優(yōu)化模型在生產(chǎn)計劃制定中的應用畢業(yè)論文

1、<p>　　本科學生畢業(yè)論文（設計）</p><p>　　題目(中文)： 優(yōu)化模型在生產(chǎn)計劃制定中的應用 </p><p>　　(英文)： The Application of Optimization Model </p><p>　　in the Draft of Production Plan </p><p>　

2、　畢業(yè)論文（設計）任務書</p><p>　　課題名稱：優(yōu)化模型在生產(chǎn)計劃制定中的應用</p><p>　　2009年 11 月 20 日</p><p>　　注：本任務書一式三份，由指導教師填寫，經(jīng)系審批后一份下達給學生，一份交指導教師，一份留系里存檔。</p><p>　　畢業(yè)論文（設計）開題報告書</p><p>

3、;　　本科學生畢業(yè)論文（設計）</p><p>　　題目(中文)： 優(yōu)化模型在生產(chǎn)計劃制定中的應用 </p><p>　　(英文)： The Application of Optimization Model </p><p>　　in the Draft of Production Plan </p><p>　　2010年 4

4、月15日</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　緒論1</b></p><p>　　1優(yōu)化模型的提出背景及實際意義2</p><p>　　1.1優(yōu)化模型的提出背景2</p><p>　　1.2優(yōu)化模型的實際意義3</p>

5、<p>　　2優(yōu)化模型的基本要素及分類4</p><p>　　2.1優(yōu)化模型的基本要素4</p><p>　　2.1.1優(yōu)化變量4</p><p>　　2.1.2目標函數(shù)4</p><p>　　2.1.3約束條件5</p><p>　　2.2優(yōu)化模型的分類5</p><p&

6、gt;　　3生產(chǎn)計劃制定及其求解方法6</p><p>　　3.1多階段轉(zhuǎn)化6</p><p>　　3.1.1多階段轉(zhuǎn)化動態(tài)規(guī)劃的提出6</p><p>　　3.1.2最優(yōu)化原則7</p><p>　　3.1.3多階段轉(zhuǎn)化對生產(chǎn)計劃的應用8</p><p>　　3.2 變分法14</p>&l

7、t;p>　　3.2.1問題的提出15</p><p>　　3.2.2 模型的假設15</p><p>　　3.2.3建模與求解16</p><p>　　3.2.4 實　例19</p><p><b>　　結束語20</b></p><p><b>　　參考文獻21<

8、;/b></p><p><b>　　致 謝22</b></p><p>　　優(yōu)化模型在生產(chǎn)計劃制定中的應用</p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　優(yōu)化問題是在工程技術、生產(chǎn)計劃、經(jīng)濟管理和科學研究等領域中最常遇到的一類問題.而優(yōu)化模型作為數(shù)學模型中的一種常見模型

9、,是數(shù)學建模在這些領域中的成功應用.本文在給出優(yōu)化模型的一些定理和相關概念之后,介紹了優(yōu)化問題的幾種分類,如有約束的優(yōu)化問題,無約束優(yōu)化問題,線性優(yōu)化問題,動態(tài)優(yōu)化問題及其相關內(nèi)容,并對優(yōu)化模型做了簡單的分析和說明.同時重點整理了動態(tài)優(yōu)化問題的兩種解法——多階段轉(zhuǎn)化和變分法,并分別對它們在動態(tài)優(yōu)化中各自的應用范圍和具體作用做了分析；接著根據(jù)對生產(chǎn)計劃制定的研究,運用兩種方法對其具體問題進行定量分析；最后用優(yōu)化模型解決了在生產(chǎn)計劃中遇到的

10、一些問題.</p><p>　　【關鍵詞】 數(shù)學建模 優(yōu)化模型 生產(chǎn)計劃 多階段轉(zhuǎn)化 生產(chǎn)率 變分法</p><p>　　The Application of Optimization Model in the Draft of </p><p>　　Production Plan</p><p><b>　　Abstrac

11、t</b></p><p>　　Optimization problem is a class of problems most commonly encountered in the engineering, production planning, economic management and scientific research. The optimization model as a co

12、mmon model of mathematical model is successful application of mathematical modeling in these areas. The paper introduces several kinds of classification of optimization problems in this article, such as constrained optim

13、ization problems, unconstrained optimization problems, linear optimization problems,dynamic op</p><p>　　【Key words】 Mathematical Modeling Optimization Model Program </p><p>　　Production Mu

14、ltistage Conversion Productivity The Variational Method</p><p><b>　　緒論</b></p><p>　　一般地說,數(shù)學模型可以描述為,對于現(xiàn)實世界的一個特定對象,為了一個特定目的,根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律,做出一些必要的簡化假設,運用適當?shù)臄?shù)學工具,得到的一個數(shù)學結構[1].現(xiàn)實生活中運用數(shù)學建模來

15、解決實際問題是十分常見的,可以說數(shù)學模型是將數(shù)學和現(xiàn)實生活聯(lián)系起來的一座橋梁,而優(yōu)化模型作為一種最常見且得到廣泛應用的模型,正是數(shù)學建模在生產(chǎn)經(jīng)濟管理領域中的典型應用.</p><p>　　優(yōu)化問題是人們最常遇到的一類問題．設計師要在滿足強度要求等條件下選擇材料的尺寸,使結構總量最輕；公司經(jīng)理要根據(jù)生產(chǎn)成本和市場需求確定產(chǎn)品價格,使所獲利潤最高；投資者要選擇一些股票、債券“下注”,使收益最大,而風險最小.<

16、/p><p>　　用數(shù)學建模的方法來處理優(yōu)化問題,即建立和求解所謂優(yōu)化模型.雖然由于建模時要做適當?shù)暮喕?可能使得結果不一定完全可行或達到實際上的最優(yōu),但是它基于客觀規(guī)律和數(shù)據(jù),又不需要多大的費用.如果在建模的基礎上再輔之以適當?shù)慕?jīng)驗和試驗,就可以期望得到實際問題的一個比較圓滿的回答.在決策科學化、定量化的呼聲日益高漲的今天,這無疑是符合時代潮流和形勢發(fā)展需要的.</p><p>　　在市場經(jīng)

