b>　　即部分和數(shù)列發(fā)散.</b></p><p>　　于是,當(dāng)時(shí),幾何級(jí)數(shù)發(fā)散.</p>&l

21、t;p>　　綜上所述,幾何級(jí)數(shù),當(dāng)時(shí)收斂,其和是,當(dāng)時(shí)發(fā)散.</p><p>　　2.3.2 調(diào)和級(jí)數(shù)</p><p>　　證明調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的.</p><p>　　證明 設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)的項(xiàng)部分和是,即由于已知即當(dāng)時(shí),調(diào)和級(jí)數(shù)的部分和與是等價(jià)無(wú)窮大,即調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.</p><p>　　2.3.3 P-級(jí)數(shù)</p><

22、;p>　　討論p-級(jí)數(shù)的斂散性,其中是任意實(shí)數(shù).（該級(jí)數(shù)又稱(chēng)為廣義調(diào)和級(jí)數(shù)）</p><p>　　解：1）當(dāng)時(shí),廣義調(diào)和級(jí)數(shù)就是調(diào)和級(jí)數(shù),已知調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散,即p-級(jí)數(shù)發(fā)散.</p><p>　　當(dāng)時(shí),,有.已知調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散,根據(jù)比較判別法可知,當(dāng)時(shí),p-級(jí)數(shù)發(fā)散.</p><p>　　當(dāng)時(shí),,有.于是,,有</p><p>　　即p-級(jí)

23、數(shù)的部分和數(shù)列有上界,從而p-級(jí)數(shù)收斂.</p><p>　　綜上所述,當(dāng)時(shí),p-級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)時(shí),p-收斂.</p><p>　　在正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的證明中常借助于這三個(gè)級(jí)數(shù)斂散性為橋梁來(lái)判斷其它級(jí)數(shù)的斂散性,所以必須要熟練掌握這三個(gè)級(jí)數(shù).</p><p>　　3 正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法</p><p>　　3.1 判別發(fā)散的簡(jiǎn)單方法</p

24、><p>　　由級(jí)數(shù)收斂的基本判別定理——柯西收斂準(zhǔn)則:級(jí)數(shù)收斂有.</p><p>　　取特殊的,可得推論:若級(jí)數(shù)收斂,則.</p><p>　　定理2 該推論的逆否命題:若,則級(jí)數(shù)發(fā)散.</p><p>　　快速判斷級(jí)數(shù)的斂散性.</p><p>　　解: 由于,從而根據(jù)定理2可知,該級(jí)數(shù)發(fā)散.</p>

25、<p>　　如果,則可由該逆否命題直接可以判別出該級(jí)數(shù)發(fā)散;如果,則不能判斷級(jí)數(shù)是否收斂,因?yàn)榇嬖诩?jí)數(shù)滿足的發(fā)散級(jí)數(shù)，如；也存在級(jí)數(shù)滿足的收斂級(jí)數(shù)，如.顯然該逆否命題只使用于滿足的發(fā)散級(jí)數(shù).</p><p><b>　　3.2 比較判別法</b></p><p>　　3.2.1 定理及其推論</p><p>　　定理3 (比較判別

26、法) 有兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)與,且,有,c是正常數(shù).</p><p>　　1）若級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)也收斂;</p><p>　　2）若級(jí)數(shù)發(fā)散,則級(jí)數(shù)也發(fā)散.</p><p>　　證明 因?yàn)橛卸ɡ砣羧サ?、增添或改變?jí)數(shù)的有限項(xiàng),則不改變級(jí)數(shù)的斂散性,因此,不妨設(shè),有 是正常數(shù).設(shè)級(jí)數(shù)與的n項(xiàng)部分和分部是與,由上述不等式,有</p><p>　　若級(jí)

27、數(shù)收斂,根據(jù)定理1,數(shù)列有上界,從而數(shù)列也有上界,再根據(jù)定理1,級(jí)數(shù)收斂.</p><p>　　若級(jí)數(shù)發(fā)散,根據(jù)定理1,數(shù)列無(wú)上界,從而數(shù)列也無(wú)上界,再根據(jù)定理1,級(jí)數(shù)發(fā)散.</p><p>　　推論 有兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)與,且 </p><p>　　1）若級(jí)數(shù)收斂,且,則級(jí)數(shù)也收斂;</p><p>　　2）若級(jí)數(shù)發(fā)散,且,則級(jí)數(shù)也發(fā)散.&l

28、t;/p><p>　　證明 1）若級(jí)數(shù)收斂,且,由已知條件,,有 或 ,即,有,根據(jù)定理2,級(jí)數(shù)也收斂.2）若級(jí)數(shù)發(fā)散,且，由已知條件,,有 或 ,即,有,根據(jù)定理2,級(jí)數(shù)也發(fā)散.若級(jí)數(shù)發(fā)散,且,由已知條件,有,即,有,根據(jù)定理2,級(jí)數(shù)也發(fā)散.</p><p>　　從比較判別法的內(nèi)容,我們可以得出以下幾點(diǎn)啟示:</p><p>　?。?）比較判別法只適用于正項(xiàng)級(jí)

