計算二重積分的幾種方法數(shù)學專業(yè)畢業(yè)論文

1、<p>　　計算二重積分的幾種方法</p><p>　　摘要 二重積分的計算是數(shù)學分析中一個重要的內(nèi)容，其計算方法多樣、靈活，本文總結(jié)了二重積分的一般計算方法和特殊計算方法.其中，一般計算方法包括化二重積分為累次積分和換元法，特殊計算方法包括應用函數(shù)的對稱性、奇偶性求二重積分以及分部積分法.</p><p>　　關鍵詞 二重積分 累次積分法 對稱性 分

2、部積分法</p><p><b>　　1 引言</b></p><p>　　本人在家里的職業(yè)教育高中實習，發(fā)現(xiàn)這里有些專業(yè)的的學生要計算很多面積或者體積問題，已經(jīng)略微涉及到大學的積分問題，如曲頂柱體的體積，他們用最普遍的求面積/體積的方法求解，而用二重積分進行計算求解就會更容易理解，方法和步驟也帶給學生一個新的認知領域。職業(yè)教育的學生在大學知識中解決實際問題應用積分的

3、方法更頻繁。在解決一些幾何、物理等的實際問題時，我們常常需要各種不同的多元實值函數(shù)的積分，而二重積分又是基本的、常見的多元函數(shù)積分，我針對自己在《數(shù)學分析》這門課程中的學習，總結(jié)了累次積分、根據(jù)函數(shù)對稱性積分、元素法、分部積分法、極坐標下的積分等內(nèi)容，以下是我對二重積分方法的總結(jié)。</p><p><b>　　2 積分的計算方法</b></p><p>　　2.1化二

4、重積分為兩次定積分或累次積分法</p><p>　　定理1 若函數(shù)在閉矩形域可積，且，定積分存在，則累次積分也存在，且</p><p>　　證明 設區(qū)間與的分點分別是</p><p>　　這個分法記為.于是，分法將閉矩形域分成個小閉矩形，小閉矩形記為 </p><p>　　設，有.已知一元函數(shù)在可積，有.將此不等式對相加，有，其中，即.再

5、將此不等式乘以，然后對相加，有.此不等式的左右兩端分別是分法的小和與大和，即 . (1) 已知函數(shù)在可積，根據(jù)定理有 </p><p>　　又不等式（1），有，即類似地，若在閉矩形域可積，且定積分存在，則累次積分，也存在，且.</p><p>　　也可將累次積分與分別記為和.</p><p>　　定義1 設函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)；函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)

6、，則區(qū)域和分別稱為型區(qū)域和型區(qū)域.如下圖（1）和（2）所示 . </p><p>　　定理2 設有界閉區(qū)域是型區(qū)域，若函數(shù)在可積，且，定積分存在，則累次積分也存在，且.</p><p>　　利用極坐標計算二重積分公式：</p><p>　　例1 計算二重積分，其中</p><p>　　解 被積函數(shù)在R連續(xù)，則有</p&g

7、t;<p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　= </b></p><p>　　例2 計算二重積分，其中是由直線和雙曲線所圍成，既是型區(qū)域又是

8、型區(qū)域，如圖（3）所示.</p><p>　　解 先對積分，后對積分.將投影在軸上，得閉區(qū)間.,關于積分，在內(nèi)的積分限是到，然后在投影區(qū)間上關于積分，即</p><p><b>　　. </b></p><p>　　先對積分，后對積分.因為的左側(cè)邊界不是由一個解析式給出，而是由兩個解析式和給出的，所以必須將圖（3）所示的區(qū)域分成兩個區(qū)域與，分

9、別在其上求二重積分，然后再相加，即</p><p><b>　　.</b></p><p>　　例3 設函數(shù)在上連續(xù)，并設求</p><p><b>　　解 因為</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　

10、　所以.</b></p><p><b>　　2.2 換元法</b></p><p>　　求二重積分，由于某些積分區(qū)域的邊界曲線比較復雜，僅僅將二重積分化為累次積分并不能得到計算結(jié)果.如果經(jīng)過適當?shù)膿Q元或變換可將給定的積分區(qū)域變?yōu)楹唵蔚膮^(qū)域，從而簡化了重積分的計算.</p><p>　　定理3若函數(shù)在有界閉區(qū)域連續(xù)，函數(shù)組