17、濟中有關產(chǎn)品的效益是由生產(chǎn)的現(xiàn)實條件和需求者的需求量關系來決定的,由于產(chǎn)量與費用的這種波動關系,從而抽象出了優(yōu)化模型.優(yōu)化模型是在生產(chǎn)中是供應者在最節(jié)省能源的情況下獲得最大的效益,對企業(yè)追求最大利潤起到了相當重要的作用.它要求企業(yè)在生產(chǎn)中對原材料做到充分利用,正確把握產(chǎn)品產(chǎn)量和費用間的規(guī)律,最終又快又好的完成產(chǎn)量,使企業(yè)獲得最大利潤.</p><p>　　優(yōu)化模型是生產(chǎn)計劃和經(jīng)濟管理中的一個經(jīng)典模型,在對尋求最大

18、效益方面的應用非常廣泛.例如公司經(jīng)理要根據(jù)生產(chǎn)成本和市場需求確定產(chǎn)品價格和生產(chǎn)計劃,使利潤達到最大；調(diào)度人員要在滿足物質(zhì)需求和裝載條件下安排從各需求點的運量和路線,使運輸總費用達到最低.然而簡單優(yōu)化模型假設提供的原材料、生產(chǎn)環(huán)境以及人力資源都是靜態(tài)的,且需求者要求的產(chǎn)量一定,但假設條件在現(xiàn)實的經(jīng)濟系統(tǒng)中不可能都是靜態(tài)的,因此本文我們在分析了簡單的優(yōu)化模型后,又介紹了更加符合現(xiàn)實經(jīng)濟條件的動態(tài)優(yōu)化模型,并對該模型進行了分析.</p&

19、gt;<p>　　隨著國內(nèi)外對優(yōu)化模型的不斷研究和改進,其應用領域已不僅僅局限于單領域范圍,也將其運用在石油開采、城市規(guī)劃、人力資源分配等問題的分析上.當前全球經(jīng)濟正處于金融危機的嚴重影響下,如何在當前形勢下制定出比較有利的生產(chǎn)計劃對一個企業(yè)來說是非常重要的,本文我們將主要運用優(yōu)化模型來研究生產(chǎn)計劃的制定方案,并研究結果來確定比較合理的計劃方案.</p><p>　　1優(yōu)化模型的提出背景及實際意義&

20、lt;/p><p>　　優(yōu)化模型工作是利用現(xiàn)有的條件規(guī)劃出各種“最優(yōu)”方案為現(xiàn)代生產(chǎn)計劃和管理工作中的經(jīng)濟利益預估服務.這里通過變分法作出的求極限值的模型被稱為優(yōu)化模型.優(yōu)化模型在現(xiàn)代企業(yè)管理中有很多的應用,如物流、生產(chǎn)計劃、原材料采購、勞動力的分配、廣告促銷、運輸、成本控制、項目擇優(yōu)、信貸投放、企業(yè)的資產(chǎn)負債情況等方面的問題都可以用線性規(guī)劃來解決.</p><p>　　1.1優(yōu)化模型的提出背

21、景</p><p>　　數(shù)學模型是對于一個現(xiàn)實對象,為了一個特定目的,根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律,做出一些必要的簡化假設,運用適當?shù)臄?shù)學工具,得到的一個數(shù)學結構.數(shù)學模型是將數(shù)學和現(xiàn)實生活聯(lián)系起來的橋梁,在眾多領域有著廣泛的應用.</p><p>　　求解實際的最優(yōu)化問題一般要進行兩項工作.第一是將實際問題抽象地用數(shù)學模型來描述,包括選擇優(yōu)化變量,確定目標函數(shù),給出約束條件；第二是對數(shù)學模型進行必

22、要的簡化,并采用適當?shù)淖顑?yōu)化方法求解數(shù)學模型.建立優(yōu)化數(shù)學模型是求解優(yōu)化問題的基礎,有了正確、合理的模型,才能選擇適當?shù)姆椒▉砬蠼?數(shù)學模型的建立要求具備與實際問題有關的專業(yè)技術知識,確定優(yōu)化追求的目標,并推導出相應的目標函數(shù)；分析影響目標函數(shù)的因素有哪些,它們之間的相互關系如何,選擇哪些參數(shù)作為優(yōu)化變量,同時又受到哪些約束條件的限制.優(yōu)化變量、目標函數(shù)和約束條件是最優(yōu)化問題數(shù)學模型的三個基本要素.這是優(yōu)化模型簡單的要素. </p

23、><p>　　針對生產(chǎn)計劃制定中的具體要求,最常用的兩種優(yōu)化方法是多階段轉(zhuǎn)化和變分法.根據(jù)實際情況和兩種方法的特點,對不同的生產(chǎn)計劃采取不同的方法.</p><p>　　多階段轉(zhuǎn)化是動態(tài)規(guī)劃中解決多階段決策過程最優(yōu)化的一種方法.它把困難的多階段決策問題變換成一系列互相聯(lián)系比較容易的單階段問題,解決了這一系列比較容易的單階段問題,也就解決了這困難的多階段決策問題.多階段決策問題,是指這樣一類活動

24、的過程：在它的每個階段都需要做出決策,并且一個階段的決策確定以后,常影響下一個階段的決策,從而影響整個過程決策的效果.多階段轉(zhuǎn)化就是使問題要在允許的各階段的決策范圍內(nèi),選擇一個最優(yōu)決策,使整個系統(tǒng)在預定的標準下達到最佳的效果.有時階段可以用時間表示,在各個時間段,采用不同決策轉(zhuǎn)化,它隨時間而變動,這就有“動態(tài)”的含意.動態(tài)規(guī)劃就是要在時間的推移過程中,在每個時間階段選擇適當?shù)臎Q策,以便整個系統(tǒng)達到最優(yōu).用動態(tài)規(guī)劃可以解決管理中的最短路問