29、數(shù)斂散性的判斷;</p><p>　?。?）比較判別法重在“比較”,是利用兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)結(jié)構(gòu)來(lái)比較的;要求必須掌握等比級(jí)數(shù),調(diào)和級(jí)數(shù),p-級(jí)數(shù)的斂散性,因?yàn)楸容^判別法的比較對(duì)象常常就是上述三種級(jí)數(shù).</p><p>　?。?）要證明某一個(gè)級(jí)數(shù)收斂,需要找一個(gè)通項(xiàng)比大的收斂的整形級(jí)數(shù),即,也就是需要將所求的級(jí)數(shù)通咯級(jí)數(shù)項(xiàng)放大;</p><p>　?。?）要證明某一

30、個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散,需要找一個(gè)通項(xiàng)比小的發(fā)散的正項(xiàng)級(jí)數(shù),即,也就是需要將所求的級(jí)數(shù)通項(xiàng)縮小.</p><p>　　比較判別法提供了一個(gè)判別級(jí)數(shù)斂散的簡(jiǎn)單方法:只須拿一個(gè)已知斂散性的級(jí)數(shù)和要判別的級(jí)數(shù)作比較便能得出結(jié)論.常用的作為比較的級(jí)數(shù)有等比級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù)、p-級(jí)數(shù),因此,正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法的關(guān)鍵是:如何選取比較對(duì)象,放大或縮小所求級(jí)數(shù)的通項(xiàng).</p><p>　　3.2.2 活用比較判別法&l

31、t;/p><p>　　(1) 當(dāng)所求級(jí)數(shù)的通項(xiàng)中出現(xiàn)關(guān)于n的有理式時(shí),比較對(duì)象常常選取p-級(jí)數(shù)或調(diào)和級(jí)數(shù). </p><p>　　例1 判別級(jí)數(shù)的斂散性.</p><p>　　分析: 考慮通項(xiàng)，分子的最高冪是0（只有常數(shù)1 ),分母的最高冪是2,這時(shí)通項(xiàng)接近,原級(jí)數(shù)也接近于級(jí)數(shù),這是的收斂的p-級(jí)數(shù),那么原級(jí)數(shù)也一定收斂.</p><p>　

32、　事先知道級(jí)數(shù)是收斂的,就把通項(xiàng)放大,放大為一個(gè)收斂的級(jí)數(shù)通項(xiàng),這個(gè)級(jí)數(shù)一般就是,至多差一個(gè)系數(shù).</p><p>　　解: 因?yàn)椋ǚ帜缚s小,分?jǐn)?shù)放大）,又由于收斂.則由此比較判別法,原級(jí)數(shù)也收斂.</p><p>　　例2 判別級(jí)數(shù)的斂散性.</p><p>　　分析: 考慮通項(xiàng),分子n的最高冪是1,分母n的最高冪是4,這時(shí)通項(xiàng)接近,原級(jí)數(shù)也接近于級(jí)數(shù),這是的收

33、斂的p-級(jí)數(shù),那么原級(jí)數(shù)也一定收斂.</p><p>　　解: 因?yàn)椋ǚ肿臃糯?分?jǐn)?shù)放大）,又由于收斂,則由比較判別法,原級(jí)數(shù)也收斂.</p><p>　　例3 判別級(jí)數(shù)的斂散性.</p><p>　　分析: 考慮通項(xiàng),分子n的最高冪是1,分母n的最高冪是2,這時(shí)通項(xiàng)接近，,原級(jí)數(shù)也接近于級(jí)數(shù),至多差一個(gè)系數(shù).</p><p>　　解: 因

34、為（分子縮小,分母放大,分?jǐn)?shù)縮?。?又由于是發(fā)散的,則由比較判別法,原級(jí)數(shù)也是發(fā)散的.</p><p>　　(2) 當(dāng)所求級(jí)數(shù)通項(xiàng)中出現(xiàn)正弦函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)時(shí),利用不等式選取適當(dāng)?shù)谋容^對(duì)象. </p><p>　　主要用到下面兩個(gè)式子:當(dāng)時(shí),</p><p>　　例4 判別級(jí)數(shù)的斂散性.</p><p>　　分析: 考慮當(dāng)時(shí),,則,而是公比

35、的收斂級(jí)數(shù),故原級(jí)數(shù)收斂.</p><p>　　例5 判別級(jí)數(shù)的斂散性.</p><p>　　分析: 由于有不等式,而是收斂的級(jí)數(shù),故原級(jí)數(shù)也收斂.</p><p>　　(3) 當(dāng)所求級(jí)數(shù)的通項(xiàng)放大、縮小不方便時(shí),可采用比較判別法的推論.</p><p>　　利用比較判別法的推論時(shí)要注意:（1）把要求的級(jí)數(shù)當(dāng)作,另找一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)（往往找調(diào)

36、和級(jí)數(shù)、p-級(jí)數(shù)或等比級(jí)數(shù)),作;（2）重點(diǎn)考察極限結(jié)果1,因?yàn)?在0與之間.</p><p>　　例6 判別級(jí)數(shù)的斂散性.</p><p>　　分析: 考慮通項(xiàng),分子n的最高冪為1,分母的最高冪為2,通項(xiàng)接近,因此就把級(jí)數(shù)作.</p><p>　　解: 由于,又因?yàn)槭前l(fā)散的,則原級(jí)數(shù)也發(fā)散.</p><p>　　例7 另解上面的例5.&