11、 （2）</p><p>　　將平面上區(qū)域變換為平面上區(qū)域.且函數(shù)組(2)在上對與對存在連續(xù)偏導數(shù)，,</p><p>　　有則 （3）</p><p>　　證明 用任意分法T將區(qū)域分成n個小區(qū)域：.設其面積分別是.于是，在上有對應的分法,它將對應地分成n個小區(qū)域.設其面積分別是.根據(jù)定理可得，有 </p><p>

12、;　　，在對應唯一一點，而.</p><p><b>　　于是， (4)</b></p><p>　　因為函數(shù)組（2）在有界閉區(qū)域上存在反函數(shù)組，并且此函數(shù)組在一致連續(xù)，所以當時，也有.對（4）取極限，有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　例4 計算兩條拋物線與和兩條直

13、線與所圍成區(qū)域的面積，如圖（4）所示.</p><p>　　解 已知區(qū)域R的面積.</p><p>　　設這個函數(shù)將平面上的區(qū)域R變換為平面上的區(qū)域，是由直線和所圍成的矩形域.</p><p><b>　　由定理3可知,</b></p><p>　　本題是典型的運用換元法解決二重積分求面積的問題。</p>

14、<p>　　2.3 極坐標下的換元法</p><p>　　例5 計算二重積分，其中如圖（5）所示.</p><p>　　解 由于區(qū)域由圓的一部分組成，所以可以用極坐標變換來求解.</p><p>　　設，則在極坐標下，被積函數(shù)為，積分區(qū)域為型區(qū)域.則有于是有</p><p>　　此題是應用極坐標換元法求解的.</p>

15、;<p>　　2.4 應用函數(shù)的對稱性求二重積分</p><p>　　定理4 如果積分區(qū)域關于軸對稱，被積函數(shù)是關于的偶函數(shù)，是的位于軸右側(cè)的部分，則有 </p><p>　　如果積分區(qū)域關于軸對稱，被積函數(shù)是關于的偶函數(shù)，是的位于軸上側(cè)的部分，則有 </p><p>　　證明 由于關于軸對稱，不妨設y軸將區(qū)域分為和，則由二重積分對區(qū)域的可加性

16、，得</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　對積分作換元，即令，則面的區(qū)域?qū)嫔系膮^(qū)域，如圖（6）所示</p><p>　　又因為是關于的偶函數(shù)，于是可得</p><p><b>　　，</b></p><p>　　將上式帶入（5）式得 用完全類

17、似的方法可證明定理的第二部分.</p><p>　　定理5 如果積分區(qū)域關于軸、軸都對稱，被積函數(shù)關于、都是偶函數(shù)，是中第一象限的部分，則 </p><p>　　證明 由于關于軸對稱，不妨設為的位于軸右側(cè)部分，又因為是關于的偶函數(shù)，由定理4得 （6）</p><p>　　由條件知又關于軸對稱，若是的位于軸上側(cè)的部分，且因被積函數(shù)是關于的偶函數(shù)，由定

18、理4的第二部分得：</p><p>　?。?） 由上面（6）（7）式可得</p><p><b>　　.</b></p><p>　　定理6 如果積分區(qū)域關于軸（或軸）對稱，被積函數(shù)是關于 (或)的奇函數(shù)，則 </p><p>　　證明 由定理4的證明過程得

19、</p><p><b>　　.</b></p><p>　　將上式代入（5）式得</p><p><b>　　.</b></p><p>　　例6 求圓錐截圓柱面所得有界部分立體的體積.</p><p>　　解 立體在平面上的投影為根據(jù)積分區(qū)域是關于軸對稱并且被積函數(shù)是

20、的偶函數(shù)，那么所得立體體積為</p><p><b>　　，令，</b></p><p><b>　　則變?yōu)?，所以?lt;/b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　例7 計算二重積分，其中是平面以為頂點的三角形區(qū)域，是在第一象限的部分如圖（7）所示.&l