25、題、裝載問題、庫存問題、資源分配、生產(chǎn)計劃制定等最優(yōu)化問題.</p><p>　　而變分法作為數(shù)學問題中求極值的一種方法,是動態(tài)優(yōu)化模型在生產(chǎn)計劃制定中的典型應用.變分法是泛函分析（如果變量對應于某一函數(shù)類中的每一個函數(shù)都有一個確定的值,那么就稱變量為函數(shù)的泛函,記為式中,為泛函,函數(shù)為泛函的宗量,為函數(shù)的自變量.)中的一種方法[4].如果連續(xù)泛函的改變量為式總可以表示為式中,是的線性形式；是的最大值.當上式中的

26、時,,稱為泛函的變分,記作,寫成式中,是泛函對其宗量y的偏微分,.所謂生產(chǎn)計劃這里簡單的看作是到每一刻為止的累積產(chǎn)量.變分法是生產(chǎn)計劃的制定進行建立模型的數(shù)學方法,使得在生產(chǎn)中獲得最大的效益.</p><p>　　變分法是處理函數(shù)的函數(shù)的數(shù)學領域,和處理數(shù)的函數(shù)的普通微積分相對.變分法的關鍵定理是歐拉－拉格朗日方程.它對應于泛函的臨界點.在尋找函數(shù)的極大和極小值時,在一個解附近的微小變化的分析給出一階的一個近似.

27、18世紀是變分法的草創(chuàng)時期,建立了極值應滿足的歐拉方程并據(jù)此解決了大量具體問題.1964年,錢偉長教授明確提出了引進拉格朗日成子（Lagrange multiplier）把有約束條件的變分原理化為較少（或沒有）約束條件的變分原理的方法.日本的鷲津一郎教授、中國科學院院士錢偉長教授和劉高聯(lián)教授等都是這方面的世界級大師.在生產(chǎn)計劃制定中,如何選擇使費用最省而經(jīng)濟利益最大,變分法是生產(chǎn)最優(yōu)化最成功的方法.</p><p&g

28、t;　　1.2優(yōu)化模型的實際意義</p><p>　　優(yōu)化模型工作的一個很重要任務就是利用現(xiàn)有的條件規(guī)劃出各種“最優(yōu)”方案為現(xiàn)代生產(chǎn)計劃和管理工作中的經(jīng)濟利益預估服務.這里通過變分法作出的求極限值的模型被稱為優(yōu)化模型.優(yōu)化模型在現(xiàn)代企業(yè)管理中有很多的應用,如物流、生產(chǎn)計劃、原材料采購、勞動力的分配、廣告促銷、運輸、成本控制、項目擇優(yōu)、信貸投放、企業(yè)的資產(chǎn)負債情況等方面的問題都可以用線性規(guī)劃來解決.</p&g

29、t;<p>　　基于優(yōu)化模型在多方面的實際應用,我認為各個領域的人才尤其是企業(yè)生產(chǎn)管理者都應在這方面有著堅實的基礎,因為它不僅提高我們自身的素質(zhì)和邏輯思維能力 ,還能指導企業(yè)家提高企業(yè)的生產(chǎn)效率,使企業(yè)獲得最大的利益以便更好的適應市場激烈的競爭.</p><p>　　2優(yōu)化模型的基本要素及分類</p><p>　　2.1優(yōu)化模型的基本要素</p><p&g

30、t;<b>　　2.1.1優(yōu)化變量</b></p><p>　　一個實際的優(yōu)化方案可以用一組參數(shù)（如幾何參數(shù)、物理參數(shù)、工作性能參數(shù)等）來表示.在這些參數(shù)中,有些根據(jù)要求在優(yōu)化過程中始終保持不變,這類參數(shù)稱為常量.而另一些參量的取值則需要在優(yōu)化過程中進行調(diào)整和優(yōu)選,一直處于變化的狀態(tài),這類參數(shù)稱為優(yōu)化變量（或稱為決策變量、設計變量）.優(yōu)化變量必須是獨立的參數(shù).例如,如果將舉行的長和寬作為優(yōu)化

31、變量,則其面積就不是獨立參數(shù),不能再作為優(yōu)化變量了.</p><p>　　優(yōu)化變量的全體可以用向量來表示.包含個優(yōu)化變量的優(yōu)化問題稱為維優(yōu)化問題,這些變量可以表示成一個維列向量,即中,表示第個優(yōu)化變量.當?shù)闹刀即_定之后,向量就表示一個優(yōu)化方案.</p><p><b>　　2.1.2目標函數(shù)</b></p><p>　　目標函數(shù)是用優(yōu)化變量來表

32、示的優(yōu)化目標的數(shù)學表達式,是方案好壞的評價標準,故又稱為評價函數(shù)[7].怒表函數(shù)通常表示為</p><p>　　求解優(yōu)化問題的實質(zhì),就是通過改變優(yōu)化變量獲得不同的目標函數(shù)值,通過目標函數(shù)值的大小來衡量方案的優(yōu)劣,從而找出最優(yōu)方案.目標函數(shù)的最優(yōu)值可能是最大值,也可能是最小值,在建立優(yōu)化問題的數(shù)學模型時,一般將目標函數(shù)的優(yōu)化表示為極大或極小.</p><p>　　目標函數(shù)的極小化可以表示為&

33、lt;/p><p>　　目標函數(shù)的極大化可以表示為</p><p>　　求目標函數(shù)的極大化等效于求目標函數(shù)——的極小化.為規(guī)范起見,將求目標函數(shù)的極值統(tǒng)一表示為求其極小值.</p><p>　　在優(yōu)化問題中,如果只有一個目標函數(shù),則其為單目標函數(shù)優(yōu)化問題；如果有兩個或兩個以上目標函數(shù),則其為多目標函數(shù)優(yōu)化問題.目標函數(shù)越多,對優(yōu)化的評價越周全,綜合效果也越好,但是問題的

34、求解也越復雜.</p><p>　　一個優(yōu)化向量確定維空間中的一個方案點,每一個方案點都有一個相應的目標函數(shù)值與其對應；但是對于目標函數(shù)值的某一定值,卻可能有無窮多個方案點與其對應.目標函數(shù)值相等的所有方案點組成的集合稱為目標函數(shù)的等值曲面.對于二維問題,這個點集為等值曲線；對于三維問題,這個點集為等值曲面；對于多維問題,這個點集為超平面.</p><p><b>　　2.1.3