37、lt;/p><p>　　分析: 我們前面已經(jīng)討論過(guò)該題,若忘記前面的不等式,而此題的通項(xiàng)又不易進(jìn)行放大、縮小,可用推論.把作為,再找一個(gè).觀察到中,有對(duì)數(shù)函數(shù)出現(xiàn),考慮用第二重要極限,取</p><p>　　解: 因?yàn)?又收斂,故原級(jí)數(shù)也收斂.</p><p>　　3.2.3 歸納總結(jié)</p><p>　　判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)“ 斂散性的一般步驟：&l

38、t;/p><p>　　(ⅰ) 檢查通項(xiàng)。若，可判斷級(jí)數(shù)發(fā)散。否則進(jìn)入(ⅱ)．</p><p>　　(ⅱ) 用比較判別法法.若 或極限不存在,則入(ⅲ)．</p><p>　　(ⅲ) 用比較判別法或比較判別法的極限形式,若無(wú)法找到適用的比較級(jí)數(shù),則進(jìn)入(ⅳ)．</p><p>　　(ⅳ) 檢查正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列是否有上界或判別是否存在,若有上界

39、則收斂,若無(wú)上界則發(fā)散;若存在極限則收斂,反之發(fā)散.</p><p>　　比較判別法在正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別中是一個(gè)十分重要的方法,當(dāng)然也是首選方法,因?yàn)椴簧偌?jí)數(shù)均可依此法判別其斂散性.由于比較判別法常用的作比較的級(jí)數(shù)是等比級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù)、p-級(jí)數(shù),因此一般能和這三類(lèi)級(jí)數(shù)作比較的級(jí)數(shù),才能用比較判別法來(lái)判斷其斂散性.</p><p>　　用比較判別法判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性,先要根據(jù)問(wèn)題的條件作一

40、個(gè)大概的估計(jì),猜想原級(jí)數(shù)可能是收斂的,還是發(fā)散的呢?如果猜想原級(jí)數(shù)收斂,就找一個(gè)適當(dāng)?shù)氖諗考?jí)數(shù)來(lái)比較,使得原級(jí)數(shù)的各項(xiàng)小于或等于比較級(jí)數(shù)的對(duì)應(yīng)項(xiàng);如果猜想原級(jí)數(shù)發(fā)散,就找一個(gè)適當(dāng)?shù)陌l(fā)散級(jí)數(shù)來(lái)比較,使得原級(jí)數(shù)的各項(xiàng)大于或等于比較級(jí)數(shù)的對(duì)應(yīng)項(xiàng).</p><p>　　但要另外找到一個(gè)適當(dāng)?shù)恼?xiàng)級(jí)數(shù)作為比較級(jí)數(shù),在實(shí)際生活中往往不是一件輕而易舉的事情.于是數(shù)學(xué)家們?cè)O(shè)想在比較判別法的基礎(chǔ)上尋找到直接用待判級(jí)數(shù)的通項(xiàng)構(gòu)造判別

41、式,不必另找比較級(jí)數(shù),只需研究這個(gè)判別式就可判定級(jí)數(shù)的斂散性.研究的結(jié)果獲得了由比較判別法派生出來(lái)的種種正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法——柯西判別法與達(dá)朗貝爾判別法.</p><p>　　柯西判別法與達(dá)朗貝爾法都是比較判別法為基礎(chǔ),與幾何級(jí)數(shù)比較得到的,由此可見(jiàn)比較判別法在判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性中的重要作用.</p><p>　　3.3 柯西判別法與達(dá)朗貝爾判別法</p><p&

42、gt;　　3.3.1 柯西判別法(根值判別法)</p><p>　　定理3 (柯西判別法) 有正項(xiàng)級(jí)數(shù),存在常數(shù).</p><p>　　1）若,有 ,則級(jí)數(shù)收斂;</p><p>　　2）若存在無(wú)限個(gè)n,有 ,則級(jí)數(shù)發(fā)散.</p><p>　　證明 1）已知有 或 .又已知幾何級(jí)數(shù)收斂,于是級(jí)數(shù)收斂.2）已知存在無(wú)限個(gè)n,有 或 ,即

43、不趨近于,于是級(jí)數(shù)發(fā)散.</p><p>　　推論 有正項(xiàng)級(jí)數(shù),若 ,則</p><p>　　1）當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂;</p><p>　　2）當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.</p><p>　　證明 1），由數(shù)列極限定義,,有 或 ,根據(jù)定理3,級(jí)數(shù)收斂.2）已知,根據(jù)數(shù)列極限的保號(hào)性,,有,根據(jù)定理3,級(jí)數(shù)發(fā)散.</p><p>

44、;　　由于正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)開(kāi)n次方根一般不能直接得出一個(gè)常數(shù),所以常用柯西判別法的推論判別級(jí)數(shù)的斂散性.</p><p>　　例1 判別級(jí)數(shù)的斂散性.</p><p>　　分析: 該級(jí)數(shù)的通項(xiàng)是一個(gè)n次方的形式,于是聯(lián)想到柯西判別法,對(duì)通項(xiàng)開(kāi)n次方根,看其結(jié)果與1的大小關(guān)系.</p><p>　　解: 由于,根據(jù)柯西判別法的推論,可得級(jí)數(shù)收斂.</p>