21、t;/p><p>　　解 如圖（7）所示，作輔助線OB，則</p><p><b>　　.</b></p><p>　　因區(qū)域BOC關于軸對稱，且為關于的奇函數(shù)，故</p><p>　　又因為,而區(qū)域關于軸對稱，為關于的奇函數(shù)，故為關于的偶函數(shù)，故.</p><p><b>　　因此<

22、;/b></p><p>　　2.5 用分部積分法求二重積分</p><p>　　分部積分公式由兩個函數(shù)乘積的求導公式得到，主要用于被奇函數(shù)是兩個函數(shù)乘積時的積分求法，通常根據(jù)被積函數(shù)類型按次序“反對冪指三” 作為，其他的湊成，實現(xiàn)積分的轉(zhuǎn)移。</p><p>　　當被積函數(shù)僅一類函數(shù)，且被積函數(shù)的原函數(shù)不易找到，一般也用此方法。</p><

23、;p>　　定理7 設是在上的連續(xù)可微函數(shù)，為定義在上的可微函數(shù).如果在區(qū)域上有連續(xù)可微函數(shù)滿足</p><p><b>　　（8）</b></p><p><b>　　則</b></p><p>　　證明 因為在區(qū)域上連續(xù)可微，為定義在上的可微函數(shù)，由含參變量累次積分的連續(xù)性、可微性可得，又由定積分的分部積分法、

24、含參變量積分的連續(xù)性和可微性、含參變量累次積分的連續(xù)性和可微性得</p><p><b>　　而，因此有</b></p><p><b>　　即</b></p><p>　　推論1 設，與其偏導數(shù)在區(qū)域上連續(xù)，為定義在上的可微函數(shù)，且，則</p><p>　　證明由定理7知，令即則有：</p

25、><p>　　推論2 設，與其偏導數(shù)在區(qū)域上連續(xù)，為定義在上的可微函數(shù)，且，則</p><p>　　例10 計算二重積分，其中區(qū)域是由與所圍成第一象限的圖形.</p><p>　　解 如果先對積分，后對積分， 由分部積分法可得</p><p><b>　　所以于是.</b></p><p>　　

26、例11 計算二重積分是由直線及拋物線圍成的區(qū)域.</p><p>　　解 對于型區(qū)域得顯然，由上式易求出 .對于型區(qū)域得若用一般方法，想要求解非常困難，若用分部積分法，則易得結(jié)果.所以用分部積分法可得</p><p><b>　　3.結(jié)論</b></p><p>　　以上是對二重積分的常用計算方法的總結(jié)，通過以上總結(jié)使我們對二重積分的計算有

27、了更深入的了解.在以后的計算過程中，我們可以通過函數(shù)的不同特點來選擇不同的計算方法，以簡化計算過程.更多的計算方法與技巧有待于我們今后做進一步的研究與探索.</p><p><b>　　【參考文獻】</b></p><p>　　[1]劉玉漣.數(shù)學分析講義[M].高等教育出版社.2010年.第五版</p><p>　　[2]李玲.對稱性在二重積分

28、中的應用[J].黃山學院學報.2006年.第8卷.第3期</p><p>　　[3]熊明.用元素法把二重積分直接化為單積分[J].高等數(shù)學研究.2010年.第13卷.第4期</p><p>　　[4]韓紅偉.分部積分法在二重積分中的應用[J].時代教育.2008年.第1期</p><p>　　[5]孫幸榮.二重積分的分部積分法[J].綿陽師范學院學報.2009年.第

29、28卷.第11期</p><p>　　Several methods for calculating the double integral</p><p><b>　　Caoyang</b></p><p>　　School of mathematics and statistics, Chifeng University, Chifeng

30、024000</p><p>　　Abstract: Calculation of double integral is an important content of mathematical analysis, the calculation method of diversity, flexibility, this paper summarizes the general methods of calcu

31、lating the double integral and special calculation method. Among them, the general calculation methods including double integral for the iterated integral and substitution method, symmetry, parity and double integral and