第七章 地下水運動中若干專門問題

1、<p>　　第七章 地下水運動中的若干專門問題</p><p>　　§1 非飽和帶的地下水運動</p><p>　　一、關(guān)于非飽和帶水分的基本知識</p><p>　　1. 含水率，飽和度和田間持水量</p><p>　　包氣帶中的空隙，一部分被水充填，另一部分被空氣充填。</p><p>　　含

2、水率(θ)：表示單位積中水所占的體積，</p><p>　　式中：（Vw）0——典型單元體中水的體積；</p><p>　　V0——典型單元體的體積</p><p>　　飽和度：巖石的空隙空間中被水占據(jù)部分所占的比例。</p><p>　　式中：（V0）0——典型單元體中的空隙體積</p><p>　　含水率與飽和度的

3、關(guān)系：</p><p><b>　　θ=nSw</b></p><p>　　式中：n——孔隙度。</p><p>　　田間持水量：在長時間重力排水后仍然保留在土中的水量。</p><p><b>　　2. 毛管壓力</b></p><p>　　毛管壓強：在多孔介質(zhì)的孔隙中，液

4、體和氣體接觸是，二者存在壓力差，這個壓力差稱毛管壓強。用pc表示</p><p><b>　　pc=pa-pw</b></p><p>　　式中：pa——空氣的壓強；</p><p><b>　　pw——水的壓強</b></p><p>　　毛管壓強取決于界面的曲率，曲率愈大（液面愈彎曲，毛管壓強愈

5、大。</p><p>　　以上毛管壓強是以絕對壓強為基準(zhǔn)，如果以相對壓強為基準(zhǔn)，這時有：</p><p>　　pc=pa-pw –pa</p><p>　　∴ pc=-pw </p><p>　　毛管壓強相對大氣壓強為負值。即，非飽和帶孔隙中的水處于小于大氣壓強的情況下。</p><p>　　非飽和帶水流中

6、任何點的水頭</p><p>　　式中：z——位置水頭；</p><p>　　hc=pc/r ——毛管壓力水頭；</p><p>　　∴ H=z-hc</p><p>　　3土壤水分特征的曲線</p><p>　　水分特征曲線：反映毛管壓力水頭（或毛管壓強）和土壤含水率或飽和度關(guān)系的曲線。如圖：隨著含水率的減

7、少，毛管壓力增加，當(dāng)含水率減小到某一值時，壓強繼續(xù)增大時，含水率不在減小。相應(yīng)的飽和度為：</p><p>　　影響特征曲線的因素：</p><p>　　（1）不同質(zhì)地的土壤，其水分特征曲線不同。一般說，土壤的粘粒含量愈高。同一負壓條件下土壤的含水率愈大，或者同一含水率下其負壓愈高。這是因為，粘粒含量增多。使土壤中細小孔隙發(fā)育的緣故。</p><p>　?。?）土壤

8、結(jié)構(gòu)。如圖，為一砂壤土不同干容重的水分特征曲線，在同一負壓下，土壤愈密實，（大），相應(yīng)的含水率一般也大。原因，土壤愈密實，大孔隙數(shù)量減少，中孔隙增多。</p><p>　?。?）溫度的影響。溫度升高，水的粘滯性下降，所以表面張力降低，在同樣的負壓下，含水率要低一些。</p><p>　?。?）土壤水分變化過程的影響。對于同一土壤，土壤脫濕（由濕變干）過程測得的水分特征曲線不同，如圖，在相同

9、的負壓下，排水（脫濕）時的含水率要大于吸濕時的含水率。這種現(xiàn)象稱為滯后現(xiàn)象。</p><p>　?。?）容水度：毛管壓力水頭變化一個單位時，從單位體積土中釋放出的水體積。數(shù)值上等于，水分特征曲線的斜率的負倒數(shù)。</p><p>　　它是含水率和毛管壓強的函數(shù)，可用或表示。</p><p>　　二、非飽和帶水運動的基本方程</p><p>　　

