函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性

1、,函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性,*第六節(jié),一、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性,及一致收斂級數(shù)的基本性質(zhì),二、一致收斂級數(shù)的基本性質(zhì),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,第十一章,一、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性,冪級數(shù)在收斂域內(nèi)的性質(zhì)類似于多項式,,但一般函數(shù),項級數(shù)則不一定有這么好的特點.,例如, 級數(shù),每項在 [0,1] 上都連續(xù),,其前 n 項之和為,和函數(shù),,該和函數(shù)在 x＝1 間斷.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁

2、返回 結(jié)束,因為對任意 x 都有:,所以它的收斂域為 (－∞, +∞) ,,但逐項求導(dǎo)后的級數(shù),其一般項不趨于0,,所以對任意 x 都發(fā)散 .,又如, 函數(shù)項級數(shù),問題: 對什么樣的函數(shù)項級數(shù)才有:,逐項連續(xù),,和函數(shù)連續(xù);,逐項求導(dǎo) = 和函數(shù)求導(dǎo);,逐項積分 = 和函數(shù)積分,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定義.,設(shè) S(x) 為,若對,都有一個只依賴于? 的自然數(shù) N ,,使,當(dāng)n > N 時,

3、對區(qū)間 I 上的一切 x 都有,則稱該級數(shù)在區(qū)間 I 上一致收斂于和函數(shù)S(x) .,在區(qū)間 I 上的和函數(shù),,任意給定的 ? > 0,,顯然, 在區(qū)間 I 上,一致收斂于和函數(shù)S(x),,,部分和序列,一致收斂于S(x),,,余項,一致收斂于 0,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,幾何解釋 : (如圖),,,當(dāng)n > N 時,,曲線,總位于曲線,,之間.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回

4、 結(jié)束,例1.,研究級數(shù),在區(qū)間 [0, +∞) 上的收斂性.,解:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,余項的絕對值:,因此, 任給 ? > 0,,取自然數(shù),則當(dāng)n > N 時有,這說明級數(shù)在 [0, +∞) 上一致收斂于,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2.,證明級數(shù),在 [0,1] 上不一致收斂 .,證:,,,取正數(shù),對無論多么大的正數(shù) N ,,因此級數(shù)在 [0, 1]

5、 上不,一致收斂 .,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明:,,,,,對任意正數(shù) r < 1,,級數(shù)在 [ 0, r ] 上一致收斂 .,事實上, 因為在 [ 0, r ] 上,任給 ? > 0,,欲使,只要,因此取,只要,即級數(shù)在 [ 0, r ] 上一致收斂 .,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,維爾斯特拉斯(Weierstrass) 判別法,用一致收斂定義判別級數(shù)的一致收

6、斂性時, 需求出,這往往比較困難.,下面介紹一個較方便的,判別法.,若函數(shù)項級數(shù),在區(qū)間 I 上滿足:,則函數(shù)項級數(shù),在區(qū)間 I 上一致收斂 .,簡介 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證:,由條件2), 根據(jù)柯西審斂原理,,當(dāng),n > N 時,,對任意正整數(shù) p , 都有,由條件1), 對 x ∈I , 有,故函數(shù)項級數(shù),在區(qū)間 I 上一致收斂 .,證畢,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,推

7、論.,若冪級數(shù),的收斂半徑 R > 0 ,,則此級,數(shù)在 (－R, R ) 內(nèi)任一閉區(qū)間 [ a , b ] 上一致收斂 .,證:,則對[ a , b ] 上的一切 x , 都有,由阿貝爾定理(第三節(jié)定理1) 級數(shù),絕對收斂 ,,由維爾斯特拉斯判別法即知推論成立.,說明: 若冪級數(shù)在收斂區(qū)間的端點收斂,,則一致收斂,區(qū)間可包含此端點.,證畢,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3.,證明級數(shù),在(－∞, +∞