45、<p>　　例2 判別級(jí)數(shù)的斂散性。</p><p>　　解: 由于,所以根據(jù)柯西判別法的推論知,級(jí)數(shù)發(fā)散.</p><p>　　3.3.2 達(dá)朗貝爾判別法(比值判別法)</p><p>　　定理4 (達(dá)朗貝爾判別法) 有正項(xiàng)級(jí)數(shù),存在常數(shù).</p><p>　　1）若,有 ,則級(jí)數(shù)收斂;</p><p

46、>　　2）若,有 ,則級(jí)數(shù)發(fā)散.</p><p>　　證明 1）不妨設(shè),有 或 .</p><p>　　已知幾何級(jí)數(shù)收斂,根據(jù)定理2,則級(jí)數(shù)收斂.</p><p>　　2）已知,有 或 ，即正項(xiàng)數(shù)列從項(xiàng)以后單調(diào)增加,不趨近于,則級(jí)數(shù)發(fā)散.</p><p>　　推論 有正項(xiàng)級(jí)數(shù),且</p><p>　　1）當(dāng)時(shí)

47、,級(jí)數(shù)收斂;</p><p>　　2）當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.</p><p>　　證明 1）,由數(shù)列極限定義,,有 或 ,根據(jù)4,級(jí)數(shù)收斂.2）已知,根據(jù)數(shù)列極限的保號(hào)性,有.根據(jù)定理4,級(jí)數(shù)發(fā)散.</p><p>　　由于正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)的前后兩項(xiàng)的比值一般不會(huì)直接得出一個(gè)常數(shù),所以在判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性時(shí)常用達(dá)朗貝爾判別法的推論.</p><p&g

48、t;　　例3 判別級(jí)數(shù)的斂散性.</p><p>　　解: 由于,所以根據(jù)達(dá)朗貝爾判別法的推論知,級(jí)數(shù)收斂.</p><p><b>　　判別級(jí)數(shù)的斂散性.</b></p><p>　　解: 由于,根據(jù)達(dá)朗貝爾判別法的推論知,級(jí)數(shù)發(fā)散.</p><p>　　當(dāng)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)具有積、商、冪的形式,且中含有、、以及形如的

49、因子時(shí),用達(dá)朗貝爾判別法比較簡(jiǎn)便.</p><p>　　一般地,當(dāng)是n的有理式時(shí),用達(dá)朗貝爾判別法得不出結(jié)果.例:</p><p>　　級(jí)數(shù),由于,故達(dá)朗貝爾判別法失效.而,且級(jí)數(shù)收斂,故由比較判別法知,級(jí)數(shù)也收斂.</p><p>　　當(dāng)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為n次方形式,用柯西判別法比較方便.從理論上來(lái)說(shuō),凡是能用達(dá)朗貝爾判別法判斷其斂散性的級(jí)數(shù),必定也能用柯西判別法

50、來(lái)判斷其斂散性,但反之不成立.例如:</p><p>　　級(jí)數(shù),因?yàn)?所以用達(dá)朗貝爾判別法無(wú)法判定級(jí)數(shù)的斂散性.</p><p>　　而可以用柯西判別法,,故原級(jí)數(shù)收斂.</p><p>　　由此可見(jiàn),柯西判別法比達(dá)朗貝爾判別法適用的面要廣些,但通常達(dá)朗貝爾判別法用起來(lái)方便些.</p><p>　　一般情況下,在判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性時(shí),若所求

51、級(jí)數(shù)通項(xiàng)中出現(xiàn)對(duì)數(shù)、三角函數(shù)的有理式等形式時(shí),考慮用比較判別法及其推論,既省力又簡(jiǎn)單;若出現(xiàn)等形式時(shí),考慮用比值判別法;若出現(xiàn)的次冪時(shí),考慮用根值判別法判別其斂散性要好一些.</p><p>　　3.3.3 比值判別法和根值判別法失效的情況</p><p>　　在柯西判別法和達(dá)朗貝爾判別法中只討論了的情況,并沒(méi)有考慮的情況,也沒(méi)有考慮不存在又是怎樣的情況,這說(shuō)明這兩種判別法存在著一定的不

52、足.</p><p>　　1. 對(duì)于比值判別法存在兩點(diǎn)不足:</p><p>　　(1) 當(dāng)時(shí),判別法失效,既有收斂的,又有發(fā)散的級(jí)數(shù).</p><p>　　例5 p-級(jí)數(shù)是收斂的,而此時(shí),即比值判別法失效.</p><p>　　例6 調(diào)和級(jí)數(shù)是收斂的,而此時(shí),即比值判別法也失效.</p><p>　　(2)

53、比值判別法可能由于根本不存在而失效.</p><p><b>　　例7 </b></p><p><b>　　例8</b></p><p>　　2. 對(duì)于根值判別法存在兩點(diǎn)不足:</p><p>　?。?）當(dāng)時(shí)，判別法失效,既有收斂的,又有發(fā)散的級(jí)數(shù).</p><p>　　

54、（2）根值判別法可能由于根本不存在而失效.</p><p>　　前面的例5、例6都有,但是級(jí)數(shù)收斂，級(jí)數(shù)發(fā)散.由此說(shuō)明了根值判別法的第一個(gè)不足.</p><p><b>　　例9 </b></p><p>　　由于,則有不存在,從而根值判別法失效,但是級(jí)數(shù)是發(fā)散的.</p><p>　　由此可以看到比值判別法與根值判別