10、非飽和帶地下水的運動，也可以用達西定律描述，這時的滲透系數(shù)是變化的，與含水率和毛細壓力水頭有關(guān)，是和的函數(shù)，其關(guān)系如圖，隨著含水率的增大，滲透系數(shù)增大，隨毛管壓力水頭的減小，滲透系數(shù)增大。</p><p>　　在非飽和帶中，定律的表達式為：</p><p>　　在三個坐標(biāo)軸的分量為：</p><p><b>　　2 基本微分方程</b><

11、/p><p>　　第一章推的滲流連續(xù)性方程，如下：</p><p>　　在飽水帶中，全部孔隙被水充滿，等式右端用孔隙度，在非飽和帶中，部分孔隙被水充滿，所以用含水率取代，并兩邊除（近似為常數(shù)），得：</p><p>　　將vx、vy、vz代入上式，得：</p><p>　　二式為非飽和流的基本方程</p><p>　　3

12、基本方程的幾種形式</p><p>　　（1）以含水率為因變量的表達式</p><p>　　將H換成θ，將H=z-hc代入上（1）式，得：</p><p><b>　　上式進一步變換</b></p><p>　　定義K（θ）/C（θ）=D（θ）</p><p><b>　　為擴散系數(shù)，得

13、：</b></p><p>　　對于垂向一維流動，去掉前兩項，得：</p><p>　　軸向上取正值，軸向下取負值。</p><p>　?。?）以毛管壓力水頭為因變量得表達式：</p><p>　　將H=z-hc代入（2）式，得：</p><p><b>　　代入上式：</b><

14、/p><p>　　對于垂向一維流動，去掉前兩項，得：</p><p>　　軸向上取正值，軸向下取負值。</p><p>　　§2 水動力彌散理論</p><p>　　用來模擬地下水中污染物和化學(xué)成分得運移過程，預(yù)測地下水污染得發(fā)展趨勢。</p><p>　　一 水動力彌散現(xiàn)象及其機理</p><

15、;p>　　例1. 在一口井中注入一種示蹤劑，示蹤劑在隨地下水向前流動得過程中，向外圍擴散，形成一個以中心點濃度最大，向四周濃度逐漸減小的過渡帶，并且隨示蹤劑遷移的距離增大，過渡帶也越來越寬。如圖（書中）</p><p>　　例2. 在均勻流的砂柱中，用含有示蹤劑濃度為的水去替代，在砂柱另一端測量示蹤劑濃度，得曲線如圖（書）。水在流動過程中并非一個突變界面，而是一個過液帶。這種現(xiàn)象稱水動力彌散。</p&

16、gt;<p>　　水動力彌散是機械彌散和分子擴散所引起的。</p><p><b>　　1 機械彌散</b></p><p>　　液體在多孔介質(zhì)中運動的三種情況：（1）由于液體粘性的作用和結(jié)合水的摩擦阻力，使得靠近孔隙壁的水流速度趨于零。孔隙中心部位流速最大。</p><p>　　孔隙大小不一，造成不同孔隙之間沿軸部的最大流速有差

17、異；</p><p>　?。?）由于空隙的彎彎曲曲，水流方向也隨之不斷地改變。</p><p>　　由于上述三種情況，造成了地下水質(zhì)點運動速度，在大小和方向上的不均一，造成了示蹤劑有的運動快，有的運動慢，從而形成了上述過渡帶。這種由于速度不均一所造成的這種物質(zhì)運移現(xiàn)象稱為機械彌散。</p><p><b>　　2 分子擴散</b></p&

18、gt;<p>　　一般溶質(zhì)都有由濃度高向濃度低的地方運移的性質(zhì)，以求濃度趨于均一。這種由于液體中所含溶質(zhì)的濃度不均一而引起的物質(zhì)運移現(xiàn)象叫分子擴散。</p><p><b>　　分子擴散服從定律</b></p><p>　　式中：Is——單位時間內(nèi)通過單位面積的溶質(zhì)的質(zhì)量；</p><p>　　dc/ds——溶質(zhì)在溶液中的濃度c沿