35、約束條件</b></p><p>　　約束條件是在優(yōu)化中對優(yōu)化變量取值的限制條件,可以是等式約束,也可以是不等式約束.</p><p><b>　　等式約束的形式為</b></p><p>　　不等式約束更為普遍,形式為</p><p>　　式中,和分別表示等式約束和不等式約束的個數(shù).其中,等式約束的個數(shù)必須

36、小于優(yōu)化變量的個數(shù),如果相等,則該優(yōu)化問題就成了沒有優(yōu)化余地的既定系統(tǒng).等式約束也可以用兩個不等式約束來代替.不等式約束可以用的等價形式代替.</p><p>　　根據(jù)約束性質(zhì)的不同,約束可以分為邊界約束和性能約束兩類.邊界約束直接用來限制優(yōu)化變量的取值范圍,如長度變化的范圍.性能約束則是根據(jù)某種性能指標要求推導出來的限制條件,如零件的強度條件.</p><p>　　2.2優(yōu)化模型的分類&

37、lt;/p><p>　　最優(yōu)化問題的類別很多,可以從不同角度分類.以下是一些常見的分類和名稱：</p><p>　　(1)按照優(yōu)化約束條件的有無,可分為無約束優(yōu)化問題和有約束優(yōu)化問題.</p><p>　　(2)按照優(yōu)化變量的個數(shù),可分為一維優(yōu)化問題和多維優(yōu)化問題.</p><p>　　(3)按照目標函數(shù)的數(shù)目,可分為單目標優(yōu)化問題和多目標優(yōu)化問

38、題.</p><p>　　(4)根據(jù)目標函數(shù)與約束條件線性與否,可分為線性規(guī)劃問題和非線性規(guī)劃問題.</p><p>　　(5)當目標函數(shù)為優(yōu)化變量的二次函數(shù),均為線性函數(shù)時,則該優(yōu)化問題稱為二次規(guī)劃問題.</p><p>　　(6)當優(yōu)化變量中有一個或一些只能取整數(shù)時,稱為整數(shù)規(guī)劃；如果只能取0或1,則稱為0-1規(guī)劃；如果只能取某些離散值,則稱為離散規(guī)劃.<

39、/p><p>　　(7)當優(yōu)化變量隨機取值時,稱為隨機規(guī)劃.</p><p>　　(8)當目標函數(shù)為凸函數(shù),可行域為凸集時,該優(yōu)化問題為凸規(guī)劃問題.</p><p>　　(9)優(yōu)化目標是一個數(shù)值,最優(yōu)策略是函數(shù),該優(yōu)化問題為動態(tài)優(yōu)化問題.</p><p>　　3生產(chǎn)計劃制定及其求解方法</p><p>　　生產(chǎn)計劃就是企業(yè)

40、為了生產(chǎn)出符合市場需要或顧客要求的產(chǎn)品,所確定的在什么時候生產(chǎn),在哪個車間生產(chǎn)以及如何生產(chǎn)的總體計劃.企業(yè)的生產(chǎn)計劃是根據(jù)銷售計劃制定的,它又是企業(yè)制定物資供應計劃、設備管理計劃和生產(chǎn)作業(yè)計劃的主要依據(jù).生產(chǎn)計劃工作的主要內(nèi)容包括：調(diào)查和預測社會對產(chǎn)品的需求、核定企業(yè)的生產(chǎn)能力、確定目標、制定策略、選擇計劃方法、正確制定生產(chǎn)計劃、庫存計劃、生產(chǎn)進度計劃和計劃工作程序、以及計劃的實施與控制工作.</p><p>　

41、　由上面優(yōu)化變量、目標函數(shù)和約束條件三要素所組成的最優(yōu)化問題的數(shù)學模型可以表述為：在滿足約束條件的前提下,尋求一組優(yōu)化變量,使目標函數(shù)達到最優(yōu)值.一般約蘇優(yōu)化問題數(shù)學模型的表達方式為：</p><p>　　式中,的縮寫,表示“受約束于”或“滿足于”的意思.當時即為不等式約束優(yōu)化問題；當時即為等式約束優(yōu)化問題；當,時便退化為無約束優(yōu)化問題.</p><p>　　根據(jù)生產(chǎn)計劃制定的特點和實際情

42、況,所以這里只提出針對它的兩種求解方法——多階段轉(zhuǎn)化和變分法,并且利用這兩種方法對具體問題進行分析與解決.</p><p><b>　　3.1多階段轉(zhuǎn)化</b></p><p>　　多階段轉(zhuǎn)化是指將動態(tài)優(yōu)化的一種,它將多階段決策問題轉(zhuǎn)化成一系列簡單的最優(yōu)化問題.首先將復雜的問題分解成相互聯(lián)系的若干階段,每個階段都是一個最優(yōu)化子問題,然后逐階段進行決策（確定于下端的關聯(lián)

43、）,當所有階段都確定了,整個階段的決策也就確定了.</p><p>　　3.1.1多階段轉(zhuǎn)化動態(tài)規(guī)劃的提出</p><p>　　令為表示系統(tǒng)狀態(tài)的維列矢量,用描述在時刻的階段系統(tǒng)狀態(tài).對階段決策過程,系統(tǒng)狀態(tài)由狀態(tài)通過決策變換到另一個狀態(tài),在這一過程中產(chǎn)生的效益或損益統(tǒng)稱為收益,記為；然后再由狀態(tài)通過決策變換到狀態(tài),并產(chǎn)生效益……最后從狀態(tài)通過決策變換到狀態(tài),并產(chǎn)生效益.要求選擇該階段中的

44、個決策</p><p>　　使下式的效益最大或最?。ńy(tǒng)稱為最優(yōu)效益）：</p><p>　　因為階段過程的最優(yōu)效益只是初始狀態(tài)與階段長度的函數(shù),所以可以用表示</p><p>　　式中,為初始狀態(tài)；為階段長度；是優(yōu)化的意思,根據(jù)給定問題取最大值或最小值.使效益取極值的決策稱為最優(yōu)決策[7].</p><p>　　3.1.2最優(yōu)化原則</