55、法有一些相同的地方,而且它們之間有一定的聯(lián)系.因?yàn)?如果按有限的或是無(wú)窮的意義存在的,那么也存在,如果比值判別法（1）、（2）有效,根值判別法也有效,而且由于相同的理由比值判別法的兩個(gè)例子能作為根值判別法失效的例子.但是它們之間也有不同的地方,如果比值判別法失效,用根值判別法卻可能成功.</p><p>　　如前面例7,用根值判別法:</p><p>　　由于,從而級(jí)數(shù)收斂.</p&

56、gt;<p>　　又如前面例8,用根值判別法:</p><p>　　由于,所以級(jí)數(shù)發(fā)散.</p><p>　　比值判別法與根值判別法在應(yīng)用時(shí),都會(huì)遇到“失效”的情況.實(shí)質(zhì)上是把所討論的級(jí)數(shù)和收斂的幾何級(jí)數(shù)來(lái)比較,它的項(xiàng)比幾何級(jí)數(shù)的項(xiàng)大,而和發(fā)散的幾何級(jí)數(shù)來(lái)比,它的項(xiàng)要比幾何級(jí)數(shù)的項(xiàng)要小,這就說(shuō)明要想檢驗(yàn)級(jí)數(shù)的斂散性,幾何級(jí)數(shù)這把“尺子”的精確度不夠,而p-級(jí)數(shù)是比幾何級(jí)數(shù)更精

57、密的“尺子”.從這里可以看出判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性主要是應(yīng)用一個(gè)比較因子(也就是作為"尺子"的正項(xiàng)級(jí)數(shù))的斂散性來(lái)判斷原級(jí)數(shù)的斂散性. </p><p>　　3.4 拉貝判別法</p><p>　　比式判別法和根式判別法是基于把所有要判斷的級(jí)數(shù)與某一等比級(jí)數(shù)相比較的想法而得到的,也就是說(shuō),只有那些級(jí)數(shù)的通項(xiàng)收斂于零的速度比某一等比級(jí)數(shù)收斂速度快的級(jí)數(shù),這兩種方法才能鑒

58、定出它的收斂性.如果級(jí)數(shù)的通項(xiàng)收斂速度較慢,它們就無(wú)能為力了.因此為了獲得判別范圍更大的一類(lèi)級(jí)數(shù),就必須尋找級(jí)數(shù)的通項(xiàng)收斂于零較慢的級(jí)數(shù)作為比較標(biāo)準(zhǔn).</p><p>　　數(shù)學(xué)家拉貝用 p-級(jí)數(shù)代替幾何級(jí)數(shù),仿照比值判別法建立了一個(gè)拉貝判別法,它比比值判別法要精確,有些比值判別法不能判別的用拉貝判別法可以判別.</p><p>　　定理5 (拉貝判別法) 有正項(xiàng)級(jí)數(shù),存在常數(shù).</

59、p><p>　　若,有,則級(jí)數(shù)收斂；</p><p>　　若,有,則級(jí)數(shù)發(fā)散.</p><p>　　證明 1) 由可得.選使.由于,</p><p>　　因此,存在正數(shù),使對(duì)任意,.這樣.</p><p><b>　　于是,當(dāng)時(shí)就有</b></p><p>　　當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂

60、,故級(jí)數(shù)收斂.</p><p><b>　　由可得,于是</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　因?yàn)榘l(fā)散,故級(jí)數(shù)發(fā)散.</p><p>　　推論 有正項(xiàng)級(jí)數(shù),且極限存在,若</p><p><b>　　當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂;</b&g

61、t;</p><p><b>　　當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.</b></p><p>　　例1 討論級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)的斂散性.</p><p>　　分析: 無(wú)論哪一值,對(duì)級(jí)數(shù)的比式極限,都有</p><p>　　所以用比式判別法無(wú)法判別該級(jí)數(shù)的斂散性.現(xiàn)在用拉貝判別法來(lái)討論.</p><p><b>　

62、　解: 當(dāng)時(shí),由于,</b></p><p>　　所以根據(jù)拉貝判別法知,原級(jí)數(shù)是發(fā)散的.</p><p><b>　　當(dāng)時(shí),由于,</b></p><p>　　所以原級(jí)數(shù)是發(fā)散的.</p><p><b>　　當(dāng)時(shí),由于,</b></p><p><b>

63、;　　所以原級(jí)數(shù)收斂.</b></p><p>　　從上面我們可以看出,有些比值判別法不能判別的可用拉貝判別法可以判別,但是用拉貝判別法也同樣要受到比較因子這把“尺子”精確度的限制.值得注意的是這個(gè)“精確化”的過(guò)程是沒(méi)有盡頭的,因?yàn)槎?#183;布洼·雷知恩曾證明:任何收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù),都有比它收斂得更“快”的級(jí)數(shù)存在.還有人證明:任何發(fā)散的正項(xiàng)級(jí)數(shù)也有比它發(fā)散得更“慢”的級(jí)數(shù)存在.這說(shuō)明沒(méi)有