19、s方向變化的濃度梯度；</p><p><b>　　Dd—擴散系數(shù)。</b></p><p>　　機械彌散和分子擴散是同時出現(xiàn)的，當(dāng)流速較大時，機械彌散是主要的；當(dāng)流速甚小時，分子擴散的作用就變得明顯。</p><p>　　水動力彌散還分為沿水流方向和垂直與水流方向的彌散，沿水流方向的彌散稱縱向彌散，垂直水流方向的彌散稱橫向彌散。</p&

20、gt;<p><b>　　二 水動力彌散系數(shù)</b></p><p><b>　　分子擴散服從定律：</b></p><p>　　式中：D″——為分子擴散系數(shù)；</p><p>　　I″——為由于分子擴散在單位時間內(nèi)通過單位面積的溶質(zhì)質(zhì)量。</p><p>　　機械彌散也服從定律：&l

21、t;/p><p>　　式中：D′——為機械擴散系數(shù)；</p><p>　　I′——為由于機械擴散在單位時間內(nèi)通過單位面積的溶質(zhì)質(zhì)量。</p><p>　　由于水動力彌散是分子彌散和機械擴散共同作用的，定義水動力彌散系數(shù)：</p><p>　　水動力彌散定律如下：</p><p>　　式中：I——單位時間內(nèi)通過面積的溶質(zhì)質(zhì)量

22、；</p><p>　　D——水動力彌散系數(shù)；</p><p>　　Dc/ds——濃度梯度。</p><p>　　如果我們?nèi)》较蚺c流速方向一致，軸和軸與流速方向垂直，上式可用下式表示：</p><p>　　三 對流彌散方程及其定解條件</p><p>　　如圖，以滲流區(qū)內(nèi)任一點為中心，取一無限小的六面體單元，各邊長為Δ

23、x、Δy、Δz，選擇x軸與P點處的平均流速方向一致。（即縱向彌散方向為軸方向）</p><p>　　在對流彌散問題中，包括兩個子問題：其一，溶質(zhì)隨地下水的流動或流出單元體；其二，溶質(zhì)通過自身的彌散流入或流出單元體。</p><p>　　水動力彌散引起的物質(zhì)運移：</p><p>　　設(shè)，沿軸方向溶質(zhì)的質(zhì)量變化率為dIx/dx，如果假設(shè)Ix為在abcd面上，單位時間內(nèi)

24、通過單位面積溶質(zhì)的質(zhì)量，那么，時間內(nèi)通過面流入單元體的溶質(zhì)質(zhì)量為：IxnΔyΔzΔt</p><p>　　因為沿軸方向溶質(zhì)的質(zhì)量變化率為dIx/dx，所經(jīng)距離Δx后，變化了（dIx/dx）Δx，所以，Δt時間內(nèi)，通過a′b′c′d′面流出單元體的溶質(zhì)質(zhì)量為：</p><p>　　所以，沿x軸方向流入與流出單元體的溶質(zhì)質(zhì)量差為：</p><p>　　同理，沿y軸方向和

25、z軸方向流入與流出單元體的溶質(zhì)質(zhì)量差為：</p><p>　　所以，通過彌散單元體內(nèi)溶質(zhì)質(zhì)量的變化為：</p><p>　　隨地下水流的物質(zhì)運移：</p><p>　　設(shè)沿x軸方向，在abcd面地下水的流速為vx，則單位時間通過abcd面單位面積流入單元體的水量為vx×1×1，流入的溶質(zhì)質(zhì)量為vx×c：（為溶質(zhì)的濃度），那么，在Δt時間

26、內(nèi)流入abcd面溶質(zhì)量為：</p><p><b>　　vxcΔyΔzΔt</b></p><p>　　設(shè)沿方向，通過單位面積溶質(zhì)質(zhì)量的變化率為：</p><p>　　經(jīng)Δx距離的變化量為：</p><p>　　在a′b′c′d′面，單位時間單位面積流出單元體的溶質(zhì)質(zhì)量為：</p><p>　　在

27、Δt時間內(nèi)流出面的溶質(zhì)質(zhì)量為：</p><p>　　所以，沿軸方向流入與流出單元體的溶質(zhì)的質(zhì)量差為：</p><p>　　同理，沿軸和軸方向流入與流出單元體的溶質(zhì)質(zhì)量差為：</p><p>　　所以，隨地下水流流入與流出單元體的溶質(zhì)質(zhì)量差為：</p><p>　　Δt 時間內(nèi)，流入和流出單元體總的溶質(zhì)質(zhì)量差為：</p><