45、p><p>　　一個過程的最優(yōu)決策具有這樣的性質(zhì),即無論其初始狀態(tài)及其初始決策如何,其以后諸決策對以第一個決策所形成的狀態(tài)作為初始狀態(tài)都必須構成最優(yōu)決策.</p><p>　　最優(yōu)化原則描述了最優(yōu)控制決策的基本性質(zhì),它建立在不變嵌入原則的基本概念上.當求解一個特殊的最有決策問題時,可以把原來的問題嵌入一個較容易解的類似問題之中.如多階段決策過程,可以將原來的多階段最優(yōu)化問題用求解一系列但各階段

46、決策問題來代替.根據(jù)最優(yōu)化原則,階段決策過程的總收益可以寫成</p><p>　　式中,第一階段的收益,則代表初始狀態(tài)的后個階段的最優(yōu)效益.</p><p>　　利用上式最有效益的式子又可寫成</p><p>　　上式中右端的函數(shù)可以繼續(xù)分解下去,它對階段數(shù)的過程都成立.當階段數(shù)為時,最優(yōu)效益為</p><p>　　所以也可以把N階段決策過程

47、的總效益寫成</p><p>　　從而最優(yōu)效益可最終歸結為</p><p><b>　　并一步步展開.</b></p><p>　　應用最優(yōu)化原則,一個階段決策過程就處理為一個個單階段決策過程的序列,因此使這個最優(yōu)化問題可以采用系統(tǒng)迭代的方式得到解決.前兩個式子分別是動態(tài)優(yōu)化中的逆序解法和順序解法基本公式.</p><p&g

48、t;　　3.1.3多階段轉(zhuǎn)化對生產(chǎn)計劃的應用</p><p>　　3.1.3.1問題的提出</p><p>　　工廠制定生產(chǎn)計劃,要考慮設備、市場容量和收益三方面因素 某廠設備情況見表1.生產(chǎn) 七種產(chǎn)品的單價收益和加工工時見表2,機床修理安排見表3.市場容量見表4.有如下限制：每種產(chǎn)品存貨最多100件；存費每件每月0.5元；6月份末每種產(chǎn)品有50件存貨；每天2班,每班8小時.盈利規(guī)定為收益

49、減去存費,試安排1～6月份里各個月每種產(chǎn)品的產(chǎn)量,以使上半年盈利最多.討論該廠設備結構的合理性,并作改進.</p><p><b>　　表1 設備情況</b></p><p>　　表2 單件產(chǎn)品收益和加工工時</p><p>　　表3 停工維修安排(時間1個月)</p><p><b>　　表4 市場容量<

50、;/b></p><p>　　3.1.3.2 問題分析</p><p>　　本問題的難點是同時考慮七種產(chǎn)品的優(yōu)化產(chǎn)量,如果只有一種產(chǎn)品,運用動態(tài)規(guī)劃可以方便地得出它的最優(yōu)產(chǎn)量計劃,于是我們先將系統(tǒng)分解成單種產(chǎn)品的子問題,再綜合工時、收益進行局部調(diào)整以達產(chǎn)量整體最優(yōu).但分解決策思想沒有充分把握整體關系,因此用動態(tài)規(guī)劃處理才是最科學的,其實質(zhì)是逆序推算.為判斷設備結構是否合理,我們計算了

51、按市場容量進行生產(chǎn)所需的工時,見表5. </p><p>　　表5 市場容量所需的工時數(shù)（小時）</p><p>　　3.1.3.3 基本假設</p><p>　　1）不考慮排隊等候加工問題.</p><p>　　2）可同時維修的機器的種類和數(shù)目不受限制.</p><p>　　3）在檢修期間

52、外,機床均能連續(xù)地正常工作.</p><p>　　4）“市場需求”數(shù)據(jù)來自科學的預測,穩(wěn)定可信.</p><p>　　1至6月的產(chǎn)量安排是一個多階段決策問題,設第月盈利為.</p><p>　　其中為第種產(chǎn)品的單件收益,為該產(chǎn)品在月份的存貯量,需求</p><p>　　3.1.3.4 化模型的提出</p><p>　　

53、3.1.3.4.1 模型I</p><p>　　本問題變量和約束條件多達幾十個,我們采用分解決策法.基本步驟是：</p><p>　　(1) 單獨考慮產(chǎn)品PR,根據(jù)各月的市場容量,綜合收益和存費,得出l～6月最優(yōu)產(chǎn)量列,這一步動用動態(tài)規(guī)劃.</p><p>　　(2) 把7個最優(yōu)產(chǎn)量列合并起來,逐月檢驗各項工序的工時.遇到超時情況,衡量產(chǎn)品收益的大小和工時多少,一方

54、面降低收益小、耗時大的產(chǎn)品產(chǎn)量,一方面把減少的該月產(chǎn)量盡可能推延到下一個月去完成.這一步是能否達到最優(yōu)的關鍵.</p><p>　　在步驟2中,把“減少的該月產(chǎn)量”變動到哪些月份中去,又是一個動態(tài)規(guī)劃問題.為了計算的簡便及存貯費小的目的,我們把它盡量推延到下一月,未必就是最優(yōu),但這個較優(yōu)的結果與最優(yōu)的目標很接近,而且實際的市場需求變動頻繁．需要簡單的方法與之適應,所以這種方法是可取的.</p>&l

55、t;p>　　第種產(chǎn)品在月內(nèi)總盈利</p><p>　　動態(tài)規(guī)劃的逆推關系式為</p><p>　　其中,是第種產(chǎn)品月后的總盈利(包括第月).</p><p><b>　　邊界條件是</b></p><p>　　運用以上方法求出至七種產(chǎn)品各自的最優(yōu)產(chǎn)量,見表6</p><p>　　表6 七種