64、收斂的最快的級(jí)數(shù),也沒(méi)用發(fā)散的最慢的級(jí)數(shù),所以要想建立一種對(duì)一切正項(xiàng)級(jí)數(shù)都有效的比較標(biāo)準(zhǔn)是不可能的.</p><p>　　3.5 積分判別法</p><p>　　積分判別法是利用非負(fù)函數(shù)的單調(diào)性和積分性質(zhì),并以反常積分為比較對(duì)象來(lái)判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.</p><p>　　定理6 (積分判別法) 設(shè)為上非負(fù)減函數(shù),那么正項(xiàng)級(jí)數(shù)與反常積分同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散. <

65、;/p><p>　　證明 由假設(shè)為上非負(fù)減函數(shù),對(duì)任何正數(shù),在上可積,從而有</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　依次相加可得</b></p><p><b>　　(1)</b></p><p>　　若反常積分收斂,則由（1

66、）式左邊，對(duì)任何正整數(shù)，有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　根據(jù)定理1,級(jí)數(shù)收斂.</p><p>　　反之,若為收斂級(jí)數(shù),則由（1）式右邊，對(duì)任一正整數(shù)有</p><p>　　. (2)</p><p>　　因?yàn)闉榉秦?fù)減函數(shù)

67、,故對(duì)任何正數(shù),都有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　根據(jù)(2)式得反常積分收斂.</p><p>　　用同樣的方法,可以證明與是同時(shí)發(fā)散的.</p><p>　　利用積分判別法判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的方法是:把中的換成連續(xù)變量,若是上廣義單調(diào)減少的正值連續(xù)函數(shù),則有相同的斂散性,判別出廣義積分

68、的斂散性就可知道所給級(jí)數(shù)的斂散性.當(dāng)?shù)臄可⑿匀菀着袆e時(shí),用積分判別法比較方便.比如形如等類(lèi)級(jí)數(shù)的斂散性均可用積分判別法斷定.</p><p>　　例1 判別級(jí)數(shù)的斂散性.</p><p>　　分析:因?yàn)閷Q成連續(xù)變量,即是，顯然函數(shù)在是單調(diào)減少的正值函數(shù),所以可以用積分判別法.</p><p>　　解:將原級(jí)數(shù)換成積分形式,由于,即收斂,根據(jù)積分判別法可知,級(jí)數(shù)也

69、收斂.</p><p>　　例2 證明調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.</p><p>　　分析:在《數(shù)學(xué)分析講義（下冊(cè)）》中有調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散的證明,但課本中的證明用到了上冊(cè)課本習(xí)題中的一個(gè)已知結(jié)論,即.但是如果我們不記得這個(gè)結(jié)論了,該怎么證明這個(gè)結(jié)論呢？</p><p>　　把換成連續(xù)變量得函數(shù),顯然這是一個(gè)在單調(diào)減少的正值函數(shù),符合積分判別法的條件.</p><

70、;p>　　解:將原級(jí)數(shù)換成積分形式,由于,即發(fā)散,根據(jù)積分判別法可知,調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.</p><p>　　3.6 兩種新方法</p><p>　　我們已經(jīng)討論了用比較判別法、柯西判別法、達(dá)朗貝爾判別法、拉貝判別法判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性,如果正項(xiàng)級(jí)數(shù)是形如的形式,那么用柯西判別法就能判別出來(lái);如果形如的形式,則用達(dá)朗貝爾判別法容易解決.假如是形如的形式,或者比這個(gè)更復(fù)雜,那么用上述兩種

71、解法就不一定能解出來(lái).這就要求我們尋找新的方法,這種形式也暗示著我們能否將兩種方法有機(jī)結(jié)合起來(lái),形成一種新的判別方法呢:基于這個(gè)考慮,經(jīng)過(guò)深入細(xì)致的研究并做了大量的實(shí)驗(yàn),利用邏輯推理得出以下結(jié)論:</p><p>　　定理A 設(shè)有正項(xiàng)級(jí)數(shù),有, （或）,若</p><p><b>　　若,則級(jí)數(shù)收斂;</b></p>&l

72、t;p><b>　　若,則級(jí)數(shù)發(fā)散.</b></p><p>　　證明 （1）若,則存在,使得.根據(jù)假設(shè),存在,使得,由極限定義知,存在,當(dāng)時(shí),有,當(dāng)時(shí),有,所以當(dāng)時(shí),有.由于改變級(jí)數(shù)前面的有限多項(xiàng)不影響其斂散性,故可認(rèn)為對(duì)一切自然數(shù)都有:,所以.由于收斂,由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知,級(jí)數(shù)收斂.</p><p>　　(2) 若,同理可證級(jí)數(shù)發(fā)散.</p&g

73、t;<p>　　那么,人們自然會(huì)問(wèn):形如的級(jí)數(shù),是否也能將柯西判別法和達(dá)朗貝爾判別法結(jié)合起來(lái)呢?</p><p>　　我們同樣可得出下列結(jié)論:</p><p>　　定理B 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),若,則</p><p><b>　　當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂;</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.<

74、;/b></p><p>　　證明 設(shè),存在,易證.對(duì)于,由極限定義可知,.即:</p><p>　　根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法可知,級(jí)數(shù)收斂,所以級(jí)數(shù)收斂.</p><p>　　對(duì)于第二種情況,可以采取同樣的方法證明.</p><p>　　有了這個(gè)判定方法,原來(lái)那些不易求的問(wèn)題就變得迎刃而解.</p><p>