8、) 上 一致收斂 .,證:,而級數(shù),收斂,,由維爾斯特拉斯判別法知所給級數(shù),在 (－∞, +∞) 上 一致收斂 .,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明:,維爾斯特拉斯判別法不僅能判別級數(shù)的一致收,斂性,,而且能判別其絕對收斂性.,當(dāng)不易觀察到不等式,可利用導(dǎo)數(shù)求,例如, 級數(shù),用求導(dǎo)法可得,已知,收斂,,因此原級數(shù)在[0, +∞) 上一致收斂 .,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、一致

9、收斂級數(shù)的基本性質(zhì),定理1.,若級數(shù),證:,只需證明,由于,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,因為級數(shù),一致收斂于S (x) ,,使當(dāng) n > N 時, 有,對這樣選定的 n ,,從而必存在 ? > 0 ,,從而得,證畢,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明:,(1) 定理1 表明, 對一致收斂的級數(shù),,極限運算與無限,求和運算可交換,,即有,(2) 若函數(shù)項級數(shù)不一致收斂時,

10、定理結(jié)論不一定成立.,例如, 級數(shù),在區(qū)間 [ 0 , 1 ] 上處處收斂,,而其和函數(shù),,在 x = 1 處不連續(xù) .,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理2.,若級數(shù),則該級數(shù)在 [a, b] 上可逐項積分,,且上式右端級數(shù)在 [a, b] 上也一致收斂 .,證: 因為,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,所以只需證明對任意,一致有,根據(jù)級數(shù)的一致收斂性,,使當(dāng),n > N 時,

11、有,于是, 當(dāng) n > N 時, 對一切,有,因此定理結(jié)論正確.,證畢,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明:,若級數(shù)不一致收斂時, 定理結(jié)論不一定成立.,例如, 級數(shù),它的部分和,因此級數(shù)在 [ 0 , 1 ] 上,收斂于 S (x) = 0 ,,所以,但是,①,為什么對級數(shù)①定理結(jié)論不成立?,分析它是否滿足,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理2 條件.,級數(shù)的余項,可見級數(shù)①在

12、 [ 0, 1 ] 上不一致收斂 ,,此即定理2 結(jié)論,對級數(shù)①不成立的原因.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理3.,若級數(shù),且可逐項求導(dǎo), 即,證:,先證可逐項求導(dǎo).,根據(jù)定理2,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,上式兩邊對 x 求導(dǎo), 得,再證,根據(jù)定理 2 ,,而,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,所以,級數(shù)一致收斂并不保證可以逐項求導(dǎo).,例如, 例3中的級

13、數(shù),說明:,在任意區(qū)間上都一致收斂,,但求導(dǎo)后的級數(shù),其一般項不趨于 0,,所以對任意 x 都發(fā)散 .,證畢,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4.,證明函數(shù),對任意 x 有連續(xù)導(dǎo)數(shù).,解:,顯然所給級數(shù)對任意 x 都收斂 ,,且每項都有連續(xù),導(dǎo)數(shù),,而逐項求導(dǎo)后的級數(shù),故級數(shù)②在 (－∞,+∞),上一致收斂,,故由定理3可知,②,再由定理1可知,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理4 .

14、 若冪級數(shù),的收斂半徑,則其和函,在收斂域上連續(xù),,且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)與,逐項求積分,,運算前后收斂半徑相同,即,證: 關(guān)于和函數(shù)的連續(xù)性及逐項可積的結(jié)論由維爾斯,特拉斯判別法的推論及定理 1, 2 立即可得 .,下面證明逐項可導(dǎo)的結(jié)論:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證:,則,由比值審斂法知級數(shù),故,故存在 M > 0 , 使得,由比較審斂法可知,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回

15、結(jié)束,上一致收斂,,故原級數(shù),內(nèi)任一閉區(qū)間,上滿足定理3條件,,從而可逐項求導(dǎo),,即知,再證級數(shù),的收斂半徑,由前面的證明可知,若將冪級數(shù),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,級數(shù)的收斂半徑不會縮小,,因逐項積分所得,冪級數(shù),(－R, R ) 內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù),,且有,其收斂半徑都為 R .,推論.,的和函數(shù) S (x) 在收斂區(qū)間,證畢,作業(yè)P237 1; 3(2); 4(2), (4), (5),第七節(jié)