28、p>　　另外，設(shè)單元體內(nèi)溶質(zhì)濃度隨時間的變化率為dc/dt，那么，Δt時間內(nèi)單元體內(nèi)體積溶質(zhì)濃度變化量為：</p><p>　　所以，Δt時間內(nèi)單元體內(nèi)溶質(zhì)質(zhì)量變化量為：</p><p>　　上述二量應(yīng)相等，并消去ΔxΔyΔzΔt，得：</p><p>　　代入上式，并兩邊同除以，則得：</p><p>　　式中，u——實際流速。<

29、;/p><p>　　上式為對流彌散方程。</p><p>　　如果，有其它源匯項時，并設(shè)單位時間單位體積含水層內(nèi)由源匯引起的溶質(zhì)質(zhì)量的變化量為f。在上式的左邊加一項f即可。</p><p>　　關(guān)于溶質(zhì)運移的數(shù)學(xué)模型除微分方程外，還應(yīng)有定解條件：</p><p>　　初始條件：初始時刻的濃度分布。表達式如下：</p><p&g

30、t;　　C(x，y，z，0)= C0(x，y，z)</p><p><b>　　邊界條件：有兩類。</b></p><p>　　一類是已知濃度的邊界條件，表示如下：</p><p>　　式中：Γ1——表示一類邊界。</p><p>　　另一類是通量邊界，即單位時間內(nèi)通過單位邊界面積的溶質(zhì)質(zhì)量已知。如：</p>

31、<p><b>　　隔水邊界：</b></p><p><b>　　補給邊界：</b></p><p>　　所以，要確定一個水動力彌散問題的解，即求得濃度的分布，要給出下列信息：（1）微分方程；（2）研究空間區(qū)域和時間區(qū)域；（3）研究區(qū)域水頭場的分布；（4）有關(guān)參數(shù)，如彌散度和等；（4）定解條件。</p><p&

32、gt;<b>　　四 一維彌散問題解</b></p><p>　　設(shè)投放示蹤劑前，含含水層中示蹤劑的濃度為0，然后在河渠中連續(xù)注入濃度為C0的示蹤劑。在均勻流情況下，ux=u為常數(shù)</p><p><b>　?。?）數(shù)學(xué)模型：</b></p><p><b>　　定解問題的解：</b></p&g

33、t;<p><b>　　其中</b></p><p><b>　　當(dāng)</b></p><p><b>　　時，上解可近似為：</b></p><p>　?。?）利用實驗資料求縱向彌散系數(shù)</p><p>　　有一個觀測孔時，觀測孔距河渠距高已知，在觀孔中可測得不同

34、時刻的，從而可求得。</p><p><b>　　求參步驟：</b></p><p>　?、?據(jù)實驗資料作Ci/C0—t關(guān)系曲線，如圖</p><p>　　② 在圖上找出Ci/C0為0.84和0.16二點，并讀出其橫坐標(biāo)t0.84和t0.16。</p><p>　?、?代入下式求縱向彌散系數(shù)</p><

35、;p>　　式中：u——地下水實際流速</p><p>　　§3 海岸帶含水層中的咸淡水界面</p><p>　　天然條件下，在海岸帶含水層中的地下水一般是流向海的，由于海水比淡水的比重大，海水體將位于淡水體的下方，是楔型，如圖。處于平衡狀態(tài)。</p><p>　　當(dāng)在海岸邊抽取淡水時，這時淡水的水位下降，打破了原來的平衡，引起海水向內(nèi)陸的入侵，以達到

36、新的平衡，這時界面向陸地推進。該現(xiàn)象為海水入侵。</p><p>　　海水與淡水是可以溶混的，由于水動力彌散，在海水與淡水之間形成了一個過渡帶，在過渡帶中地下水的礦化度由小變大，直到海水礦化度。</p><p>　　過渡帶的寬度在不同的地區(qū)，其寬度不同，當(dāng)其寬度較小，且與含水層的厚度相比較小時，可以以為海水與淡水之間是一突變界面；否則寬度較寬時，則作為水動力彌散問題加以研究。</p&