56、產(chǎn)品各自的最優(yōu)產(chǎn)量</p><p>　　分析表6 1月的磨床、2月的臥式鉆床工作超時．根據(jù)假設3,最優(yōu)產(chǎn)量應盡量接近全月工時,即一月睹床11522時,二月臥式鉆床384工時.以第一月為例．需要0.7小時,收益6元, 需磨0.5小時,收益僅3元,自然以減少產(chǎn)量為宜.由此得出產(chǎn)量,,留到第二月的產(chǎn)量是件,件.得到上半年各產(chǎn)品的合理產(chǎn)量見表7.</p><p>　　表7 上半年生產(chǎn)計劃<

57、/p><p>　　3.1.3.4.2 模型Ⅱ</p><p>　　模型I實質(zhì)是一種從局部到整體逐步探索優(yōu)化的過程,模型Ⅱ提出了整體規(guī)劃方案.</p><p><b>　　根據(jù)動態(tài)優(yōu)化原理,</b></p><p>　　其中是第月的最優(yōu)產(chǎn)量組合.</p><p>　　若已知第月庫容量,市場容量,可得第月

58、第種產(chǎn)品最大庫存量為：</p><p>　　根據(jù)式(2),可得第月后的盈利與第月后盈利間的遞推關系： </p><p><b>　　并且滿足約束條件：</b></p><p><b>　　求解步驟：</b></p><p>　　(1) 對5月由3.1.3.4.2式(3)求最優(yōu),

59、因為6月產(chǎn)量會約束5月的庫存量,所以這—步確定了5月產(chǎn)量的限制條件.</p><p>　　(2) 對5月進行優(yōu)化處理.</p><p>　　(3) 再對5、6月整體優(yōu)化,以下工作以此類推.</p><p>　　按以上步驟推算,我們發(fā)現(xiàn)5、6月的整體優(yōu)化恰是3.1.3.4.2步驟(1)、(2)作出的結果向前推算到3月,這4個月的局部最優(yōu)又共同達到了整體最優(yōu).對l、2月

60、產(chǎn)量,用數(shù)學軟件對3.1.3.4.2中式(3)進行計算,該結果與其后3至6月的優(yōu)化產(chǎn)量能銜接起來.于是,我們用逆序算法較輕松地得出了六個月的最優(yōu)安排.</p><p>　　模型II的結果估于模型I相同,見表7,總盈利93648元 .</p><p>　　分析表7.3至6月充分達到了市場需求,2月和1月也是在工時約束下的最優(yōu)結果,因此得到的確是考慮每月生產(chǎn)成品的最優(yōu)產(chǎn)量安排.</p&g

61、t;<p>　　3.1.3.5 模型分析</p><p>　　生產(chǎn)計劃隨著下列因素變化：市場需求量、產(chǎn)品價格,設備結構和停工維修機床的日程安排.</p><p>　　市場需求和產(chǎn)品價格變動必然帶來生產(chǎn)計劃的重新安排,求解模型就可得到不同形勢下的最優(yōu)生產(chǎn)計劃.3至6月的生產(chǎn)計劃并不受價格波動的影響.在設備所能提供的工時范圍內(nèi),產(chǎn)量只隨市場需求變動.</p><

62、;p>　　價格因素的作用：以一月的優(yōu)化為例,模型Ⅱ中用到的線性規(guī)劃,即求下列問題：</p><p>　　價格波動帶來單位收益的變化,直接影響一月份的生產(chǎn)計劃.作定性分析得：若產(chǎn)品的單件收益增大,則也變大.</p><p>　　問題分析時,我們列出了表5.市場容量的工時要求,進一步算出按市場需求量生產(chǎn)所需機床臺數(shù)．列于表8.</p><p>　　表8 按市場容

63、量生產(chǎn)所需機床數(shù)</p><p>　　分析表8可知該廠設備結構明顯不合理.表現(xiàn)在</p><p>　　(1) 臥式鉆床只需2臺,可以減少一臺.</p><p>　　(2) 鏜床、刨床利用率不高(分別為32.3%和10.9%),但停工維修會導致多種成品不能生產(chǎn).</p><p>　　于是,我們對廠方有如下建議：</p><p

64、>　　(1) 賣出一臺臥式鉆床.</p><p>　　(2) 如果每月只生產(chǎn)成品,重新安排檢修時間,所有機床在四月集體大修,則其余五個月均能按市場容量生產(chǎn),這樣,總盈利達到109030元,增加了15382元.</p><p>　　提高鏜、刨床的利用率,方法是生產(chǎn)半成品,在不考慮半成品存貨限制情況下,重新作出停工檢修安排如表9</p><p>　　表9 重新安排

65、后的維修日程</p><p>　　這樣1月至6月均按市場需求量生產(chǎn),此時,總盈利為116630元.</p><p>　　(4) 因為該廠的機床利用率都不超過60％很有潛力可挖,廠家應積極宣傳促銷,擴大市場需求量,以此獲得更多的利益.</p><p>　　3.1.3.6 模型評價</p><p>　　(1) 模型I簡化了問題的處理,是一種向最優(yōu)

66、化逼近的簡便方法,但考慮的因素較多時,不一定能實現(xiàn)最優(yōu)化.</p><p>　　(2) 模型Ⅱ為生產(chǎn)安排提供了科學思路,設計了逆序推算這一探索途徑,但未能給出一般性的通用算法.</p><p>　　(3) 對設備結構和維修安排進行了改進,工廠的盈利和設備的利用率大大提高.</p><p>　　本模型沒有對工序進行優(yōu)化安排,不適于解決工序復雜,加工時間長的問題.<

67、;/p><p><b>　　3.2 變分法</b></p><p>　　最早的泛函　最簡單的一類泛函表示為</p><p>　　被積函數(shù)包含自變量 ,未知函數(shù)及導數(shù).</p><p>　　泛函的極值[3]　設,如果對于任意,當 時,都有 ,則稱泛函在取得極小值.類似可以定義極大值.極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.</p>