75、　　例 討論級(jí)數(shù)的斂散性.</p><p>　　分析: 我們先可以用柯西判別法和達(dá)朗貝爾判別法去試一試,發(fā)現(xiàn)做起來(lái)并不容易,將分解為</p><p>　　解:令,則 ,因?yàn)?由定理B可知,級(jí)數(shù)收斂.</p><p>　　對(duì)于新方法的推導(dǎo),我們從中得到的啟示是:</p><p>　　要重視數(shù)學(xué)中的邏輯推理證明,在數(shù)學(xué)中運(yùn)用大量數(shù)字觀察,通過(guò)綜

76、合歸納得出的結(jié)論,最后必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的邏輯證明,才能得到最終確認(rèn).</p><p>　　3.7 判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性方法的總結(jié)</p><p>　　綜上所述,判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性有多種方法,比較判別法、柯西判別法、達(dá)朗貝爾判別法、拉貝判別法、積分判別法,以及上面討論的兩種新方法.但是它們各自適用于不同的形式的正項(xiàng)級(jí)數(shù),根據(jù)判別法的特性和級(jí)數(shù)通項(xiàng)的特點(diǎn)來(lái)選擇判別方法更有利于級(jí)數(shù)斂散性問(wèn)題的解決

77、.如果原級(jí)數(shù)容易找到一個(gè)常用的比較因子,判斷出它們之間的大小關(guān)系,則用比較判別法;如果原級(jí)數(shù)含有次冪的形式,則可考慮用柯西判別法;如果原級(jí)數(shù)含有等形式,則可試用達(dá)朗貝爾判別法;如果用上面三種方法都不容易判斷斂散性,可試用拉貝判別法;如果級(jí)數(shù)是乘積形式,那么可以選用上面介紹的兩種新方法.</p><p>　　4 在判別級(jí)數(shù)斂散性中的作用</p><p>　　4.1 證明負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性&

78、lt;/p><p>　　級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都為負(fù)的級(jí)數(shù)為負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù),如,如果把負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都變成正號(hào),則把負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)變成了正項(xiàng)級(jí)數(shù),即是 ,顯然是正項(xiàng)級(jí)數(shù).從而正項(xiàng)級(jí)數(shù)與負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)有相同的斂散性,那么完全可以用正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法來(lái)判斷負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.</p><p>　　例1 判別級(jí)數(shù)的斂散性.</p><p>　　分析:注意該級(jí)數(shù)的下標(biāo)不是1,而是7。當(dāng)時(shí),有,即該級(jí)數(shù)

79、是一個(gè)負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù).我們把該級(jí)數(shù)前面添一個(gè)負(fù)號(hào)變?yōu)檎?xiàng)級(jí)數(shù),則可用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別法來(lái)判斷該級(jí)數(shù)的斂散性.</p><p>　　解:由于,而是一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),又由于,且級(jí)數(shù)發(fā)散,根據(jù)比較判別法可知,級(jí)數(shù)也發(fā)散,從而原級(jí)數(shù)發(fā)散.</p><p>　　例2 判別級(jí)數(shù)的斂散性.</p><p>　　分析:當(dāng)時(shí),,而,即將原級(jí)數(shù)添上一個(gè)負(fù)號(hào)變?yōu)檎?xiàng)級(jí)數(shù).</p>

80、<p>　　解:由于,而是一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù).又因?yàn)?故級(jí)數(shù)收斂,從而原級(jí)數(shù)也收斂.</p><p>　　4.2 證明變號(hào)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂</p><p>　　級(jí)數(shù)（其中既有正也有負(fù)）,若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,則稱(chēng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;若級(jí)數(shù)收斂,而正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散,則稱(chēng)級(jí)數(shù)條件收斂.</p><p>　　定理 若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,則級(jí)數(shù)必收斂.</p><p&

81、gt;　　顯然,可以用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別法來(lái)判斷一個(gè)變號(hào)級(jí)數(shù)是否絕對(duì)收斂,如果它絕對(duì)收斂則可說(shuō)明它是收斂的.</p><p>　　例3 討論變號(hào)級(jí)數(shù)的斂散性.</p><p>　　解:由于,而正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,根據(jù)比較判別法,正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,即變號(hào)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,從而收斂.</p><p>　　例4 討論變號(hào)級(jí)數(shù)的斂散性.</p><p>　　

82、解:由于（p-級(jí)數(shù),）發(fā)散,所以級(jí)數(shù)不是絕對(duì)收斂.又因?yàn)?根據(jù)萊布尼茨判別法,級(jí)數(shù)收斂,從而級(jí)數(shù)條件收斂.</p><p>　　4.3 證明函數(shù)級(jí)數(shù)收斂</p><p>　　定理（判別法）有函數(shù)級(jí)數(shù)是區(qū)間.若存在收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù),,有,則函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂.</p><p>　　證明 已知正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則,即</p><p&g

83、t;<b>　　有已知條件,,有</b></p><p>　　即函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂.</p><p><b>　　例5 證明:</b></p><p>　　1)在區(qū)間(是正數(shù))一致收斂;</p><p><b>　　2)在一致收斂.</b></p><