37、gt;<p>　　一 作突變界面處理靜止界面的近似解</p><p>　　當(dāng)?shù)秃Ｋ幱谝环N平衡狀態(tài)時，界面是靜止的，如圖，假設(shè)淡水的容重為rf，海水的容重為rs。</p><p>　　在界面上的點，受海水的壓力為：γshs</p><p>　　在界面上的點，受到淡水的壓力為：γf（hs+hf）</p><p>　　此二壓力應(yīng)

38、相等：γf（hs+hf）= γshs</p><p><b>　　解得：</b></p><p><b>　　令</b></p><p><b>　　則：</b></p><p><b>　　hs=δhf</b></p><p>　

39、　一般海水密度為1.025g/cm3，容重γs=10045N/m3，淡水密度為1.000g/cm3，容重γs=9800N/m3。代入可求得：δ=40</p><p>　　∴ hs=40hf</p><p>　　說明：在離海岸任一距離上，穩(wěn)定界面在海面以下得深度為該處 淡水高出海面得倍。</p><p>　　以上僅是一種近似解法。</p>

40、<p>　　二 確定界面的形狀及海水入侵的范圍</p><p>　　厚度固定的水平承壓含水層中的界面問題</p><p>　　水流是穩(wěn)定流，如圖，設(shè)，原點位于坡腳（點），x軸的正向指向海。含水層厚度為M，承壓水頭為H，假設(shè)地下水為水平流，忽略垂向分速度。由Darcy定律，有：</p><p>　　K=Kf（Kf含水層中淡水的滲透系數(shù)）</p>

41、;<p>　　H=Hf（Hf含水層中淡水的水頭）</p><p>　　由前面知，hs=d+h(x)</p><p>　　∵ hs=δH</p><p>　　∴ d+h (x)= δH</p><p>　　兩邊對求導(dǎo)，得：（與無關(guān)）</p><p><b>　　代入上式

42、得：</b></p><p><b>　　對上式整理得：</b></p><p><b>　　兩邊積分得：</b></p><p>　　當(dāng)x=0時，h(x)=M，代入上式得：</p><p><b>　　代入上式得：</b></p><p>

43、　　上式表明界面得形狀是一條拋物線。利用此式可確定X處的h（x）。</p><p>　　另外，由d+h (x)=δH得：</p><p>　　h (x)=δH-d</p><p><b>　　代入（1）式得：</b></p><p><b>　　兩邊積分，得：</b></p><

44、p>　　當(dāng)x=0時，H=H0，代入上式，得：</p><p><b>　　代入，得：</b></p><p>　　此式表明承壓水含水層淡水的水頭面的形狀也是一條拋物線。</p><p>　　當(dāng)x=L時，h=0，這時d+h=d=δH</p><p>　　∴ H=d /δ</p>&l

45、t;p><b>　　代入上式，得：</b></p><p>　　此式表示出海水入侵深度與流向海的淡水流量q0和界面坡腳以上測壓水頭H0之間的關(guān)系。</p><p>　　又∵ 在x=0處，有d+M=Δh0，代入上式，得：</p><p>　　此式中，均為常數(shù)，所以等式的右端為常數(shù)，這樣可得出：與是反比。當(dāng)增大時，減小。</p>

46、<p>　　潛水含水層中的界面問題</p><p>　　含水層上部有均勻入滲補給，水流是穩(wěn)定流，且假設(shè)水流為水平流動。如圖。處的單寬流量為：</p><p>　　前面得出了h=δhf</p><p><b>　　代入上式，得：</b></p><p><b>　　分離變量，得：</b>&

47、lt;/p><p><b>　　兩邊積分得：</b></p><p>　　當(dāng)x=0時，hf=H0，代入上式得：</p><p><b>　　則：</b></p><p>　　此式表明：界面形狀為一條橢圓線。</p><p>　　當(dāng)x=L時，hf=0，有：</p>&