68、;<p>　　泛函的變分　函數(shù)在的增量記作稱其為函數(shù)的變分,由它引起的泛函增量記作,如果可表示為 ,其中是 的線性項, 是的高階項,稱L 為泛函在 的變分,記作 .同樣可以定義泛函在的變分.</p><p>　　若泛函在變分存在并且取到極值,則變分</p><p>　　泛函極值的必要條件——歐拉方程[3]　　討論泛函在固定端點條件下取得極值的必要條件.泛函和端點條件表示為&l

69、t;/p><p>　　其中具有二階連接偏導數(shù).</p><p>　　設3.2中泛函(3)在 取得極值,滿足3.2中式(4),則</p><p>　　3.2中式(5)被稱為歐拉方程[7].</p><p>　　如果容許函數(shù)的一個端點如不固定,而是在一條給定的曲線上變動,于是端點條件表示為</p><p>　　設3.2中泛函(

70、3)在 取得極值,滿足上式(6) ,則</p><p>　　3.2.1問題的提出</p><p>　　工廠與客戶簽訂了一項在某時刻提交一定數(shù)量產(chǎn)品的合同,在制定生產(chǎn)計劃時要考慮生產(chǎn)和貯存2種費用.生產(chǎn)費用通常取決于生產(chǎn)率(單位時間的產(chǎn)量),生產(chǎn)率越高費用越大;貯存費用自然由已經(jīng)生產(chǎn)出來的產(chǎn)品數(shù)量決定,數(shù)量越多費用越大.所謂生產(chǎn)計劃這里簡單的看作是到每一刻為止的累積產(chǎn)量.它與每單位時間（如每

71、天）的產(chǎn)量可以互相推算.建模目的是尋求優(yōu)化的生產(chǎn)計劃,使完成合同所需的總費用（生產(chǎn)與貯存費用之和）最小或盡可能的小.在文獻[1,2]中給出了數(shù)量且生產(chǎn)率無限制時的生產(chǎn)計劃.討論且生產(chǎn)率無限制時的生產(chǎn)計劃,以及生產(chǎn)率有一個上界限制的情況下的優(yōu)化生產(chǎn)計劃.</p><p>　　3.2.2 模型的假設</p><p>　　開始生產(chǎn)時刻記為,按照合同應在提交數(shù)量為的產(chǎn)品.到時刻 為止的累積產(chǎn)量記作

72、 ,即是生產(chǎn)計劃.設單位時間生產(chǎn)的產(chǎn)量為生產(chǎn)率,記為 ,所以工廠單位時間的生產(chǎn)費用可以是生產(chǎn)率的函數(shù),而單位時間的貯存費用則與產(chǎn)量有關,記為.于是從到時間段的總費用</p><p>　　為了確定和的具體形式作如下假設:</p><p>　　1) 單位時間內(nèi)生產(chǎn)率提高一個單位所需生產(chǎn)費用與此時生產(chǎn)率成正比 .</p><p>　　2) 貯存費與貯存量(即累積產(chǎn)量)成正

73、比.</p><p>　　3) 假定生產(chǎn)率的變化有一定的范圍,比如生產(chǎn)率有一個上界 ,即是該工廠單位時間的最大生產(chǎn)能力.</p><p>　　上述3.2.2中假設1)表明生產(chǎn)費用對生產(chǎn)率的變化率與成正比,于是</p><p>　　由上面3.2.2中假設2)可得</p><p>　　3.2.3建模與求解</p><p>

74、　　3.2.3.1生產(chǎn)率不作任何限制, 尋求最優(yōu)生產(chǎn)計劃</p><p>　　在3.2.2中假設1)和假設2)下，記,在文獻[4]中可得到關于的二階微分方程</p><p>　　式(12)符合題意的解為</p><p>　　這就是使總費用達到最小的生產(chǎn)計劃.易知對于式(13)應該滿足由式(13)算出 ,則式(14)又可表示為　　　　</p><p

75、>　　于是當式(15)成立時,式(13)確定的才是最優(yōu)生產(chǎn)計劃.</p><p>　　當固定時,式(15)表明,在一定交貨期內(nèi)要完成的產(chǎn)量相當大,需要從就開始生產(chǎn).但是,若成立時,如何求最優(yōu)計劃,不需要從零時刻開始生產(chǎn).由于產(chǎn)量較小,生產(chǎn)較早會導致產(chǎn)品貯存費用的增加,所以為了節(jié)省貯存費用,到時刻才開始生產(chǎn),橫截條件為</p><p>　　則制定最優(yōu)生產(chǎn)計劃轉(zhuǎn)化為橫截條件(16)下求

76、,使取得最小值.</p><p>　　可以用變分法求解,有得</p><p>　　此時,由3.2中式(17)和式(18)決定的即是優(yōu)化的生產(chǎn)計劃.</p><p>　　3.2.3.2 限制生產(chǎn)率, 尋求最優(yōu)生產(chǎn)計劃</p><p>　　令生產(chǎn)率有上界,在3.2.2中假設1) 、2) 、3)下,由于在實際生產(chǎn)中,生產(chǎn)率一定存在一個上確界,在此假

77、設生產(chǎn)率的上確界為.在上述模型中得到</p><p>　　1、當時,,此時生產(chǎn)率是隨著的增大而增大的,而當時,生產(chǎn)率達到最大,其值是.</p><p>　　(1) 如果,那么也就是說上述模型的生產(chǎn)過程還沒有超出生產(chǎn)率的上界3. 1中討論的模型照樣可行.</p><p>　　(2) 如果,是 與2點連線的斜率,顯然,此時就算一直以最大生產(chǎn)率進行生產(chǎn),工廠仍不能完成任務

78、,此時不要接合同.</p><p>　　(3) 如果,此時一直以的生產(chǎn)率生產(chǎn)時才能剛好完成合同.</p><p>　　(4) 如果,可如下討論:為了節(jié)省貯存費用,由于生產(chǎn)率是越來越高的,可以假設在某一時刻開始,都以的生產(chǎn)率進行生產(chǎn),最后剛好完成任務,那么只需優(yōu)化時間段上的生產(chǎn)計劃即可,運用這種思想得到的生產(chǎn)計劃是較優(yōu)的計劃.如果單位時間的生產(chǎn)費用和單位時間的貯存費用仍然記作和,則總費用仍為