84、p>　　證明:1),即,有.已知級(jí)數(shù)收斂,根據(jù)判別法,函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂.</p><p>　　,有.已知級(jí)數(shù)收斂,根據(jù)判別法,函數(shù)級(jí)數(shù)在一致收斂.</p><p>　　由此可見(jiàn),正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別法在判別級(jí)數(shù)斂散性中起著重要的作用,不僅可以判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性,而且還可以判別負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性、判斷變號(hào)級(jí)數(shù)是否絕對(duì)收斂,以及判斷函數(shù)級(jí)數(shù)是否一致收斂.</p>&l

85、t;p><b>　　5 結(jié)束語(yǔ)</b></p><p>　　數(shù)學(xué)分析作為數(shù)學(xué)系的重要專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課程，對(duì)學(xué)習(xí)好其他科目具有重要作用。級(jí)數(shù)理論是數(shù)學(xué)分析的重要組成部分，在實(shí)際生活中的運(yùn)用也較為廣泛，如經(jīng)濟(jì)問(wèn)題等。而正項(xiàng)級(jí)數(shù)又是級(jí)數(shù)理論中重要的組成部分，級(jí)數(shù)的收斂性更是級(jí)數(shù)理論的核心問(wèn)題，要想解決正項(xiàng)級(jí)數(shù)的求和問(wèn)題必須先解決正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判斷。</p><p>　　判

86、斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般順序是先檢驗(yàn)通項(xiàng)的極限是否為0，若為0則發(fā)散，若不為0則判斷級(jí)數(shù)的部分和是否有界，有界則收斂，否則發(fā)散。若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s則使用比較判別法，或可以找到其等價(jià)式用等價(jià)判別法。當(dāng)通項(xiàng)具有一定的特點(diǎn)時(shí)，則根據(jù)其特點(diǎn)選擇適用的方法，如比值判別法、根式判別法或拉貝判別法。當(dāng)上述方法都無(wú)法使用時(shí)，根據(jù)條件選擇積分判別法、柯西判別法。當(dāng)無(wú)法使用根式判別法時(shí)，通常可以選用比式判別法，當(dāng)比式判別法也無(wú)法使用時(shí)，使用比較判別法

87、，若比較判別法還是無(wú)法判別時(shí)再使用充要條件進(jìn)行斷。由此，我們可以得到正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法是層層遞進(jìn)使用的，每當(dāng)一種判別法無(wú)法判斷時(shí)，就出現(xiàn)一種新的判別法來(lái)進(jìn)行判斷，因此正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法有無(wú)窮多種。</p><p>　　正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判斷的方法雖然較多，但使用起來(lái)仍有一定的技巧，根據(jù)不同的題目特點(diǎn)分析、判斷選擇適宜的方法進(jìn)行判斷，能夠最大限度的節(jié)約時(shí)間，提高效率，特別是一些典型問(wèn)題，運(yùn)用典型方法，才能事半功倍。本文歸納

88、總結(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判斷的一些典型方法，比較這些方法的不同特點(diǎn)，總結(jié)出一些典型的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，根據(jù)不同的題目特點(diǎn)分析、判斷選擇適宜的方法進(jìn)行判斷。正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判別法也可用于判定負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及變號(hào)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性，也可以推廣到函數(shù)級(jí)數(shù)的斂散性判別中.</p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　作為即將從重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院畢業(yè)的我,在四年的大學(xué)生活

89、里,認(rèn)真學(xué)習(xí)各科專(zhuān)業(yè)知識(shí),積極參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng).特別是在大四的師范實(shí)習(xí)中的兩個(gè)月,對(duì)我的教學(xué)方面有了顯著的提高,特別是在教態(tài)、教學(xué)方法、教學(xué)過(guò)程與學(xué)生的溝通技能方面有了明顯的提高.</p><p>　　回首大學(xué)四年的時(shí)光,匆匆而過(guò),我要誠(chéng)摯的感謝教育和培養(yǎng)我的老師們,感謝周興建老師對(duì)我完成論文的選題,撰寫(xiě)方面給予的指導(dǎo)和幫助.論文的完成凝聚著恩師的大量的心血和汗水,他在精心指導(dǎo)本文的選題、構(gòu)思和寫(xiě)作過(guò)程中,對(duì)我的

90、諄諄教導(dǎo)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和知識(shí)水平使我終身受益,對(duì)我未來(lái)參加工作必將產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響.我真誠(chéng)感謝重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院的各位領(lǐng)導(dǎo)和老師等給我長(zhǎng)期的傳道授業(yè)解惑，對(duì)本論文在撰寫(xiě)過(guò)程中給我的知識(shí)指導(dǎo)、幫助和啟迪.借此機(jī)會(huì)向我的同學(xué)們?cè)谖掖髮W(xué)四年里給予我的幫助和關(guān)懷,表示感謝.</p><p>　　論文中還有諸多的問(wèn)題和不足之處,敬請(qǐng)大家給予批評(píng)指證.</p><p><b>

91、　　參考文獻(xiàn):</b></p><p>　　[1] 劉玉璉,傅沛仁等.數(shù)學(xué)分析講義(第四版)[M].高等教育出版社,2003.</p><p>　　[2] 趙樹(shù)原,胡顯佑,陸啟良.微積分學(xué)習(xí)與考試指導(dǎo)[M].中國(guó)人民大學(xué)出版社, 1999.</p><p>　　[3] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(第三版)[M].高等教育出版社,2004.</p&