79、3.2中式(9).注意到,當時, .將3.2中式(10)和式(11)代入式(9) ,可得費用為</p><p>　　類似3.2.3.1中的求解過程,當時,也可得式(12),則</p><p>　　由端點條件　　 </p><p>　　從式(20)和式(21)得</p><p>　　令式(22)等于 ,可得解</p>

80、;<p>　　將式(23)代入式(22)得</p><p>　　于是優(yōu)化的生產(chǎn)計劃為</p><p>　　為了計算式(24)的費用,將式(22)代入式(19)得</p><p>　　再將式(23)代入可得模型式(24)的費用.</p><p>　　綜上,當生產(chǎn)數(shù)量較大,生產(chǎn)率上界滿足的條件下,要以式(24)的為生產(chǎn)計劃.<

81、/p><p>　　2、當時,根據(jù)3.2.3.1的研究,生產(chǎn)時間越早,所需的貯存費用就越高,為了節(jié)省貯存費用,可以從(包括)開始生產(chǎn),由3.2.2中的假設3)得生產(chǎn)率有上界,此時分2種情況加以討論. </p><p>　　(1) 如果式(17)的滿足 ,那么3.2.3.1中式(17)照樣可行；</p><p>　　(2) 如果式(17)的滿足,那么可以提前生產(chǎn),尋找使

82、得.如果提前到時開始生產(chǎn),但仍有,那么就同上述3.2.3.2中1的情況類似了,可作類似的討論.</p><p><b>　　3.2.4 實　例</b></p><p>　　某一軍火商與一軍工廠簽訂了一份合同,要求工廠30天內(nèi)提交240 UF03枚型導彈.已知工廠日生產(chǎn)UF03型導彈的最大能力是10枚,單位時間內(nèi)生產(chǎn)率提高一個單位所需的生產(chǎn)費用與此時的生產(chǎn)率成正比的比例

83、系數(shù)為2萬元,單位數(shù)量產(chǎn)品單位時間的貯存費為1萬元,試給工廠制定一個優(yōu)化的生產(chǎn)計劃.</p><p><b>　　解：由于,經(jīng)驗證知</b></p><p>　　該題屬于3.2.3.2中1所討論的情況,故由式(23)得　　　　</p><p>　　將代入式(24)可得</p><p>　　故是該問題優(yōu)化的生產(chǎn)計劃,以代入

84、得總費用約3823萬元.</p><p><b>　　結束語</b></p><p>　　優(yōu)化模型是一種非常重要的數(shù)學模型,然而簡單的優(yōu)化模型存在著一定的缺陷和適用范圍．在現(xiàn)實的經(jīng)濟系統(tǒng)中,隨著各種條件的變化,使簡單的優(yōu)化模型不能做到效益最優(yōu)．因此我們在論述了簡單的優(yōu)化模型的建立并對其進行分析后,又進一步論述了動態(tài)優(yōu)化模型．并利用動態(tài)優(yōu)化的兩種方法多階段轉(zhuǎn)化和變分法建

85、立更加符合現(xiàn)實情況的優(yōu)化模型．</p><p>　　關于優(yōu)化模型,除了對其進行了模型建立外,還以基本要素和優(yōu)化問題的分類及其相應的定義定理做出了詳細的介紹,從而更加加深了我們對優(yōu)化模型的掌握,這對我們理解和運用優(yōu)化模型在解決實際問題時提供了扎實的理論基礎,這樣才能理論聯(lián)系實際,從而做出最優(yōu)方案.</p><p>　　在優(yōu)化模型的應用方面就是利用現(xiàn)有的條件規(guī)劃出各種“最優(yōu)”方案為現(xiàn)代生產(chǎn)計劃

86、和管理工作中的經(jīng)濟利益預估服務.作出的求極限值的模型被稱為優(yōu)化模型.優(yōu)化模型在現(xiàn)代企業(yè)管理中有很多的應用,如物流、生產(chǎn)計劃、原材料采購、勞動力的分配、廣告促銷、運輸、成本控制、項目擇優(yōu)、信貸投放、企業(yè)的資產(chǎn)負債情況等方面的問題都可以用優(yōu)化模型來解決.相信這對在當前經(jīng)濟形勢下,制定出符合實際的優(yōu)化模型對對社會的各項事業(yè)的發(fā)展都是有幫助的．</p><p><b>　　參考文獻</b></

87、p><p>　　[1] 姜啟源,謝金星,葉俊.數(shù)學模型(第三版)[M].北京：高等教育出版社.2005.</p><p>　　[2] Kamie M I , Schwartz N L. Dynamic Optimization ,The Calculus and Variations and Optimal Control in Economics and Man2agement [M] .

88、North2Holland : [ s.n. ] ,1981.</p><p>　　[3] 張恭慶. 泛函分析講義[M] . 北京:北京大學出版社,1987.</p><p>　　[4] 歐　文. 克雷斯齊格. 泛函分析導論及其應用[M] . 北京:北京航天學院出版社,1987.</p><p>　　[5] 李京文,鐘學義. 中國生產(chǎn)率分析前沿[M] . 北京:社會

89、科學文獻出版社,1998.</p><p>　　[6] 李京文,鐘學義. 中國生產(chǎn)率分析前沿[M] . 北京:社會科學文獻出版社,1998.</p><p>　　[7] 黃平,孟永鋼.最優(yōu)化理論與方法[M].北京:清華大學出版社,2009. </p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　本文是在**老

90、師的精心指導和大力支持下完成的.**老師以其嚴謹求實的治學態(tài)度、高度的敬業(yè)精神、兢兢業(yè)業(yè)、孜孜以求的工作作風和大膽創(chuàng)新的進取精神對我產(chǎn)生重要影響.他淵博的知識、開闊的視野和敏銳的思維給了我深深的啟迪.</p><p>　　在論文的寫作過程中,**老師給予了我很大的幫助,為論文的寫作提出了許多的建議．可以說沒有吳老師幫助,我的論文是無法順利完成的．*老師對工作的一絲不茍,讓我非常的敬佩．感謝*老師在論文寫作過程中對